Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

29.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф­

ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления

(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного

интеграла.

Например, так как

d(sin и)= cosu · du,

Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных

методов интегрирования.

Интегралы в приводимой ниже таблице называются таб.ли'Чнымu. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных

функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения

первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле­

довательно, необходимо знать табличные интегра.,-~ы и уметь их узна­

вать.

Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте­ грирования и может обозначать как независимую переменную, так и

функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно­ сти формулы интегрирования).

В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль­

ному выражению в левой части формулы.

Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция l опре­

и

делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.

230

Таблица основных интегралов

231

§30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

30.1.Метод непосредственного интегрирования

~Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-

ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы­

ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит­ ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не­

посредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используют­

ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения

под знак дифференциала»):

du = d(u +а), а - число,

1

и· dи = "2d(и2),

соsиdи = d(sinи), sin и du = -d(cosи),

-1 du = d(ln и),

и

1

-2-dи = d(tgu). cos и

Вообще, f1(u) du = d(f(и)), эта формула очень часто используется при

вычислении интегралов.

Пример'Ы:

(формула 13);

232

233

13) Jх3 • \11+x2 dx= j(1+x2 )!·x·(x2 +1-1)dx= ~J(1 + x2 )i d(1 + х2) - ~ j(l + х2)!d(1 + х2)

Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо­ бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по­

дынтегральной функции».

Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель­

ного числа упражнений.

30.2.Метод интегрирования подстановкой

(заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но­

вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан­

ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та­

бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).

Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно

определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл JJ(x) dx. Сделаем подста­

новку х = ip(t), где r.p(t) - функция, имеющая непрерывную производ­

ную.

Тогда dx = ip'(t) dt и на основании свойства инвариантности фор­

мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования nодстановкоii

Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в не­

определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части

этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = ip(x), то-

гда Jf(r.p(x)) · rp'(x) dx = Jf(t) dt, где t = r.p(x). Другими словами,

формулу (30.1) можно применять справа налево.

Пример 30.1. Найти Jeci dx.

234

Пример 30.2. Найти j х · ./х - 3dx.

235

~Полученная формула называется фор.му.л.оfi. интегрирования по част.ям. Она дает возможность свести вычисление интегра-

ла j иdv к вычислению интеграла j v du, который может оказаться

существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­ ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в

виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, мож­

но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор­

мулу приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять

методом интегрирования по частям.

JP(x)ekx dx, JР(х)·sinkx dx, j Р(х) coskxdx,

где Р(х) - многочлен, k - число. Удобно положить и= Р(х), а за dv

обозначить все остальные сомножители.

2. Интегралы вида jP(x)arcsinxdx, jP(x)arccosxdx,

j P(x)lnxdx, j P(x)arctgxdx, j P(x)arcctgxdx. Удобно положить

Р(х) dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.

3. Интегралы вида j еах · sin Ьхdx, j еах · cos Ьх dx, где а и Ь -

числа. За и можно принять функцию и = еах.

Пример 30.6. Найти j(2x + 1)е3х dx.

положить С= О). Следовательно, по формуле интегрирования по ча­

стям:

236

При.мер 30.7. Найти jinxdx.

~ где п - натуральное число, ai (i =О, 1, ... , п) - постоянные коэф­

фициенты, называется многоч.л.еном (или целоit рацuонал.ьноi& функциеi&). Число n называется степенью многочлена.

237

~Корнем много-чд,ен.а (31.1) называется такое значение х0 (во­

обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен

обращается в нуль, т. е. Рп(хо) =О.

Теорема 31.1. Если х1 есть корень многочлена Рп(х), то многочлен

делится без остатка на х - х1 , т. е.

где Pn-1 (х) - многочлен степени (п - 1).

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи­

тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Теорема 31.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен п-й степени (п >О) имеет по крайней мере один корень, действительный

или комплексный.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло­

жении многочлена на линейные множители.

Теорема 31.3. Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде

где х1, х2, ... , Xn - корни многочлена, а0 - коэффициент многочле­

на при xn.

Q Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо­

значим его через х1 • Тогда имеет место соотношение (31.2). А так как

Pn-1(x) - также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через х2. Тогда Pn-1 (х) = (х-х2) ·Pn-2(x), где Pn-2(x) - многочлен (n-2)-й степени. Следовательно, Pn(x) = (х - х1)(х - x 2)Pn- 2 (x).

Продолжая этот процесс, получим в итоге:

~Множители (х - Xi) в равенстве (31.3) называются д,uн.еi&н.ЪtМu

мн.о;нсиmел..ями.

Пример 31.1. Разложить многочлен Р3(х) = х3 - 2х2 - х + 2 на

множители.

238

Q Решение: Многочлен Р3( х) = х3 - 2х2 - х +2 обращается в нуль при

х = -1, х = 1, х = 2. Следовательно,

Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретил­ ся k раз, то он называется корнем кратности k. В случае k = 1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется просm'Ьtм.

Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде

(31.4)

если корень х1 имеет кратность ki, корень Х2 - кратность k2 и так

далее. При этом k1 + k2 + ···+ kт = п, а r - число различных корней. Например, разложение

Рв(х) = (х - 3)(х + l)(x - 4)(х - 3)(х - 3)х(х - 4)(х - 3)

можно записать так:

Рв(х) = (х - 3)4 ·(х+1) · (х - 4)2 • х.

Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утвержде-

ния.

Теорема 31.4. Если многочлен Рп(х) = aoxn + a1xn-l + ···+ an

тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема 31.5. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф­ фициентам другого.

Например, если ах3 + Ьх2 + сх + d =х3 - 3х2 + 1, то а = 1, Ь = -3,

с= о, d = 1.

239