Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

3. grad div а =

4. div rot а = V' · (V' х а) = О, так как смешанное произведение трех

векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что

поле вихря - соленоидальное.

5. rot rot а = V' х (V' х а) = V' (V' ·а) - (V' · V')a = grad div а - да, так

как двойное векторное произведение обладает свойством

а х (Ь х ё) = Б .а. ё - ё. а . Б.

Здесь да = др l + ДQ J+ дR k - векторная величина, полученная в

результате применения оператора Лапласа к вектору а.

§73. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ КЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

73.1. Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле а называется соленоиiJа.лънuм, если

во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. div а= О. Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных ско­

ростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле,

создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет элек­ трический ток, и другие.

Приведем некоторые своiiства соленоидального поля.

1. В соленоидальном поле а поток вектора через любую замкну­

тую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет ис­

точников и стоков.

2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого вектор­

ного поля, т. е. если div а = О, то существует такое поле Б, что а = rot Б. Вектор Ь называется вектор'Н'ЫМ nоте-нчиалом поля а.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения

соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное

утверждение - поле ротора векторного поля есть соленоидальное -

нами доказано (выше мы показали, что divrot а= О).

520

3. В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное се­

чение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностъю трубки).

Q Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными се­

чениями 81 и S2; боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из S1 , S2 и S, равен нулю. Следовательно,

JJ ands+ JJ ands+ JJ ands= JJJ divadv=O,

S S1 S2 V

где n - внешняя нормаль.

s

Рис. 280

Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль n пер­

пендикулярна к векторам поля, то JJ an ds =О и, следовательно, s

Переменив направление нормали на площадке 8 1 , т. е. взяв вну­

треннюю нормаль n1 , получим:

•

В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означа­ ет, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени,

равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

73.2. Потенциальное поле

Векторное поле а называется потен'Циалъним (или безвихревим, или градиентним), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е.

521

rot ii = О. Примером потенциального поля является электрическое поле

напряженности точечного заряда (и другие).

Приведем основные свойства потенциального поля.

Своi1ство 1. Циркуляция потенциального поля i'i по любому за­

мкнутому контуру в этом поле равна нулю.

L

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле ско­

ростей текущей жидкости равенство С = О означает, что в потоке нет

замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

Своi1ство 2. В потенциальном поле ii криволинейный интеграл

JРdx + Q dy + R dz вдоль любой кривой L с началом в точке М1

L

и концом в точке М2 зависит только от поло-

жения точек М1 и М2 и не зависит от формы

кривой.

Q Это свойство вытекает из свойства 1. Дей-

M1pM2qM1 лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1,

имеем

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

f Рdx + Q dy + R dz =

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента неко­

торой скалярной функции И(х;у; z), т. е. если rota =О, то существует функция И(х; у; z) такая, что а= gradU.

522

= ~~, т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифферен­

циалом некоторой функции И= И(х; у; z) (следствие 56.1). Эту функ­

цию называют потенциалом векторного поля а= Pl + Q] + Rk; dU =

ждение - поле градиента скалярной функции И= И(х; у; z) является

потенциальным.

Из равенства а = grad U следует, что потенциальное поле опреде­

ляется заданием одноii, скалярной функции И = И(х; у; z) - его потен­

циала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

стью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что

grad(U +а)= gradU).

Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных

функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y;z) - проекции вектора поля на

оси координат).

Заме'Чание. Определение потенциального поля может быть дано

иначе - векторное поле а называется потенциальным, если оно явля­

ется градиентом некоторого скалярного поля, т. е. а = grad И. (Ино­

гда пишут а = - grad И; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания И: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более

нагретого места к менее нагретому и т. д.)

Пример 73.1. Установить потенциальность поля

а(М) = (yz - 2x)l + (xz - 2у)] + xyk

и найти его потенциал.

523

Глава XVll. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1Лекции 63-681

§74. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

74.1. Основные понятия

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются

комплексные числа (см. гл. VI). Числа z = х + iy множества D будем

изображать точками комплексной плоскости z, а числа w = и+ iv множества Е - точками комплексной плоскости w.

~Если каждому числу (точке) z Е D по некоторому правилу по-

ставлено в соответствие определенное число (точка) w Е Е, то

говорят, что на множестве определена одкозкачная функция комп­

лексного переменного w = f(z), отображающая множество D в мно­

точка множества Е является значением функции, то Е - область зна­

чений функции; в этом случае функция f отображает D на Е). Да.лее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f (z),

для которых множества D и Е1 являются областями. 06.ластъю ком­

плексной плоскости называется множество точек плоскости, обладаю­

щих свойствами открытости и связности (см. § 43). Функцию w = f (z) можно записать в виде

и+iv = f(x+iy),

т. е.

f(x+iy) = и(х;у) +iv(x;y),

где

и= и(х;у) = Ref(z), v = v(x;y) = Imf(z), (х;у) Е D.

Функцию и(х; у) при этом называют деti,ствите.лъноti, -частъю функции

f (z), а v(x; у) - мнимоti,.

Таким образом, задание функции комплексного переменного рав­ носильно заданию двух функций двух действительных переменных.

525

Пример 74.1. Найти действительную и мнимую части функции

w =z2 •

74.2. Предел и непрерывность функции комплексного

переменного

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой

окрестности точки zo, исключая, может быть, саму точку zo. Под б­

окрестностъю mо'Чкu z0 комплексной плоскости понимают внутрен­

ность круга радиуса б с центром в точке zo.

~Число w0 называется nреде,11,ом функции w = f(z) в точке z0 (или при z --+ zo), если для любого положительного е- найдется

такое положительное число б, что для всех z f::. zo, удовлетворяющих

Верно и обратное утверждение.

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции од­

ного (или нескольких) действительного переменного остаются справед­ ливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции fi(z) и f2(z) имеют пределы в точке zo Е D, то

526

~Пусть функция w = f(z) определена в точке z = zo и в некоторой ее окрестности. Функция w = f(z) называется н.еnрерывн.оit в

mо'Чке zo, если lim f (z) = f(zo).

z--+zo

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функ-

ция f (х) непрерывна в точке zo, если бесконечно малому приращению

аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

lim дf(z) =О.

дz--+0

Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в ка­

ждой точке этой области.

Непрерывная в замкнутой области функция комплексного пере­ менного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция

действительного переменного (см. теорема 43.1).

74.3. Основные элементарные функции комплексного

переменного

Определим основные элементарные функции комплексного пере­ менного z = х +iy.

Показательная функция

~Показательная функция w = ez определяется формулой

Положив в этом равенстве у= О, устанавливаем, что для действитель­ ных значений z = х показательная функция ez совпадает с показатель­

ной функцией действительного переменного: ez = ех.

Показательная функция w = ez обладает «известным» свойством: ez1 · ez2 = ez1+z2 . Действительно, по правилу умножения комплексных

чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», п. 28.3),

имеем:

ez1 • ez2 = ех1 • ех2 ( cos(y1 + У2) + i sin(y1 + У2)) =

= ех1+х2 . ( cos(y1 + У2) + i sin(y1 + У2)) = ех1+x2+i(y1 +У2) = ez1 +z2.

Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: ez1 :ez2 =ez1-z2 ,

(ez)n=enz (n Е N).

Учитывая, что lezl = ех, а ех-:/:- О, утверждаем, что показательная

функция ez нигде в нуль не обращается, т. е. ez-:/:- О.

Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что

выражение ez при z -+ оо не имеет смысла.

527

Положив в равенстве (74.1) х = О, у = tp, получим классиче­

скую формулу Эйлера ei'P = cos tp + i sin tp. С ее помощью, в частности,

можно представить тригонометрическую форму комплексного числа z = r · (cos ip+ i sinip) в более компактной форме z = r · ei'P(= jzl · eiarg z),

называемой nоказательноil формоil комплексного числа (см. п. 27.3)

li

мым основным периодом 27Гi.

Логарифмическая функция

~Эта функция определяется как функция, обратная показательной:

число w называется .яогарифмом чис.яа z "!-О, если ew = z, обо­ значается w = Lnz. Так как значения показательной функции ew = z всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w = Lnz опре­

делена на всей плоскости z, кроме точки z = О (стало быть, имеет смысл и выражение Ln(-2)).

Положив z = r · ei'P, w = и + iv, получим, согласно определению логарифмической функции, eи+iv = r · ei'P, или еи · eiv = r · ei'P. Отсюда

Arg z = arg z + 2k1Г.

Формула (74.2) показывает, что логарифмическая функция ком­

плексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. w = Ln z - многозначная функция.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (74.2) определенное значение k. Положив k =О, получим од­ нозначную функцию, которую называют главным зна'Ченuем логариф­

= ln lzl, т. е. главное значение логарифма действительного положи­

тельного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого

числа.

528

Формулу (74.2) можно переписать так: Ln z = ln z + 2k7Гi.

Из формулы (74.2) следует, что логарифмическая функция w = Ln z обладает известными свойствами логарифма действительного

переменного:

Ln(z1 · z2) = Lnz1 + Lnz2,

Ln(;:) = Lnz1 - Lnz2,

Lnzn = п · Lnz,

1

Ln Vz = - ·Lnz.

п

О Докажем, например, первое свойство:

Ln(z1 · z2) = ln lz1 · z2I + iArg(z1 · z2) = ln(lz1 l · lz2 I) + i(Argz1 + Argz2) =

Q Решение: Для числа z = -1 имеем lzl = 1,argz = 7Г. Следовательно,

Ln(-1) = lnl+i(7Г+2k7Г) = i7Г(2k+l), ln(-1) = 7Гi (формулы (74.2)

Степенная функция w =zn

Если п - натуральное число, то степенная функция определяется

1

Здесь функция w = zq есть многозначная (q-значная) функция. Одно-

значную ветвь этой функции можно получить, придав k определенное

значение, например k = О.

Степенная функция w = za с произвольным комплексным показа­ телем а = а + i/3 определяется равенством

W = Za = eaLnz.

529