Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Пример 56.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

х = а · cos3 t, у = а · sin3 t.

Q Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении

параметр t изменяется от О до 27Г (см. рис. 245).

z

у

а

ах

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверх­

ностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, простран­

ства Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Разобьем по­

верхность S на п частей Si, площади которых обозначим через дSi

(см. рис. 246), а диаметры - через di, i = 1; п. в каждой части si

420

возьмем произвольную точку Mi(Xii Yii Zi) и составим сумму

il Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке су-

ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с

перемещением точки по поверхности), а функция f (х; у; z) непрерывна

на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема

существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

2. jjU1(x;y;z)±f2(x;y;z))ds= JJ fi(x;y;z)ds± JJ f2(x;y;z)ds. s s s

З. Если поверхность S разбить на части 51 и 82 такие, что S = = 81 U82 , а пересечение 51 и 82 состоит лишь из границы, их разделя­

ющей, то

JJ f(x;y;z)ds = JJ f(x;y;z)ds + JJ f(x;y;z)ds.

421

7. Если f(x; у; z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверх­

ности существует точка (хе; Ус; zc) такая, что

jj f(x;y;z)ds = f(XciYciZc) ·S s

(теорема о среднем значении).

57.2. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода сводится к вычисле­ нию двойного интеграла по области D - проекции поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части Si, i = 1; п. Обозначим через ai проекцию Si на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой

на п частей ai, а2, ... , an. Возьмем в ai произвольную точку Pi(xi; Yi) и

восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверх­

ностью s. Получим точку Mi(Xii Yii Zi) на поверхности si. Проведем в

точке Mi касательную плоскость и рассмотри:м ту ее часть Ti, которая

на плоскость Оху проектируется в область ai (см. рис. 247). Площади

элементарных частей Si, Ti и а1 обозначим как дSi, дТi и даi соот­

ветственно. Будем приближенно считать, что

(57.3)

Обозначив через "(; острый угол между осью Оz и нормалью ni к поверхности в точке Mi, по-

(область O'i есть проекция Ti на плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением z =

= z(x; у), то, как известно (см. (45.2)), уравнение

касательной плоскости в точке Mi есть

z~(xi; Yi) · (х - Xi) + z;(xi; Yi) · (y-yi) - (z- Zi) =О,

где z~(xi;y;), z~(x;;yi), -1 - координаты нор­

мального вектора к плоскости. Острый угол l'i

есть угол между векторами k = (О; О; 1) и

Рис. 247

ni = (-z~(xi; Yi); -z;(xi; Yi); 1).

Следовательно,

1

422

Равенство (57.4) принимает вид

дТi = J1+z~2(xi;Yi) + z~2 (xi; Yi)дai.

В правой части формулы (57.2) заменим дSi (учитывая (57.З)) на по­

лученное выражение для лтi, а Zi заменим на z(xi; Yi)· Поэтому, пе­ реходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра si (а следовательно, и ai), получаем формулу

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по

проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у

= у(х; z) или х = х(у; z), то аналогично получим:

jj f(x;y;z)ds= jj f(x;y(x;z);z)·V1+y~2 +y~2 dxdz

плоскости 4х +Зу+ 2z - 4 = О, расположенной в I октанте (см. рис. 248).

423

z

z

424

57 .3. Некоторые приложения поверхностного интеграла

1 рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного инте­ грала 1 рода.

Площадь поверхности

Если поверхность В задана уравнением z = z(x;y), аее проекция на

плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) -

непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

S = jj ds, s

или S= jj J1 + Zx' 2 + Zy12 dxdy.

D

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления

массы, координат центра масс, моментов инерции материальных по­

верхностей с известной поверхностной плотностью распределения мас­

сы 'У= 1(х; у; z). Все эти величины определяются одним и тем же спо­

собом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположе­

ния; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллю­ стрируем описанный способ на примере определения массы материаль­

ной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности

есть 'У = 1(х; у; z). Для нахождения массы поверхности:

1.Разбиваем поверхность S на п частей Si, i = 1, 2, ... , п, площадь которой обозначим лsi.

2.Берем произвольную точку Mi(Xii Yii Zi) в каждой области si.

Предполагаем, что в пределах области Si плотность постоянна и равна значению ее в точке Mi.

3.Масса mi области Si мало отличается от массы 1(xi; Yii Zi)ЛSi

фиктивной однородной области с постоянной плотностью

n

4. Суммируя mi по всей области, получаем: т ~ 2: 1(xi; Yii zi)ЛSi.

i=l

5. За точное значение массы материальной поверхности S принима-

ется предел, к которому стремится полученное приближенное значение

при стремлении к нулю диаметров областей si, т. е.

s

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим

Прuмер 57.З. Найти массу полусферы радиуса Я, если в каждой

точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от

радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.

О Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее

426

1~11утренний интеграл вычислен с помощью подстановки r = R sin t:

Поверхностный интеграл 11 рода строится по образцу криволиней­

ного интеграла 11 рода, где направленную кривую разлагали на элемен­

ты и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости

от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

~Пусть задана двусторонн.я..я поверхность (таковой является

плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнени­

ем z = f(x; у), где f(x; у), fx' и fy 1 - функции, непрерывные в неко­

торой области D плоскости Оху и т. д.). После обхода такой поверх­

ности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меня­

ется. Примером одностороннеiJ, поверхности является так называемый

лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD пря­ моугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, а В -

с D (см. рис. 251).

:....______________.: r;: ;:=з

Рис. 251

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности

S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Вы­

бранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность

ориентирована) разбиваем на части si, где i = 1, 2, ... 'n, и проекти­

руем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Л11i

берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль n к выбранной стороне поверхно­

сти составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. COS/"i >О;

со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или

i=l

427

где даi = (Si)Oxy - площадь проекции si на плоскость Оху. Ее отли­ чие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части

Si и от выбора точек Mi Е Si, называется поверхностним интегралом

II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным х и у по

выбранной стороне поверхности и обозначается

jj f(x;y;z)dxdy. s

Итак,

где Р, Q, R - непрерывные функции, определенные в точках двусто­ ронней поверхности S.

428

Из определения поверхностного интеграла 11 рода вытекают сле-

дующие его свойства:

1. Поверхностный интеграл 11 рода изменяет знак при перемене

стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного

интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соот­

ветствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл 11 рода по всей поверхности 8 = 8 1 +82

равен сумме интегралов по ее частям 8 1 и 82 (аддитивное свойство), если 8 1 и 82 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если 81, 82, 8з - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то

JJ R(x;y;z)dxdy = JJ P(x;y;z)dydz = JJ Q(x;y;z)dxdz =О.

Вычисление поверхностного интеграла 11 рода сводится к вычисле­

нию двойного интеграла.

Пусть функция R(x; у; z) непрерывна во всех точках поверхности

8, заданной уравнением z = z(x;y), где z(x;y) - непрерывная функ­ ция в замкнутой области D (или Dxy) - проекции поверхности 8 на· плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности 8, где нормаль к ней образует с

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равен­

стве (58.2) при .А---? О, получаем формулу

выражающую поверхностный интеграл 11 рода по переменным х и у че­ рез двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю,

429