Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Ясно, что чем меньше с:, тем больше число N, но в любом слу­

тельность Vn (см. с. 128).

Постоянная последовательность Xn = с, п Е N имеет предел, рав­ ный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для Ve > О при всех нату­

ральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем [xn - cl = lc - cl =

=о<€.

15.3. Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности {xn}, {Yn} и {zn}·

что для любого с:> О найдется такое натуральное число N(c:), что при

всех п > N(c:) будут выполняться неравенства lxn -al <с: и IYn-Ь[ <с:,

т. е. а - с: < Xn <а+ с: и Ь - с: < Уп < Ь +с:. Возьмем с:= а2Ь. Тогда:

Xn >а - €=а - а2Ь = ~' Т. е. Xn > ~ И Уп < Ь + € = Ь + а2Ь = ~'

т. е. Уп < ~. Отсюда следует, что Xn > Yn. Это противоречит условию

венство Xn ~ Zn ~ Yn (начиная с некоторого номера), то lim Zn =а. n-too

(Примем без доказательства.)

15.4.Предел монотонной ограниченной

последовательности. Число е. Натуральные

логарифмы

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без

доказательства признак существования предела последовательности.

130

Теорема 15.З (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная по­

следовательность имеет предел.

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим по­

следовательность Xn = (1 + ~)n, п Е N.

Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных

слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении

n число ~ убывает, поэтомувеличины ( 1- ~), ( 1- ~), ... возрастают.

Поэтомупоследовательность{Хп} = { ( 1+ ~)n} - возрастающа.я., при

этом

(15.4)

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим нера­

венство

131

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5, ... , стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про­

грессии:

Поэтому

(15.5)

Итак, последовательность огранu'Чена, при этом для 'r/n Е N выполня­

ются неравенства (15.4) и (15.5):

2 < (1 + *) n < 3.

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь­

ность Xn = ( 1 + *)n, п Е N, имеет предел, обозначаемый обычно бук-

Число е называют неперовим числом. Число е иррациональное, его

приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045 ... ). Число

е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по осно­ ванию е называется натуральным логарифмом и обозначается lnx, т. е.

lnx = loge х.

Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами.

По определению логарифма имеем х = e1n х. Прологарифмируем обе

части равенства по основанию 10:

lgx = lg(elnx), т. е. lgx = lnx · lge.

Пользуясь десятичными логарифмами, находим lg е ~ 0,4343. Значит,

lg х ~ 0,4343 · ln х. Из этой формулы следует, что ln х ~ О,4143lg х, т. е.

lnx ~ 2,3026lgx. Полученные формулы дают связь между натураль­ ными и десятичными логарифмами.

§16. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

16.1.Предел функции в точке

Пустъ функция у = f(x) определена в некоторо1i о-крестности mо'Чкu х0, кроме, битъ может, само1i mо'Чки х0•

132

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения пре­

дела функции в точке.

~Определение 1 (на «языке последовательностеii», или по Геiiне). Число А называется пределом функции у= f(x) в mо'Ч­

ке х0 (или при х-+ х0), если для любой последовательности допусти­

мых значений аргумента Хп, п Е N (хп =j: хо), сходящейся к Хо (т. е.

lim Хп = х0), последовательность соответствующих значений функ-

n-+оо

ции f (хп), п Е N, сходится к числу А (т. е. lim f (хп) =А). n-+oo

В этом случае пишут lim f(x) = А или f(x) -+ А при х -+ х0.

х-+хо

Геометрический смысл предела функции: lim f(x) =А означает, что

Х-+Хо

для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

~Определение 2 (на «языке с:-8», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке хо (или при х-+ хо), если

для любого положительного с: найдется такое положительное число 8,

любой с:-окрестности точки А найдется такая 8-окрестность точки х0, что для всех х =j: х0 из этой 8-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в с:-окрестности точки А. Иными словами, точки

графика функции у= f(x) лежат внутри полосы шириной 2с:, ограни­ ченной прямыми у = А+ с:, у = А - с: (см. рис. 110). Очевидно, что величина 8 зависит от выбора с:, поэтому пишут 8 = 8(с:).

Пример 16.1. Доказать, что lim(2x - 1) = 5.

х-+3

Q Решение: Возьмем произвольное с: >О, найдем 8 = 8(с:) > О такое,

что для всех х, удовлетворяющих неравенству lx - ЗI < 8, выполняется

неравенство 1(2х-1)-51 < е, т. e. jx-31 < ~-Взяв 8 =~,видим, что для

всех х, удовлетворяющих неравенству lx - ЗI < 8(=~),выполняется

133

Пример 16.2. Доказать, что, если f(x) =с, то lim с= с.

Х-+Хо

а Решение: Для Vc: >о можно ВЗЯТЬ Vб >о. Тогда при lx - xol < б,

х i хо имеем lf(x) - cl = lc - cl =О< с:. Следовательно, lim с= с. 8

х-+хо

16.2. Односторонние пределы

В определении предела функции lim f(x) = А считается, что х

х-+хо

стремится к хо любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от хо), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки хо.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо суще­

ственно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия

односторонних пределов.

~Число Ai называется пределом функции у= f(x) слева в точке

х0, если для любого число с: > О существует число J = б(е) > О

такое, что при х Е (хо - J; хо), выполняется неравенство lf(x) - Ai 1 <

< е. Предел слева записывают так: lim f(x) = А1 или коротко:

х-+хо-0

f(xo - О) = Ai (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с

помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(xo +О)= А2·

134

~Пределы функции слева и справа называются односторонними

пределами. Очевидно, если существует lim f(x) =А, то существу­

х-tхо

ют и оба односторонних предела, причем А= А1 = А2• Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба преде­

ла f(x0 -0) и f(xo+O) и они равны, то существует предел А= lim f(x) x-txo

и А= f(xo - О).

Если же Ai # А2, то lim f(x) не существует. x-txo

16.3.Предел функции при х -t оо

~Пусть функция у= f(x) определена в промежутке (-оо; оо). Число

Аназывается пределом функции f(x) npu х ---+ оо, если для

любого положительного числа е существует такое число М = М(е) > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству lxl > М выполняется неравенство lf(x) - AI < е. Коротко это определение можно записать

так:

ствующие значения функции f(x) попадают в е-окрестность точки А,

т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2е, ограниченной прямыми

у= А+ е и у= А - е (см. рис. 112).

у

Рис. 112

16.4.Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

~Функция у= f(x) называется бесконе'Чно бо,11,ьшоii npu х---+ хо, если для любого числа М >О существует число д = д(М) >О, что

для всех х, удовлетворяющих неравенству О< lx-xol < б, выполняется

135

неравенство lf(x)I > М. Записывают lim f(x) = оо или f(x)-+ оо при

X-tXo

х-+ хо. Коротко:

(vм >о 38 >о 'v'x: lx - xol < 8, х =!=Хо ===> lf(x)I > м) ~

~ lim f(x) = оо.

x-txo

Например, функция у = __.1_ есть б.б.ф. при х -+ 2.

х- 2

Если f(x) стремится к бесконечности при х -+ Хо и принимает

лишь положительные значения, то пишут lim f(x) = +оо; если лишь x-txo

отрицательные значения, то lim f (х) = -оо. x-txo

~Функция у= f(x), заданная на всей числовой прямой, называется

бесконечно большоit npu х-+ оо, если для любого числа М >О

найдется такое число N = N(M) >О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству lxl > N, выполняется неравенство lf(x)I > М. Коротко:

(vм >о 3N >о 'v'x: lxl > N ===> lf(x)I > м) ~ lim f(x) = 00.

x-too

Например, у = 2х есть б.б.ф. при х -+ оо.

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принима­

ет лишь натуральные значения, т. е. х Е N, то соответствующая б.б.ф.

становится бесконечно большой последовательностью. Например, по­

следовательность Vn = п2 + 1, п Е N, является бесконечно большой

последовательностью. Очевидно, всяка.я 6.6.ф. в окрестности точки х0 является неограни'Ченноii в этой окрестности. Обратное утверждение

неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например,

у= xsinx.)

Однако, если lim f(x) =А, где А ~ коне'Чное 'Число, то функv,и.я x-txo

f (х) ограни'Чена в окрестности точки хо.

Действительно, из определения предела функции следует, что при

х-+ Хо выполняется условие lf(x) - AI < Е:. Следовательно, А - е < < f(x) <А+ е при х Е (хо - е; хо+ е), а это и означает, что функция f (х) ограничена.

§17. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)

17.1.Определения и основные теоремы

~Функция у = f(x) называется бесконечно малоfi. npu х -+ х0,

136

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для лю­ бого числа е > О найдется число б > О такое, что для всех х, удо­ влетворяющих неравенству О< !х - хо! < б, выполняется неравенство

lf(x)I < е.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми

величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами а:, fJ и т. д.

Примерами б.м.ф. служат функции у = х2 при х -+ О; у = х - 2

при х-+ 2; у= sinx при х-+ 7rk, k Е Z.

Другой пример: Xn = ~, п Е N, - бесконечно малая последова­

тельность.

Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Q Пусть а(х) и fJ(x) - две б.м. функции при х -+ х0. Это значит,

ся число б1 >О такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству О < lx - хо1 < б1, выполняется неравенство

иlim fJ(x) =О, т. е.

x-txo

(17.3)

Пусть б - наименьшее из чисел б1 и б2• Тогда для всех х, удовле­

творяющих неравенству О < !х - хо! < б, выполняются оба неравен­ ства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Аналогично проводится доказательство для любого конечного чи­ сла б.м. функций.

Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно

малую функцию есть функция бесконечно малая.

137

О Пусть функция f(x) ограниченаприх -t хо. Тогдасуществуеттакое

для всех х из 81-окрестности точки х0. И пусть а(х) - б.м.ф. при

х -t хо. Тогда для любого е > О, а значит, и М > О найдется та-

кое число 82 > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству О < < jx - xol < 82, выполняется неравенство

х, удовлетворяющих неравенству О < jx - xol < 8, выполняются оба

неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, l/(x) ·a(x)I= l/(x)l·la(x)\ <

< М ·М = е. А это означает, что произведение f(x) · а(х) при х -t х0

есть бесконечно малая функция. •

Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы

(17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно

малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция беско­

нечно малая.

Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на

функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция беско­

нечно малая.

представлена в виде произведения 6.м.ф. а(х) на ограниченную функ-

цию J(x). Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное f~~~ =

= а(х) · J(x) есть функция бесконечно малая.

Покажем, что функция JCx) ограниченная. Возьмем е < ia\. То­

гда, на основании определения предела, найдется 8 >О, что для всех

х, удовлетворяющих неравенству О< jx - х01 < 8, выполняется нера­

венство 1/(х) - aj < е. А так как е > l/(x) - aj = ja - /(x)j ~ lal - j/(x)j,

138

то lal - lf(x)I <с, т. е. lf(x)I > lal - с> О. Следовательно,

т. е.1alx)1 > ~' т. e. Ia(lx) 1 > М, где М =~·А это означает, что функ­

ция alx) есть бесконечно большая. Аналогичнодоказывается обратное

За.ме-чание: Доказательства теорем приводились для случая, когда

х --t хо, но они справедливы и для случая, когда х --t оо.

При.мер 17.1. Показать, что функция

f(x) = (х -1) 2 · sin3 -х -1-1

при х --t 1 является бесконечно малой.

Q Решение: Так как lim (х - 1)2 =О, то функция ip(x) = (х - 1) 2 есть

х-+1

139