Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

51.2. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является функ­

ция (51.3), т. е.

у= у* +у.

Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно об­ щее решение у соответствующего однородного уравнения (51.2), мето­ дом вариации произволън'Ых посто.я:нн:ых (метод Лагранжа), состоя­ щим в следующем. Пусть у= С1У1(х)+с2У2(х) -общее решение уравне­ ния (51.2). Заменим в общем решении постоянные с1 и с2 неизвестными функциями с1(х) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

была решением уравнения (51.1). Найдем производную

(у*)' = с~ (х)У1 (х) + с1(х)у~ (х) + с;(х)у2(х) + с2(х)у;(х).

Тогда

(у*)'= с1(х) ·у~(х) + с2(х) ·у;(х),

(у*)"= с~ (х) ·у~ (х) + с1(х) ·у~'(х) + ~(х) · у~(х) + с2(х) · у~(х).

Подставляя выражение для у*, (у*)1 и (у*)" в уравнение (51.1), полу­

чим:

с~(х) ·у~ (х) + с1 (х) ·у~'(х) + с;(х) ·у~(х) + с2(х) ·у~(х)+

+а1(х) [с1(х)у~ (х) +с2(х)у;(х)] +а2(х)[с1(х)у1 (х) +с2(x)yz (х)] = f(x),

или

с1(х) ·[у~'(х) + ai(x) ·у~ (х) + а2(х) · У1(х)] +

+с2(х) [у~(х) +а1 (х)у~(х) +а2(х)у2(х)] +с~(х)у~ (х)+с;(х)у~(х) = f (х).

Поскольку У1(х) и У2(х) - решения уравнения (51.2), то выражения в

квадратных скобках равны нулю, а потому

Таким образом, функция (51.6) будет частным решением у* уравне­

ния (51.1), если функции с1 (х) и с2 (х) удовлетворяют системе уравне­

ний (51.7) и (51.8):

{с~(х) ·У1(х) + с~(х) ·У2(х) =О,

(51.9)

с~ (х) ·у~ (х) + с~(х) ·у~(х) = f (х).

360

Определитель системы 1 ~~~~~ ~~~~~ 1 i= О, так как это определитель

Вронского для фундаментальной системы частных решений У1(х) и yz(x) уравнения (51.2). Поэтому система (51.9) имеет единственное ре­ шение: с~(х) = <р1(х) и с~(х) = r.p2(x), где r.p1(x) и r.pz(x) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с1 (х) и cz(x), а затем по формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1).

Пример 51.1. Найти общее решение уравнения у" + у = - 1 cosx- .

Q Решение: Найдем общее решение fj соответствующего однородного

уравнения у11 +у = О. Имеем: k2 +1 = О, k1 = i, k2 = -i. Следовательно, fj = с1 · cos х + cz · sin х. Найдем теперь частное решение у* исходного уравнения. Оно ищется в виде (51.6): у*= с1 (х) ·cosx+c2 (x) ·sinx. Для нахождения с1 (х) и с2(х) составляем систему уравнений вида (51.9):

+ х · sin х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

+ az(x) ·у= fi(x) и у11 + ai(x) · у1 + az(x)y = f2(x) соответственно,

то функция у* = Yi + у2 является решением данного уравнения.

361

51.3.Интегрирование ЛНДУ второго порядка

спостоянными коэффициентами

и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянн'Ьtми коэффициен­

тами, т. е. уравнение

где р и q - некоторые числа.

Согласно теореме 51.1, общее решение уравнения (51.10) предста­

вляет собой сумму общего решения у соответствующего однородного

уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное

решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации про­ извольных постоянных (п. 51.2).

Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу­ ет более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) урав­ нения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»:

I. f(x) = Рп(х) · eaz

или

П. f(x) = eaz · (Рп(х) · cosfix + Qт(х) · sin fix).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен­

тов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (51.10)

записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полу­ ченного тождества находят значения коэффициентов.

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

(51.12)

где r - число, равное кратности а как корня характеристического

уравнения k 2 + pk + q = О (т. е. r - число, показывающее, сколько

раз а является корнем уравнения k 2 + pk + q =О), а Qп(х) = A0 xn + + A 1 xn-l + ... + An - многочлен степени п, записанный с неопреде­

ленными коэффициентами Ai (i = 1, 2, ... , n).

362

Q а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения

k2 + pk + q =о,

т. е. а f. k1 ,2 • Следовательно,

r =О, у* = Qп(х) · еах, (у*)' = Q~(x) · еах + Qп(х) · еах ·а, (у*)"= Q~(x). еах + 2Q~(x). еах. а+ Qп(х). еах. а2.

После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (51.11),

сокращения на еах, получим:

Слева - многочлен степени п с неопределенными коэффициентами,

справа - многочлен степени п, но с известными коэффициентами. При­ равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе­

му (п + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, Ai, ... , Ап.

б) Пусть а является однократным (простым) корнем характери­

стического уравнения k2 + pk + q =О, т. е. а= ki f. k2.

Вэтом случае искать решение в форме у* = Qп(х)еах нельзя, т. к.

а2 +ра + q = О, и уравнение (51.13) принимает вид

Q~(x) + (2а + р) · Q~(x) = Рп(х).

В левой части - многочлен степени (п - 1), в правой части - много­

член степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*,

нужно иметь многочлен степени (п + 1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде у* = х · Qп(х)еах (в равенстве (51.12) положить

r = 1).

в) Пусть а является двукратным корнем характеристического

уравнения k2+pk+q =О, т. е. а= k1 = k2 • В этом случае a 2+pa+q =О

и 2а+р =О, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид Q~(x) = Рп(х).

Слева стоит многочлен степени п - 2. Понятно, чтобы иметь слева

многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде

у* = х2Qп(х)еах

где Рп(х) и Qт(х) - многочлены степени пит соответственно, а и f3 - действительные числа. Уравнение (51.10) запишется в виде

363

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения

где r - число, равное кратности а+ f3i как корня характеристического

уравнения k2 + pk + q =О, М1(х) и N1(x) - многочлены степени l с не­

определенными коэффициентами, l - наивысшая степень многочленов

Pn(x) и Qт(х), т. е. l = max(n, m).

Заме'Чани.я.

1. После подстановки функции (51.15) в (51.14) приравнивают мно­

гочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функци­

2.Форма (51.15) сохраняется и в случаях, когда Pn(x) =О или

Qт(х) =О.

3.Если правая часть уравнения (51.10) есть сумма функций видаями в левой и правой частях уравнения.

I или П, то для нахождения у* следует использовать теорему 51.2 о

наложении решений.

Пример 51.2. Найтиобщеерешениеуравненияу"-2у'+у = х-4.

Q Решение: Найдем общее решение fj ЛОДУ у" - 2у' +у = О. Характе­ ристическое уравнение k2 - 2k + 1 = О имеет корень k1 = 1 кратности 2.

Значит, fj = с1 · е"' + с2 · х · ех. Находим частное решение исходного

уравнения. В нем правая часть х - 4 = (х - 4) · е0·х есть формула ви­ да Р1 ( х) · е0·х, причем а = О, не является корнем характеристического

уравнения: а=/:- k1 . Поэтому, согласно формуле (51.12), частное реше­

ние у* ищем в виде у* = Q1 (x) · е0·х, т. е. у* =Ах+ В, где А и В -

неопределенные коэффициенты. Тогда (у*)'= А, (у*)" =О. Подставив у*, (у*)', (у*)" в исходное уравнение, получим -2А+Ах+В = х-4, или Ах+ (-2А +В) = х - 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых

степенях х, получаем систему уравнений:

{~2:~В=-4.

Отсюда А= 1, В= -2. Поэтому частное решение данного уравнения

имеет вид у*= х-2. Следовательно, у= Cfi+y*) = с1е"'+с2хех +х-2-

Q Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у = fj + у*. Находим

решение однородного уравнения fj: у" - 4у' + 13у = О. Характеристиче­

ское уравнение k2 - 4k + 13 =О имеет корни k1 = 2 + Зi, k2 = 2 - Зi. Следовательно, fj = е2х · ( с1 · cos Зх + с2 · sin Зх).

364

Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем слу­

чае имеет вид f(x) = е0·х · (40cos3x +О· sin3x). Так как а= О, (З = 3,

у*= АсоsЗх + Bsin3x. Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем:

(у*)'= -3Asin3x+3Bcos3x, (у*)"= -9Acos3x-9Bsin3x. Получаем:

- 9А cos Зх - 9В sin Зх - 4( -ЗА sin Зх + ЗВ cos Зх)+

+ lЗ(АсоsЗх + BsinЗx) = 40cos3x,

или

Пример 51.4. (Дл.я самосто.ятелъного решения.) Для предложен-

ных дифференциальных уравнений получить вид частного решения:

а) у" - Зу' + 2у = 5 + ех; 6) у" - 2у' + у = 2;

в) у"+ 4у = sin2x + cos 7х; г) у" + у = 5 cos 2х - х sin 2х;

д) у" - Зу' = х2 - 1 + cos х.

Ответы: а) А+ х ·В· ех; 6) А; в) x(Acos 2х +В sin 2х) +С cos 7х +

+ Dsin 7х; г) (Ах+ В) cos2x + (Сх + D) sin2x; д) х(Ах2 + Вх +С)+

+ D cosx + Esinx.

51.4.Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n > 2)

спостоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (n > 2) порядка

у(п) + а1(х) · y(n-l) + az(x) · y(n-Z) + ... + ап(х) ·у= f(x),

где а1 (х), az (х), ... , ап(х), f (х) - заданные непрерывные функции на (а; Ь).

Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

у(п) + а1(х) · y(n-l) + ... + ап(х) ·У= О.

365

Теорема 51.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-ro порядка). Общее решение у ЛНДУ п-го порядка равно сумме частного решения

у* неоднородного уравнения и общего решения у соответствующего ему однородного уравнения, т. е. у = у* +у.

Частное решение у* ЛНДУ п-го порядка может быть найдено, если

известно общее решение fj однородного уравнения, методом вариации

произвольных постоянных. Оно ищется в виде

у*= с1(х) · У1(х) + с2(х) · У2(х) + ... + сп(х) · Уп(х),

где Yi(x), i = 1, п, - частные решения, образующие фундаментальную

систему, однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных ci(x) имеет вид

ciy1 + С~У2 + с;уз + ... + C~Yn = О, ciy~ + с~у~ + с;у~ + ... + с~у~ = О, ciyr + с~у~ + c~yg + ... + с~у~ =о,

c'ly~n-1) + c~y~n-1) + с~у~п-1) + ... + c~y~n-1) = f(x).

Однако для ЛНДУ п-го порядка с nосто.я~-тыми коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* мо­

жет быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Метод подбора частного решения у* уравнения

Y(n) +P1Y(n-l) + ···+РпУ = f(x),

где Pi - числа, а правая часть f (х) имеет специальный вид, описанный

366

Тогда -(2Ах +В)= 2х. Отсюда А= -1, В= О и получаем у*= -х2 •

Следовательно, функция

§ 52. СИСТЕМЫ fJ.ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИИ

52.1. Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач

динамики криволинейного движения; задач электротехники для не­ скольких электрических цепей; определения состава системы, в ко­

торой протекают несколько последовательных химических реакций I

порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требу­

ется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Cucmeмoii ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых

содержит независимую переменную, искомые функции и их производ­

ные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых

функций У1, У2, ... , Yn, следующий:

{~~~~~~~~~-2·;.· .· .· .; -~~;-~~~~~~:::~~~-).~-~'

ГDn (х·'У1,"У2," ... ,"Уn>"у1>1 " у2,1 " ... ,"Уn1 ) - о·

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно произ­

водной, т. е. система вида

~называется нормальноii. cucmeмoii. ДУ. При этом предполага­

ется, что число уравнений равно числу искомых функций.

Заме"tание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (52.1).

367

Так, система трех ДУ второго порядка

d2 x - F (х·у·z· t· х'·у'·z') dt2 - 1,,,,,,'

d2~

dt = F2(x;y;z;t;x';y';z'),

2 "d,f;'Iz - F (x·y·z·t·x'·y'·z')- 3,,,,,,'

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых

переменных: ~~ =и, 1t = v, ~: = w, приводится к нормальной систе-

меДУ:

dx -и dt - '

О11_

dt = v,

dz -w dt - '

~~= F1 (х;у;z; t; и;v; w),

~~= F2(x;y;z;t;u;v;w),

~~= Fз(х;у;z; t; и;v; w).

Уравнение третьего порядка у"'= f(x; у; у'; у") путем замены у'=

=р, у" = р' = q сводится к нормальной системе ДУ

{ру'' ==рq,,

q' = f(x;y;p;q).

Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормаль­

ных систем.

~Решением сuстем'Ьt (52.1) называется совокупность из п функ­

ций у1,У2, ... ,yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой

системы.

На'Ча.л:ьн'Ьtе ус.л,ови.я для системы (52.1) имеют вид

(52.2)

ЗаiJа'Ча Коши для системы (52.1) ставится следующим образом: найти решение системы (52.1), удовлетворяющее начальным услови­

ям (52.2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.

368

Теорема 52.1 (Коши). Если в системе {52.1) все функции

f;(x; У1; · · ·, Уп)

непрерывны вместе со всеми своими частными производными по Yi

в некоторой области D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой

точке Мо(хо; у~; у~; ... ;у~) этой области существует, и притом един­

ственное, решение У1 = <р1(х), У2 = <р2(х), ... , Уп = 'Рп(х) системы,

удовлетворяющее начальным условиям {52.2).

Меняя в области D точку М0 (т. е. начальные условия), получим

бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде ре­

шения, зависящего от п произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным усло­

виям (52.2) можно однозначно определить постоянные с1 , с2, ... , Сп из

системы уравнений

{~_1_<~;-~1·;-~2·;·······;·~~~-~-~~~

'Рп(х; с1; с2; ... ; Сп) =у~.

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях по­

стоянных с1, с2, ... , Сп, называется 'Частн·ым решением системы (52.1).

52.2. Интегрирование нормальных систем

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы

ДУ является .метод сведен.и.я системы к одному ДУ въtсшего порядка.

(Обратная задача - переход от ДУ к системе - рассмотрена выше на примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.

Пусть задана нормальная система (52.1). Продифференцируем по

х любое, например первое, уравнение:

Подставив в это равенство значения производных ~, ~,... , ~и; из

369