Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В ПРОСТРАНСТВЕ

1Лекции 10-121

§12. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

12.1.Основные понятия

Поверхность и ее уравнение

~Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать

как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо

условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке 0 1 есть гео­ метрическое место всех точек пространства, находящихся от точки 0 1

на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволя­

ет установить взаимно однозначное соответствие между точками про­

странства и тройками чисел х, у и z - их координатами. Свойство,

общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, свя­

зывающего координаты всех точек поверхности.

~ Уравнением данноit поверхности в прямоугольной системе

координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) =О с тремя

переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты то­

чек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении

поверхности называются текущими координатами точек поверх­

ности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических

свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для

того, чтобы узнать, лежит ли точка М1 ( х1; у1; z1) на данной поверхно­

сти, достаточно подставить координаты точки М1 в уравнение поверх­

ности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют урав­

нению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не

лежит.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке 01 (хо; Уо; zo). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от

центра О1(хо; Уо; zo) равно радиусу R, т. е. О1М = R. Но О1М = I01MI,

где О1М = (х - хо; у - уо; z - zo). Следовательно,

J(x - хо)2 + (у - Уо)2 + (z - zo) 2 = R

90

или

/ (х - хо)2 + (у - Уо)2 + (z - zo) 2 = R2 • ,

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты

любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы 0 1 совпадает с началом координат, то уравнение

сферы принимает вид х2 + у2 + z 2 = R2 •

Если же дано уравнение вида F(x; у; z) = О, то оно, вообще говоря,

определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях

уравнение F(x; у; z) =О может определять не поверхность, а точку, ли­

нию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят,

«поверхность вырождается».

Так, уравнению 2х2 + у2 + z 2 + 1 = О не удовлетворяют никакие

действительные значениях, у, z. Уравнению О· х2 +у2 + z2 =О удовле­

творяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у= О, z =О, ах - любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1.Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти урав­

нение этой поверхности.

2.Дано уравнение F(x; у; z) = О. Исследовать форму поверхности,

определяемой этим уравнением.

Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересе­

чения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место

точек, общих двум поверхностям.

Если F1 (x;y;z) =О и F2 (x;y;z) =О - уравнения двух поверхно­

стей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удо­

влетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

~Уравнения системы (12.1) называются уравнениями. ли.ни.и. в

{у- о

пространстве. Например, - ' есть уравнения оси Ох.

z=O

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию дви­

жения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторн:ы.м урав-

нение.м

91

z

х

или параметри-ческими уравнени.я.ми

{х = x(t), у = y(t),

z = z(t)

проекций вектора (12.2) на оси координат.

Например, параметрические уравнения винтовоi~ .линии имеют

вид

{х = Rc~st,

у= Rsшt,

Z -- At•

27Г

Если точка М равномерно движется по образующей кругового ци­

линдра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М

описывает винтовую линию (см. рис. 68).

12.2. Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в про­ странстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них

соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, прохоАящей через Аанную точку

перпенАикулярно данному вектору

произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор

МоМ = (х - хо; у - Уо; z - zo).

92

z

h

у

х

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы n и

М0М взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение

равно нулю: n · М0М = О, т. е.

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению

(12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравне­ нию не удовлетворяют (для них n · М0М "#О).

~Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, прохо-

дящеii. через данную точку Мо(хо; уо; zo) перпендикулярно вектору n = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор n = (А; В; С) называется нормальным

вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные

значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей

через точку М0. Совокупность плоскостей, проходящих через данную

точку, называется связкоt/, п.лоскостеti,, а уравнение (12.3) - уравнени­

ем связки п.лоскостеt/,.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными

х, у и z:

93

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не

равен нулю, например В f. О, перепишем уравнение (12.4) в виде

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что урав­

нения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным

вектором n = (А; В; С), проходящей через точку М1(О; - ~;О).

~Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz не­

которую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравне­

нием n,11,ocкocmu.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если D = О, то оно принимает вид Ах+ Ву+ Cz =О. Этому

уравнению удовлетворяет точка 0(0; О; О). Следовательно, в этом слу­

чае nлоскостъ проходит 'Через на-чало координат.

2. Если С = О, то имеем уравнение Ах+ Ву+ D = О. Нормальный вектор n = (А; В; О) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, nлос­ костъ параллелъна оси Oz; если В= О- параллельна оси Оу, А= 0 - параллельна оси Ох.

3. Если С = D = О, то плоскость проходит через 0(0; О; О) парал­

лельно оси Oz, т. е. плоскость Ах+ Ву = О проходит 'Через осъ Oz. Аналогично, уравнениям Ву+ Cz =О и Ах+ Cz =О отвечают плоско­

сти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4. Если А= В= О, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + D =О,

т. е. z = -g. Плоскость параллелъна плоскости Оху. Аналогично,

уравнениям Ах+ D = О и Ву+ D = О отвечают плоскости, соответ­ ственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

плоскости Oxz; х =О - уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют

единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей

через три данные точки M1(x1;Y1;z1), M2(x2;y2;z2) и Мз(хз;уз;zз), не

лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и составим

векторы М1М = (х-х1; у-у1; z - z1), М1М2 = (х2 - X1iY2 -у1; z2 -z1),

М1Мз = (хз - Х1; Уз - У1; zз - z1). Эти векторы лежат на плоскости Q,

следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно­

сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем

94

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проход.ящеi1 'Ч,ерез три дшн-

ные то-чки.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно

отрезки а, Ь и с, т. е. проходит через три точки А(а; О; О), В(О; Ь; О) и С(О; О; с) (см. рис. 70).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

х-а у z

-а Ь О =О.

-а О с

Раскрыв определитель, имеем Ьсх - аЬс + abz +асу = О, т. е. Ьсх +асу +

z

с

Уравнение (12.7) называется уравнением n,11,ocкocmu в отрез­

ках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единично­ го вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного

на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра

(см. рис. 71).

95

Пусть ОК = р, а а, (3, 'У - углы, образованные единичным век­

тором ё с осями Ох, Оу и Oz. Тогда ё = (cosa; соs(З; COS"f). Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор f= ОМ= (x;y;z).

При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-

вектора f на направление вектора ё всегда равно р: прё r = р, т. е.

Уравнение (12.8) называется нормалънъtм уравненttем плоскостtt в векторноii. форме. Зная координаты векторов f и ё, уравнение (12.8)

~Уравнение (12.9) называется нормал:ьним уравнением плос­ кости в кoopiJuнamнou форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к

нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4)

на нормирующий множитель.>.= ± JА2 1В2 + 02, где знак берется

противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плос­

кости.

12.3. Плоскость. Основные задачи

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости Q 1 и Q2:

А1х + В1у + C1z + D1 =О,

А2х + В2у + C2z + D2 = О.

~Под углом ме-;нсiJу nлоскост.ями Q 1 и Q2 понимается один из

двугранных углов, образованных этими плоскостями.

= А1А2 + В1В2 + С1С2 .

COS!.p v v

Af + Bt + Ct . А~ + в~ + с5

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости Q1 и Q2 перпендикулярны (см. рис. 73, а), то та­ ковы же их нормали, т. е. fi1 J_ n2 (и наоборот). Но тогда fi1 · n2 = О,

96

т. е. А1А2 + В1В2 + С1С2 =О. Полученное равенство есть условие пер­ пендикулярности двух плоскостеiJ. Q1 и Q2 .

Если плоскости Q1 и Q2 параллельны (см. рис. 73, б), то будут

параллельны и их нормали n1 и n2 (и наоборот). Но тогда, как известно,

координаты векторов пропорциональны: 4; = ~ = ~. Это и есть

условие параллельности двух плоскостей Q1 и Q2 •

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка Мо(хо; Уо; zo) и плоскость Q своим уравнением

Ах+ Ву+ Cz + D = О. Расстояние d от точки Мо до плоскости Q находится по формуле

d = IAxo + Вуо + Czo + DI .

./А2 + в2 +с2

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от

точки Мо(хо;Уо) до прямой Ах+ Ву+ С= О (см. с. 73).

Расстояние d от точки Мо до плоскости Q равно модулю проек­

ции вектора М1М0, где M 1(x1;y1;z1) -произвольная точка плоскости

A так как точка М1(х1; у1; z1) принадлежит плоскости Q, то

97

точки М0(х0; у0; z0 ) до плоскости Q может быть найдено по формуле

d = lxo cosa + Уо соs(З + zo cos1 - PI·

L

z

а

х х

Рис. 74 Рис. 75

12.4. Уравнения прямой в пространстве

Векторное уравнение прямой

~Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать

какую-либо точку М0 на прямой и вектор S, параллельный этой

прямой:. Вектор S называется направляющим вектором npямoii.

Пусть прямая L задана ее точкой: Мо(хо; Yoi zo) и направляющим векто­

ром S = (т; п;р). Возьмем на прямой: L произвольную точку М(х; у; z).

Обозначим радиус-векторы точек М0 и М соответственно через fo и f. Очевидно, что три вектора r0 , f и М0М связаны соотношением

называемый параметром, может принимать различные значения в за­

висимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75). Уравнение (12.10) можно записать в виде

~Полученное уравнение называется вепmорн'Ьl.М уравнением np.ямoii..

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что f = (x;y;z), fo = (x0 ;yo;zo), tS = (tm;tn;tp), уравне­

ние (12.11) можно записать в виде

xi + yJ + zk = (хо + tm)i + (Уо + tn)J + (zo + tp)k.

98

Отсюда следуют равенства:

Z = Zo + pt.

Они называются параметри'Ческими уравнениями прямоii, в простран­

стве.

Канонические уравнения прямой

Пусть § = (т; п;р) - направляющий вектор прямой L

иМо(хо; уо; zo) - точка, лежащая на этой прямой. Вектор МоМ, соеди­

няющий точку М0 с произвольной точкой М(х; у; z) прямой L, паралле­

лен вектору§. Поэтому координаты вектора М0М=(х-х0; у-у0; z-z0)

ивектора§= (т; п;р) пропорциональны:

\7=~=7·\ (12.13)

~Уравнения (12.13) называются канони'Ческими уравнени.ями npямoit в пространстве.

Заме'Чания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу

из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t.

Из уравнений (12.12) находим

2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13)

означает обращение в нуль соответствующего числителя.

Например, уравнения х 32 = У~ 4 = z 01 задают прямую, про­

ходящую через точку М0(2; -4; 1) перпендикулярно оси Oz (проекция

вектора§ на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит

в плоскости z = 1, и поэтому для всех точек прямой будет z - 1 =О.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки

Пусть прямая L проходит через точки М1(х1 ;у1; z1) и М2(х2; у2; z2).

В качестве направляющего вектора § можно взять вектор М1М2 = = (х2 -х1;У2 -у1; z2 - z1), т. е. S = М1М2 (см. рис. 76). Следовательно,

т = х2 - Х1 , п = У2 - У1, р = z2 - z1. Поскольку прямая проходит через точку M 1 (x 1 ;y1 ;z1 ), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид

99