Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

.pdf
Скачиваний:
24887
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
20.05 Mб
Скачать

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь,

ь

получаем S = Jуdx.

а

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже»

оси Ох (f(x) <О), то ее площадь может быть найдена по формуле

 

 

 

ь

 

у

 

 

S= - f ydx.

(41.2)

 

 

 

а

 

.........................

Формулы (41.1) и (41.2) можно

 

 

 

 

'

объединить в одну:

 

 

 

 

 

y=f1(x)

 

S = 1/ ydxl.

О а

ь

х

 

 

 

Рис. 174

 

 

 

 

 

Площадь фигуры, ограниченной

 

 

кривыми у = fi(x)

и у = f2(x), пря­

мыми х =а их = Ь (при условии f 2 (x)

~ / 1 (х)) (см. рис. 174), можно

найти по формуле

 

 

 

 

ь

ь

ь

 

 

S = Jf2(x) dx -

Jfi (х)dx = J(f2(x) - fi (х)) dx.

 

а

а

а

 

 

 

 

у

 

 

у

 

 

х= <р(у)

 

 

 

d •<•·.........

О а с

d

ь х

о

х

 

 

Рис. 175

 

 

Рис. 176

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то

прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так,

чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d,

осью Оу и непрерывной кривой х = ср(у) ~ О (см. рис. 176), то ее

площадь находится по формуле S = Jd xdy.

с

280

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривоiJ,, заданноiJ, параметри-чески

{х = x(t),

t Е [а; ,8],

у = y(t),

 

прямыми х =а их= Ь и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

S~1!y(t)- х'(t) d+

где а и ,8 определяются из равенств х(а) =а и х(,8) = Ь.

у

у

ь

о

а

х

 

 

 

Рис. 177

 

 

 

Рис. 178

 

 

При.мер 41.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и

графиком функции у= х2

- 2х при х Е [О; 3].

 

 

Q Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Нахо­

дим ее площадь S:

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

S = - J(х2 - 2х) dx + J(х2 -

2х) dx =

 

 

о

212

 

2

213

 

 

 

 

хз12

хзlз

х

8

27 8

8

2

= -з о+ х о+

3 2 -

2 =

-3

+ 4 + 3- 3 - 9 + 4

= 3

= 2 3· •

Пример 41.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной элли­ псом х = acost, у= bsint.

Q Решение: Найдем сначала :! площади S. Здесь х изменяется от О

до а, следовательно, t изменяется от~ до О (см. рис. 178). Находим:

~S=

о

о

/

bsint· (-asint)dt= -аЬ J sin2 tdt=

 

/2

1Г/2

281

~12

 

ь

 

-1.

~

ь

= -аЬ J(1-cos2t)dt = -а

( tj ~ -

2tJ 2)

= -7ra.

2

2

о

2

о

4

о

 

 

 

 

 

Таким образом, !s = 1Г~Ь. Значит, S = 7rab.

 

 

 

Полярные кооминаты

 

 

 

 

 

 

Найдем площадь S криволинеi1ного сектора, т. е. плоской фигуры,

ограниченной непрерывной линией r

= r(ср)

и двумя лучами ср = а и

ср = /3 (а< /3), где r и ср - полярные координаты (см. рис. 179). Для

решения задачи используем схему П - .метод диффере'Н.v,иала.

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла ср,

т. е. S = S(cp), где а~ ер ~ /3 (если ер= а, то S(a) =О, еслиер = /3, то

S(/3) = S).

2. Если текущий полярный угол ср получит приращение дср = dep,

то приращение площади ЛS равно площади «элементарного криволи­ нейного сектора» ОАВ.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения

ЛS при dep ~ О и равен площади кругового сектора ОАС (на рисун­ ке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dep. Поэтому

dS = ~r2 · dep.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от ср =а до ср = /3,

получим искомую площадь

1

/3

S = '2

Jr2 (cp) dcp.

 

а

р

о

р

Рис. 179 Рис. 180

Пример 41.з. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехле­

пестковой розой» r = асоsЗср (см. рис. 180).

282

Q Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «ро­

зы», т. е. ~ часть всей площади фигуры:

 

1Г/6

 

 

1Г/6

 

 

 

 

 

 

J(acos3<p) 2 d<p = 2

J ~(1 + соsб<р)d<p =

 

 

 

 

о

2

 

о

 

2

 

 

2

 

 

11Г/6

1

11Г/6)

 

О)= 1Га

 

 

= ~(

- . 6

= ~(~

+

 

 

 

4

<р о

+ 6 sш <р о

4 6

24 '

1

7Га2

. Следовательно, S

7Га2

 

 

 

 

т. е. бS =

24

= Т.

 

 

 

 

 

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изо­ браженной на рисунке 181, имеем:

l'°Y

1

13

l'°Y

о

 

S = 2 Jr~ d<p -

2 Jri d<p -

2 Jr~d<p.

р

а

 

а

J3

 

Рис. 181

41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ,

уравнение которой у= f(x), где а::::; х::::; Ь.

~Под дJ1,uнoii дуги АВ понимается предел, к которому стремится

длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев

ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стре­

мится к нулю.

Покажем, что если функция у= f(x) и ее производная у' = f'(x) непрерывны на отрезке [а; Ь], то кривая АВ имеет длину, равную

ь

 

l = JJ1 + (f'(x)) 2 dx.

(41.3)

а

 

Применим схему I (метод сумм).

 

1. Точками Хо = а, Х1, ... , Xn = Ь (хо < х1 < ...

< Хп) разобьем

отрезок [а; Ь] на п частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответ­

ствуют точки М0 =А, М1 , ... , Мп =В на кривой АВ. Проведем хорды МоМ1, М1М2, ... , Мп-1Мп, длины которых обозначим соответствен­

но через дL1, дL2, ... , дLn. Получим ломаную МоМ1М2 ... Мп-1Мп,

n

длина которой равна Ln = дL1 + дL2 + ... + дLп = I: дL;. i=l

283

у

y=f(x)

Мп-1

 

 

 

 

 

в

 

 

Мп

Ао

1

Рис. 182

2. Длину хорды (или звена ломаной) дLi можно найти по теореме

Пифагора из треугольника с катетами дхi и дуi:

дLi = J(дxi)2 + (дуi)2 ,

где дхi = Xi -

Xi-1, дуi =

f(xi)

- f(xi-1).

По теореме Лагранжа о

конечном приращении функции дуi =

f'(ci)

· дхi, где ci

Е (Xi-l; Xi)·

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛLi = J(дxi)2

 

+ (f'(ci) · дхi)2

= J1 + (f'(ci)) 2 дхi,

а длина всей ломаной М0М1 ..• Мп равна

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Ln = L

 

ЛLi = L Jl + (f'(ci)) 2 дхi.

(41.4)

3. Длина l

i=l

 

 

i=l

 

 

 

 

кривой АВ, по определению, равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

l =

lim

 

Ln =

lim

"ЛL;.

 

 

max

 

дL;--+0

 

max дL;--+0 ~

 

i=l

Заметим, что при ЛLi~O также и дхi~О (ЛLi=J(дxi)2 +(дyi)2 и, следовательно, jдxil<дLi)· Функция J1+(f1 (x)) 2 непрерывна на от­

резке [а; Ь], так как, по условию, непрерывна функция f'(x). Следова­

тельно, существует предел

интегральной суммы (41.4), когда

maxдxi~O:

 

 

 

n

Ь

l = lim

L J1 + (f'(ci))2дxi = JJ1 + (f'(x)) 2 dx.

max дl;--+0 .

 

(n--+oo)

i=l

а

ь

Таким образом, l = JJ1 + (f'(x))2 dx, или в сокращенной записи l =

Ьа

=JJ1 + (у~)2 dx.

а

284

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

{х = x(t),

а~ t ~ (З,

у= y(t),

где x(t) и y(t) - непрерывные функции с непрерывными производными

и х(а) =а, х((З) = Ь, то длина l кривой АВ находится по формуле

(3

 

l = JJ(x'(t)) 2 + (y'(t)) 2 dt.

(41.5)

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой

х = x(t), dx = x'(t)dt, f'(x) = ~:ш.

Пример 41.4. Найти длину окружности радиуса R.

Q Решение: Найдем ! часть ее длины

от точки

у

 

 

 

(О; R) до точки (R; О)

(см. рис. 183). Так как у =

 

 

= ./R2 -

х2,

то

 

 

 

 

 

 

 

R J

 

 

 

 

 

 

х

1

 

х2

Х

R

7r

 

 

-t=J

1+

R 2 2

dx=R·arcsin-1

о

=R·-.

 

 

4

о

 

 

R

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 183

 

Значит, l = 2пR. Если уравнение окружности запи­

 

сать в параметрическом виде х = R cos t,

у = R sin t

 

 

(О~ t

~ 2п), то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

271'

 

 

 

 

 

 

 

l

= JJ(-Rsin t) 2 + (Rcost) 2 dt = Rtl~1r = 2пR.

8

о

Вычисление длины дуги может быть основано на применении ме­ тода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3),

применив схему П (метод дифференциала).

1. Возьмем произвольное значение х Е [а; Ь] и рассмотрим перемен­ ный отрезок [а; х]. На нем величина l становится функцией от х, т. е.

l = l(x) (l(a) =О и l(Ь) = l).

2. Находим дифференциал dl функции l = l(x) при изменении хна

малую величину дх = dx: dl = l'(x) dx. Найдем l'(x), заменяя беско-

нечно малую дугу МN хордой дl, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):

l'(x) = lim ~ =

lim

J(дх)2 + (ду)2 =

 

 

Лх-+0 дх

Лх-+0

дх

 

г-----

 

+(у')2.

 

 

=

lim /1 + (ду)2

= J1

 

 

 

Лх-+0 У

дх

 

"'

Стало быть, dl = J1 + (у~)2 dx.

285

ь

3. Интегрируя dl в пределах от адо Ь, получаем l = JJ1+у~2 dx.

а

~ Равенство dl = J1+у~2 dx называется формулой дuфферен.циа­

л.а дуги в прямоугольных координатах.

т

/ !l:JJ..

 

ак как Ух= dx' то

 

dl = J(dx) 2 + (dy)2.

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско­

нечно малого треугольника мет (см. рис. 185).

у

_N___ в у

 

м

А

О а

 

х+ х

о

а х

х

х

 

 

 

Рис. 184

 

Рис.

Полярные координаты

x+dx х

185

Пусть кривая АВ задана уравнением в поляр-

ных координатах r = r(r.p), а ~ r.p ~ (3. Предположим, что r(r.p) и r'(r.p) непрерывны на отрезке [а; (З].

Если в равенствах х = r cos r.p, у = r sin r.p, связывающих полярные

и декартовы координаты, параметром считать угол r.p, то кривую АВ

можно задать параметрически {

х = r(r.p) cos ер,

 

у = r(r.p) S.Ш r.p.

Тогда

{ х~ = r' (ер) cos ер - r(rp) sin rp,

у~= r'(rp) sinr.p + r(r.p) cosrp.

Поэтому

J(x~)2 + (у~)2 =

=у'~(r1-(-rp-)-co_s_rp---r(_cp_)_si_n_r.p_)2+_(r-1-(cp-)-s-in_cp_+_r_(cp-)-c-os_r.p_)2_ =

=J(r'(rp))2 + (r(r.p))2.

Применяя формулу (41.5), получаем

(3

l = JVr2 + r' 2 d'[J.

"'

Пример 41.5. Найти длину кардиоиды r = a(l + cos<p).

Q Решение: Кардиоида r = a(l + cos<p) имеет вид, изображенный на

рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по­

ловину длины кардиоиды:

1

~

~

2z= JJ(a(1+cos'{J))2+(a(-sin'{J))2d'{J=a

JJ2+2cos<pd<p=

 

о

о

Таким образом, !t = 4а. Значит, l = 8а.

Рис. 186

Рис. 187

41.4. Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S

сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,

например оси Ох: S = S(x), а~ х ~ Ь.

Применим схему 11 (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер­ пендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь

сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно

изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части те­

ла, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х]

величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) =О, v(b) = V).

2.Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет

собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными

плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Лх, который при­ ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S (х) dx.

3.Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пре­

делах от а до Ь:

ь

 

V=jS(x)dx.

(41.6)

а

Полученная формула называется фор.му.л,оu обt'>е.ма те.л,а по п.л,ощадu. nара.л,.л,е.л,ьных ceчeнu.ii.

 

 

 

2

2

2

Прu..мер 41.6. Найти объем эллипсоида~+ J{;b +

~ = 1.

 

 

 

а

 

с

Q Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости

Oyz и на расстоянии х от нее (-а :::;;

х :::;; а),

получим эллипс (см.

рис. 188):

у2

 

z2

 

 

 

 

 

сьR)2 + ccJ1- ~)2 = 1.

 

Площадь

этого

эллипса равна S(x) =

 

= 1ГЬс(1 -

~).

Поэтому,

по формуле

(41.6), имеем

 

а

2

Рис. 188

V = 1ГЬс j

(1 - : 2 )

dx = 34 1ГаЬс. 8

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра­

ниченная непрерывной линией у = f(x) ~ О, отрезком а :::;; х ~ Ь и прямыми х =а их= Ь (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура

называется телом вращенм. Сечение этого тела плоскостью, перпен­ дикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох

(х Е [а; Ь]), есть круг с радиусом у= f(x). Следовательно, S(x) = 1Гу2 .

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади пара.,тшельных

сечений, получаем

Vx = j

ь

 

y2dx.

(41.7)

а

288

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной

функции х = 'Р(У) ;::: О и прямыми х = О, у = с, у = d < d), то

объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по

аналогии с формулой (41.7), равен

Vy = fd х2 dy.

(41.8}

с

у

у=/(х)

ох

о х

Рис. 189

Рис. 190

Пример 41. 7. Найти объем тела, образованного вращением фи­

гуры, ограниченной линиями у= х;, х =О, у= 2v'2 вокруг оси Оу (см.

рис. 190).

Q Решение: По формуле (41.8) находим:

Vy =

2V2

dy = 1ГY2l~V2

= 81Г.

о

/

 

41.5. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = !(х) ;::: О, где х Е [а;Ь], а функция у= f(x) и ее производная у1 = f'(x) непрерывны

на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой

АВ вокруг оси Ох.

Применим схему П (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер­

пендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность враще­

ния по окружности с радиусом у = !(х) (см. рис. 191). Величина S

поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, явля­

ется функцией от х, т. е. s = s(x) (s(a) =О и s(Ь) = S).

289

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.