Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdfПрименяя формулу (41.5), получаем
(3
l = JVr2 + r' 2 d'[J.
"'
Пример 41.5. Найти длину кардиоиды r = a(l + cos<p).
Q Решение: Кардиоида r = a(l + cos<p) имеет вид, изображенный на
рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по
ловину длины кардиоиды:
1 |
~ |
~ |
2z= JJ(a(1+cos'{J))2+(a(-sin'{J))2d'{J=a |
JJ2+2cos<pd<p= |
|
|
о |
о |
Таким образом, !t = 4а. Значит, l = 8а. |
• |
Рис. 186 |
Рис. 187 |
41.4. Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S
сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,
например оси Ох: S = S(x), а~ х ~ Ь.
Применим схему 11 (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер пендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь