Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdfQ Решение: Рассмотрим функцию f(x) = arctgx. По формуле (24.4) |
|||
имеем: |
|
|
|
arctg(x + Лх) ~ arctgx + (arctgx)' · Лх, |
|
||
т. е. |
|
Лх |
|
arctg(х + Лх) ~ arctg х + - |
--2 • |
|
|
|
1 |
+х |
|
Так как х + Лх = 1,05, то при х = 1 и Лх = 0,05 получаем: |
• |
||
0,05 |
1Г |
|
|
arctg 1,05 ~ arctg 1 + 1 + 1 = |
'4+ 0,025 ~ 0,810. |
|
|
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не |
|||
превышает величины М · (Лх)2 , где М - |
наибольшее значение lf"(x)I |
||
на сегменте [х; х + Лх] (см. с. 196). |
|
|
|
При.мер 24.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении
на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения
тела Н =~·t2Ул= 1,6 м/с2•
Q Решение: Требуется найти H(l0,04). Воспользуемся приближенной
формулой (ЛН ~ dH)
H(t + Лt) ~ H(t) + H'(t) · Лt.
При t = 10 с и Лt = dt = 0,04 с, H'(t) = gлt, находим |
|
|
|
||
|
16·100 |
+ 1,6 · 10 · 0,04 = 80 + 0,64 |
= 80,64 |
|
8 |
H(l0,04) ~ |
' 2 |
(м). |
|||
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т =
= 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно
кинетическую энергию тела ( Ек = m22 ; Ек(10,02) ~ 1004 (Дж)).
24.б. Дифференциалы высших порядков
Пусть у = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х -
независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f'(x) dx
есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции у= f(x) называется
ее втор'Ым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и
обозначается d2y или d2 f(x).
Итак, по определению d2y = d(dy). Найдем выражение второго
дифференциала функции у= f(x).
Так как dx = Лх не зависит от х, то при дифференцировании
считаем dx постоянным:
d2 y = d(dy) = d(f'(x) dx) = (f'(x) dx)' · dx = J"(x) dx · dx = J"(x)(dx) 2 ,
190
т. е. |
(24.5) |
d2 y = f"(x)dx 2 . |
Здесь dx2 обозначает (dx )2 .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по
рядка:
И, вообще, дифференциал п-го порядка есть дифференциал от
дифференциала (n -1)-го порядка: dny = d(dn- 1 y) = j(n)(x)(dx)n.
Отсюда находим, что j(n) (х) = fx~. В частности, при п = 1, 2, З
соответственно получаем:
f'(x) = ~~, J"(x) = ~;, f"'(x) = ~:~,
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
lil Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы толь-
ко, если х - независимая переменная. Если же функцию у = f (х),
где х - функцu.я от кaкoii.-mo другоii. независимоii. переменноii.,
то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством
инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(u · v) =
= vdu + udv), получаем:
d2 y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + f'(x) · d(dx) = f"(x) dx · dx + J'(x) · d2 x,
т. е. |
= !" (х) dx2 + f' (х) ·d2 x. |
(24.6) |
d2y |
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае
сложной функции формула дифференциала второго порядка изменя
ется: появляется второе слагаемое f'(x) · d2x.
Ясно, что если х - независимая переменная, то
d2 x = d(dx) = d(1 · dx) = dx · d(l) = dx ·О= О
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
Пример 24.6. Найти d2y, если у= е3х их - независимая пере
менная.
о Решение: Так как у' = Зе3Х' у" = 9е3Х, то ПО формуле (24.5) имеем
d2y = 9е3"' dx2 . |
8 |
При.мер 24. 7. Найти d2y, если у= х2 их= t 3 + 1 и t - |
незави |
симая переменная. |
|
191
Q Решение: Используем формулу (24.6): так как
у'= 2х, у"= 2, |
dx = 3t2 dt, d2 x = 6t dt2 , |
то |
|
d2 y = 2dx2 + 2х · 6t dt2 = 2(3t2 dt) 2 + 2(t3 + 1)6t dt 2 = |
|
= 18t4 dt2 |
+ 12t4 dt 2 + 12t dt 2 = (30t4 + 12t) dt2 . |
Другое решение: у = х2 , х = t3 + 1. Следовательно, у = (t 3 + 1)2 . |
|
Тогда по формуле (24.5) |
|
т. е. |
+ 12t) dt 2 • |
• |
d2 y = (30t4 |
|
§ 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ
ПРОИЗВОДНЫХ
25.1.Некоторые теоремы о дифференцируемых
функциях
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при
кладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь) и на концах отрезка при
нимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь), в которой производная f'(x) обращается в нуль, т. е.
f'(c) =О.
О Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то она дости
гает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по теореме 19.4), соответственно, Ми m. Если М = т, то функция f(x) постоянна на [а; Ь] и, следовательно, ее производная f'(x) =О в любой точке отрезка [а; Ь].
Если М =/= т, то функция достигает хотя бы одно из значений М
или т во внутреннеii, точке с интервала (а; Ь), так как f(a) = f(Ь).
Пусть, например, функция принимает значение М в точке х =
= с Е (а; Ь), т. е. /(с) = М. Тогда для всех х Е |
(а; Ь) выполняется |
соотношение |
(25.1) |
/(с)~ f(x). |
|
Найдем производную f' (х) в точке х = с: |
|
/'(с)= lim /(с+дх)-/(с)_
Лх-+0 дх
192
у
уу
м
|
|
|
|
m'1 |
О а |
с |
ь х О а |
с |
Ь Х Q а С1 |
|
Рис. 139 |
|
Рис. 140 |
Рис. 141 |
В силу условия (25.1) верно неравенство f(c + Лх) - f(c) ~ О. Если Лх >О (т. е. Лх--+ О справа от точки х =с), то
f(c + Лх) - f(c) ~О и поэтому J'(c) ~О.
Лх
Если Лх <О, то
f(c + л;~ - f(c) ~о и !'(с) ~о.
Таким образом, f'(c) =О. |
8 |
В случае, когда f(c) = т, доказательство аналогичное. |
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
у= f(x) найдется точка, в которой касательная к графику параллель
на оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.
Теорема 25.2 (Коши). Если функции f(x) и ср(х) непрерывны на отрезке [а; Ь], дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем ср'(х) =/:-О для х Е (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь) такая, что
выполняется равенство f(b) |
- |
f(a) |
= !'(с). |
ср(Ь) |
- |
ср(а) |
ср1(с) |
Q Отметим, что ср(Ь)-ср(а) =/:-О, так как в противном случае по теореме
Ролля нашлась бы точка с, такая, что ср'(с) =О, чего не может быть по
условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
f(b) - f(a)
F(x) = f(x) - f(a) - ср(Ь) _ <р(а) (ip(x) - <р(а)).
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от
резке (а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является
193
линейной комбинацией функций f(x) и rp(x); на концах отрезка она
принимает одинаковые значения F(a) = F(Ь) =О.
На основании теоремы Ролля найдется точках= с Е (а; Ь) такая,
что F'(c) =О. Но F'(x) = f'(x) - ~Ш=~~:)rр'(х), следовательно,
F'(c) =!'(с) - f(Ь) - |
f(a) rp'(c) =О. |
|
|
||
|
rр(Ь) - |
rp(a) |
|
|
|
Отсюда следует |
|
|
|
|
• |
!'(с)= f(b) - |
f(a) rp'(c) и |
f'(c) |
f(b) - |
!(а) |
|
rр(Ь) - |
rp(a) |
rp'(c) |
= rр(Ь) - |
rp(a) · |
|
Теорема 25.З (Лагранж). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы одна
точка с Е (а; Ь) такая, что выполняется равенство
f(Ь) - f(a) = J'(с)(Ь - а). |
|
(25.2) |
Q Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный |
||
случай теоремы Коши. Действительно, положив <р(х) |
= |
х, находим |
rр(Ь) - <р(а) = Ь- а, rp'(x) = 1, <р'(с) = 1. |
<р1 |
(с) , получа- |
Подставляяэти значения в формулу ~f~j =~~~~ - |
||
- |
J'(c) |
|
ем J(ЬЬ=~(а) = f'(c) или f(Ь) - /(а)= f'(с)(Ь - а). |
|
8 |
ij Полученную формулу называют фор.мулоu Лагран:;нса или фор.мулоu о коне-чно.м приращении: приращение дифференци
руемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умно
женному на значение производной функции в некоторой внутренней
точке этого отрезка. |
|
|
|
|
|
|
Теорема Лагранжа имеет про |
у |
|
y=f(x) |
стой геометрический смысл. Запи |
|
|
|
шем формулу (25.2) в виде |
|
1 |
|
f(Ь)- f(a) =/'(с), |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
Ь-а |
|
:ль)-f(а) |
||
|
|
||
|
|
|
где а<с<Ь. Отношение f(Ь)-f(a) |
|
|
|
Ь-а |
О а с |
Ь |
|
есть угловой коэффициент секущей |
х |
АВ, а величина /'(с) -угловой ко |
||
|
|
|
|
Рис. 142
эффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х =с.
194
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков:
на графике функции у= f(x) найдется точка С(с; !(с)) (см. рис. 142),
вкоторой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некото
ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
О Пусть f'(x) |
=О для \::/х Е (а; Ь). Возьмем произвольные х1 |
и Х2 из |
|||
(а; Ь) |
и пусть х1 |
< Х2. Тогда по теореме Лагранжа 3с Е (х1 ; х2) |
такая, |
||
что /(х2) - f(x1) |
= f'(c)(x2 - х1). Но по условию f'(x) |
=О, стало быть, |
|||
f'(c) |
= О, где х1 |
< с < х2. Поэтому имеем /(х2) - |
f(x1) = О, т. е. |
||
f(x 2 ) |
= f(x 1 ). А так как х1 и х2 - произвольные точки из интервала |
||||
(а; Ь), то \::/х Е (а; Ь) имеем f(x) =с. |
|
• |
|||
Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на
некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян
ное слагаемое.
О Пусть !{(х) = Л(х) при х Е (а;Ь). Тогда (/1(х) - /2(х))' = !{(х) - - f~(x) =О. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция /1 (х) -
- f2(x) есть постоянная, т. е. fi(x) - f2 (x) =С для \::/х Е (а;Ь). |
8 |
Пример 25.1. Доказать, что arcsinx+arccosx = i' где х Е [-1; 1]. |
|
Q Решение: Пусть f (х) = arcsin х + arccos х. Тогда \::/х Е (-1; 1) имеем |
||
f'(x) = h |
+ ~ = О. Отсюда следует, что f(x) |
= С, т. е. |
1 - х2 |
1- х2 |
|
arcsinx+arccosx =С. Положив х =О, находим 0+ i =С, т. е. С= i· |
||
Поэтому arcsin х + arccos х = i. Это равенство выполняется и при |
||
х = ±1 (проверьте!). |
8 |
|
Аналогично доказывается, что arctg х + arcctg х = ~. |
|
|
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему |
||
Лагранжа к отрезку [х; х + Лх] (дх >О), будем иметь |
|
|
|
f(x + дх) - f(x) = f'(с)дх. |
(25.3) |
Каждое число с Е (х;х + дх) можно записать в виде с= х + Одх, где О < () < 1 (действительно, х < с < х + дх ===? О < с - х < дх ===?
===?О< сЛхх < 1; положим сЛхх =()===?с= х+Одх). Формула (25.3)
примет вид
f(x + дх) - f(x) = J'(x + Одх)дх,
где О<()< 1.
195
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибли
женного равенства Лу ::::i dy. Сделаем это, считая, что функция J(x)
имеет непрерывную вторую производную f"(x):
Лу - dy = (f(x + Лх) - J(x)) - f'(х)Лх = f'(с)Лх - J'(х)Лх =
= (f'(c) - f'(х))Лх = /"(с1)(с - х)Лх,
где с1 Е (х; с) (рис. 143).
Итак, Лу - dy = f"(c1)(c - х)Лх. Пусть М = max lf"(x)I. Так
[х;z+дх]
как lc-xl < Лх, а f"(c1) ~ М, то получаем оценку IЛy-dyl ~ MIЛxl2 •
сх+Лх
Лх |
Хо С Х |
х |
Рис. 143 |
Рис. 144 |
|
25.2. Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 8и ~ , ко
торый основан на применении производных.
Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида 8>· Пусть функции J(x) и ср(х) непрерывны и дифференци
руемы в окрестности точки х0 и обращаются в нуль в этой точке: f(xa) = ср(ха) = О. Пусть <р1 (х) =J. О в окрестности точки хо. Если
существует предел lim |
f;(x) = l, то |
lim |
J(x) |
= lim |
f;(x) = l. |
х---+хо |
ср (х) |
z-txo |
ср(х) |
х---+хо |
<р (х) |
Q Применим к функциям f(x) и ср(х) теорему КошидЛЯотрезка [х0; х],
лежащего в окрестности точки х0• Тогда f~xjftxo~ |
= |
f;((c)), |
где с |
||||
|
|
|
<р Х - |
ер Хо |
|
ср С |
|
лежит между х0 и х (рис. 144). Учитывая, что |
f(x 0 ) |
= |
ср(х0) |
= О, |
|||
получаем |
J(x) |
f'(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25.4) |
||
|
ср(х) |
= <р'(с) · |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
При х---+ ха, величина с также стремится к х0; перейдем в равен |
|||||||
стве (25.4) к пределу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x) |
= lim |
f'(c). |
|
|
|
|
|
x-tzo <р(х) |
с---+хо |
<р1 (с) |
|
|
|
|
196
Так как lim f;((x)) = l, то |
lim !;((с)) = l. Поэтому |
lim f((x~ = l. |
8 |
x-txo <р Х |
с-+хо <р С |
х-+хо <р Х |
|
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если по
следний существует.
Заме"tания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции f(x)
и r.p(x) не определены при х = |
х0, |
но |
lim f(x) = |
О и |
lim r.p(x) = О. |
|
|
|
x-txo |
|
х-+хо |
Достаточно положить f(xo) = |
lim |
f(x) |
=О и r.p(xo) |
= |
lim r.p(x) =О. |
x---txo |
|
|
х-+хо |
||
2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х --"* оо. Дей |
|||||
ствительно, положив х = 1, получим |
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|
lim f(x) |
|
= lim !(~) |
= lim (!(~))' = lim f'(~)(--f.,) |
1. |
f'(x) |
|
|||||||||
x-too r.p(x) |
|
z-tO r.p(~) |
|
z-tO (r.p(~))' |
z-tO r.p'(~)(-f,) |
lffi -- |
|||||||||
|
|
x-too |
r.p1 ( Х) |
· |
|||||||||||
3. Если производные f'(x) и r.p'(x) удовлетворяют тем же условиям, |
|||||||||||||||
что и функции f(x) и r.p(x), |
теорему 25.4 можно применить еще раз: |
|
|||||||||||||
|
|
lim |
f(x) |
= lim f'(x) |
= lim f"(x) |
|
|
|
|
||||||
|
|
x-txo r.p(Х) |
|
х-+хо r.p1 ( Х) |
х-+хо r.p11 ( Х) |
|
|
|
|
||||||
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 25.2. |
Найти хlim-+1 хх1-nx1 . |
|
|
|
|
|
• |
||||||||
|
|
x-+lxlnx |
= |
[~] |
|
x-tl (xlnx)' |
x-tl lnx + 1 |
|
|||||||
Q Решение: |
lim х - |
1 |
|
|
= |
lim |
(х - |
l)'= |
lim |
1 |
= 1. |
|
|
||
Пример 25.3. Найти lim 1 - |
cos6x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
х-+0 |
2х2 |
|
|
|
|
|
|
||
Q Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1- cos6x = |
[О] = |
lim 6sinбx = [О] |
= ~ lim бсоsбх = 9. |
8 |
|||||||||||
x-tO |
2х2 |
О |
|
x-tO |
4х |
О |
2 x-tO |
|
1 |
|
|
||||
Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида
о. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопреде-
0
оо
ленности вида-.
00
197
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида 00 ).
00
Пусть функции f(x) и r.p(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест ности точки х0 (кроме, может быть, точки х0), в этой окрестности
lim |
f (х) = |
lim |
r.p(x) |
= |
оо, |
r.p1 (х) |
-::/- О. Если существует |
предел |
|||||||
х--+хо |
|
х--+хо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f:(x), |
то lim |
f(x) |
= |
lim |
f;(x). |
|
|
|
|
|
||||
Х--+Хо 'Р (х) |
Х--+Хо r.p(х) |
|
Х--+Хо r.p (х) |
|
|
|
|
|
|
||||||
п |
|
25.4. |
н |
айти |
1. |
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|||
ример |
|
im |
t |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
х--+~ |
g |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
Q Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
tg Зх = [оо] |
|
. |
|
3 ·cos2 |
5х |
3 . |
1+cos10х |
[~] |
= |
|||||
х--+~ |
tg 5х |
оо |
= х~ |
cos2 |
Зх |
· 5 = 5х~ |
1 + cos6x |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= ~ lim |
-10 sin 10х = |
lim |
sin 10х = (О] |
= |
lim |
10 cos 10х = ~ |
|||||||||
|
5 Х--+~ |
- 6 Sill 6Х |
|
Х--+~ |
Sill 6Х |
0 |
|
Х--+~ |
6 COS 6Х |
3 • |
|||||
2-й способ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
tgЗx = [оооо] |
[ х -t _!О= t |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Х--+~ |
tg 5Х |
|
|
|
--т |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
= lim tg(~7r + Зt) = lim ctg Зt |
= lim tg 5t = ~- |
||||||||||||
|
|
|
но tg( ~7Г + 5t) |
|
но ctg 5t |
но tg Зt |
3 |
||||||||
Раскрытие неопределенностей различных видов
Правило Лопита.ля применяется для раскрытия неопределенно
стей вида § и |
~, которые называют основными. Неопр€деленности |
|||||||
вида О· оо, оо - |
оо, 100 , 00°, о0 сводятся к двум основным видам путем |
|||||||
тождественных преобразований. |
|
|
|
|
|
|||
1. Пусть f(x)--+ О, r.p(x)--+ оо при х--+ х0. Тогда очевидны следую |
||||||||
щие преобразования: |
|
|
|
|
|
|
||
lim (J(x)r.p(x)) |
=[О·оо] = lim |
1\х) = [~] |
(или |
lim |
r.p\x) = |
( 00 ]) . |
||
х--+хо |
|
х--+хо |
'Р(х) |
|
х--+хо |
f(x) |
00 |
|
Например, |
|
|
= [0 |
|
|
|
|
|
lim tg 1Гх(2-х) = [оо ·О]= lim 2 -71"~ |
] = li~ -- 1 -- 71" - |
4 |
||||||
|
4 |
|
|
0 |
|
|
-1 |
|
х--+2 |
х--+2 ctg 4 |
х--+ |
- s.in2 ~~ · 4 |
7Г |
||||
198
2. Пусть f (х) -+ оо, <р(х) -+ оо при х-+ хо. Тогда можно поступить
так:
lim (f(x) - <р(х)) = [оо - оо] =
X--tXQ
= lim (-+- --+-)
х--+хо 7ГжJ <р(х)
На практике бывает проще, напри.мер,
х--+хо |
1 |
|
1 |
[5]· |
4'(Х) 7ГжJ |
||||
= lim |
4'(Х) |
- |
7Гж! |
|
|
1 |
|
1 |
|
!~с:х -х~1) = [оо- оо]= !~1::.\:~n~ = [5] |
= |
|
|||||
|
1 - 1 |
[о] |
!~ |
|
.Ь |
1 |
|
|
= !~ ~ +inx = |
О |
= |
1 |
х+ !. = |
2· |
|
|
х |
|
|
Х2" |
х |
|
|
3. Пусть или f(x) -+ 1 и <р(х) -+ оо, или f(x) |
-+ оо и <р(х) -+ О, |
||||||
или f(x) -+ О и <р(х) |
-+ О при х -+ хо. Для нахождения предела вида |
||||||
lim f(x)'l'(x) удобно сначала прологарифмировать выражение |
|
||||||
X--tXQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
А= f(x)'l'(x). |
|
|
|
|
|
|
Пример 25.5. |
1 |
|
|
|
|
|
|
Найти lim(cos2x);2". |
|
|
|
|
|
|
|
|
х--+0 |
|
|
|
|
|
|
Q Решение: Имеем неопределенность вида 100 • Логарифмируем выра
жение А= (cos2x)~, получим: lnA = ~lncos2x. Затем находим пре
дел:
limlnA=lim lncos2x |
(OJ=lim oohz(-sin2x)2 |
_ 2 lim tg2x= |
||
х--+0 |
х--+0 х2 |
О х--+0 |
2х |
х--+0 2х |
=-2,т. е. ln lim А=-2. Отсюда lim А=е-2, и |
lim(cos2x)~=e-2. 8 |
|||||||
|
х--+0 |
|
х--+0 |
|
|
|
х--+0 |
|
Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» |
||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x)'I' (х) |
lim <p(x)lnf(x) |
= |
ехр |
( |
lim <р(х) ln f(x) |
) |
||
= е-+•о |
|
|
|
|||||
х--+хо |
|
|
|
|
|
х--+хо |
|
|
(использовано основное логарифмическое тождество: j'I' = e nf"'). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Пример 25.6. Найти lim(!.)tgx. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
х--+0 |
х |
|
|
|
|
|
()Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) tg х |
|
|
1 |
|
|
ln !. |
|
|
lim ( - |
= [оо0] |
= exp(lim tgxln -) = exp(lim _х_) = |
||||||
х--+0 х |
|
х--+0 |
|
х |
|
|
х--+0 ctg х |
|
= exp(lim x(-r)) = exp(lim x(sinx) 2) = eO·l = ео = 1. 8 |
||||||||
|
х--+0 - |
sin2 х |
х--+0 |
|
Х |
|
|
|
199