Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «ми­

нус». Поэтому

где Dxz и Dyz - проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz

соответственно (замкнутые области).

Вформуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = у(х; z), а

вформуле (58.6) - уравнением х = х(у; z). Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в фор­ муле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует

где ds - элемент площади поверхности S; cosa, соs{З, cos1 - напра­ вляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S.

Поверхностные интегралы I и П рода связаны соотношением

jj Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = jj(Pcosa-гQcosf3+Rcos1)ds. (58.8)

I1 = jj-xdydz+zdzdx+5dxdy s

по верхней стороне части плоскости 2х - Зу + z 6, лежащей ~ IV

октанте.

430

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) - знак «минус». Сле­

довательно,

58.3. Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом П рода по замкнутой по­

верхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой по­

верхностью устанавливает следующая теорема.

Теорема 58.1. Если функции Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) непре­

рывны вместе со своими частными производными первого порядка в

пространственной области V, то имеет место формула

JJJ(~~+~~+~~)dxdydz= JJ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy, (58.9)

431

Добавляя равный нулю интеграл j/Rdxdy по внешней стороне S3

432

За.ме-чания.

1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области V,

которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного

вида.

2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычи­ сления поверхностных интегралов П рода по замкнутым поверхностям.

о

58.4. Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами П

рода устанавливает следующая теорема.

433

Теорема 58.2. Если функции Р(х; у; z), Q(x; у; z) и R(x; у; z) непре­

рывны вместе со своими частными производными первого порядка в

точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (58.13) называется формуло11, Стокса (Д. Г. Стокс - ан­

глийский математик, физик).

О Пусть z = f (х; у) - уравнение поверхности S, функции !(х; у), fx'(x;y), fy'(x;y) непрерывны в замкнутой области D (проекции по­

ны значениям функции P(x;y;z(x;y)) на

D

434

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверх­

ностный интеграл П рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство

перепишем в виде

(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)).

Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. cos 'У > О ('У - острый угол между нормалью nк поверхности S и осью Оz), то нормаль

n имеет проекции - g~, -g~, 1. Направляющие косинусы пропорцио­

нальны соответствующим проекциям:

дz дz

cosa: cos/3: cos1 = - дх : - ду : 1.

Отсюда - дz = cos /3 . Тогда

ду COS"(

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу

Стокса (58.13). •

Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для по­

верхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволиней­

ного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного ин­

теграла.

435

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

(см. п. 56.4), то криволинейный интеграл по произвольному простран­

ственному замкнутому контуру L равен нулю: f Рdx+Q dy+Pdz =О.

L

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит

6) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу

оо

оо

6)По формуле Стокса (58.13) находим:

Переходя к полярным координатам, получаем:

436

Глава Xlll. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

/Лекции 51-521

§59. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

59.1. Основные понятия

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследо­ ваниях математического анализа, имеют разнообразные практические

применения.

~Числовим рядом (или просто р.ядом) называется выражение

n=1

где и1 , и2 , ... , Un, ... - действительные или комплексные числа, назы­

ваемые -членами ряда, Un - общим членом ряда.

Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член ряда Un,

выраженный как функция его номера п: Un = f(n).

Е§] Сумма первых п членов ряда (59.1) называется п-й ·ч,асmи-чноii

суммоil, ряда и обозначается через Sn, т. е. Sn = и~ + и2 + · · · + Un·

Рассмотрим частичные суммы

Если существует конечный предел S = lim Sn последовательно­

п---tоо

сти частичных сумм ряда (59.1), то этот предел называют суммоii

00

ряда (59.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = 2::: Un·

частичных сумм 1, О, 1, О, 1, О, ... (S1 = 1, S2 = О, 53 = 1, ... ) не имеет

предела.

438

001

5.Ряд .L: п(п + 1) сходится. Действительно,n=l

т. е. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Своil,ство 1. Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна S, то ряд

n=1

где с - произвольное число, также сходится и его сумма равна cS.

Если же ряд (59.1) расходится и с=/. О, то и ряд (59.2) расходится.

0 Обозначим п-ю частичную сумму ряда (59.2)через S~и). Тогда

s~и) = CU1 + CU2 + ... + CUn = с(и~ + Uz + ... + Uп) =с. Sn.

Следовательно,

ряд (59.2) расходится. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет сумму S1 . Тогда

т. е. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости

439