Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции комплексного аргумента z = х + iy

При действительных z эти определения приводят к тригонометриче­

ским функциям действительного переменного. Так, при z = х (у= О)

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраня­

ют многие свойства тригонометрических функций действительного пе­

530

li Отметим, что тригонометрические функции sin z и cos z в комп­

лексной плоскости z неограничены:

Так, например, cosi = е +2е-1 ~ 1,54 > 1, cos3i > 10.

Гиперболические функции

Эти функции определяются равенствами

Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометриче­ скими функциями. Заменяя в указанных функциях z на iz, получим:

shiz = isinz, или sinz = -ishiz, chiz = cosz

(а также tgiz = itgz, ctgiz = -ictgz).

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул,

связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле sin2 z + cos2 z = 1 тригонометрические функции гиперболическими, по-

лучим

(-i sh iz) 2 + (ch iz) 2 = 1,

или - sh2 iz+ch2 iz = 1. Так как здесь z - любое комплексное число, то iz можно заменить на z; получим формулу ch2 z - sh2 z = 1. Приведем

еще ряд формул:

и т.д.

Из определения гиперболических функций следует, что функции sh z и ch z периодические с периодом 27ri; функции th z и cth z имеют

период 7ri.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

§Число w называется арксинусом числа z, если sin w = z, и обо­

значается w = Arcsin z.

Используя определение синуса, имеем z = sin w = еiw 2ie -iw , или

e2 iw_2izeiw_1 =О. Отсюдаеiw = iz+J(iz) 2 +1, т. е. eiw = iz+VI=Z2"

(перед корнем можно не писать знак ±, так как VI=Z2 имеет два

531

значения). Тогда iw = Ln(iz+v1l=Z2}, или w = i1n(iz+ v'1-z2 ).

i

Таким образом,

w = Arcsinz = -iLn(iz + ~).

Функция w = Arcsinz многозначна (бесконечнозначна). Аналогично

определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно

показать, что

Arccosz = -iLn(z + ~),

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно w = Arshz (ареасинус), w = Archz (ареакосинус), w = Arthz (ареа­ тангенс), w = Arcthz (ареакотангенс).

Обратные гиперболические функции имеют следующие выраже-

Все эти функции бесконечнозначны.

74.4.Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера-Даламбера

Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой

окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел

если он существует, называется производноii функции f(z) в

то-чке z, а функция f(z) называется дифференцируемоti. в

то-чке z.

Подчеркнем, что в равенстве (74.4) дz любым образом стремится к нулю, т. е. точка z + дz может приближаться к точке z по любому из бесконечного

множества различных направлений (см. рис. 283) (в

аналогичной ситуации для функции одного действи­ тельного переменного точка х + дх приближается к

Рис. 283 точке х лишь по двум направлениям: слева и справа).

532

Из дифференцируемости функции f(z) в некоторой точке z сле­

дует ее непрерывность в этой точке (отношение 1_~ при дz ~ О мо­

жет стремиться к конечному пределу f'(z) лишь при условии, что и дw ~О). Обратное утверждение не имеет места.

При каких условиях функция w = J(z) будет дифференцируемой

в данной точке?

Теорема 74.1. Если функция w = и(х; у)+ iv(x; у) определена в не­

Если же точка z + дz приближается к точке z по прямой, парал­ лельной мнимой оси (оси Оу), то дz = iду ~ О, дх = О. В этом случае

533

534

Правила дифференцирования функций действительного перемен­

ного справедливы и для функций комплексного переменного, диффе­

ренцируемых в точке z. Это означает, что если fi(z) и f 2(z) дифферен­

цируемы в некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следу­

ющее:

в точке w = cp(z), то (f(cp(z)))' = f~(cp) · cp~(z).

5. Если в некоторой точке z функция f(z) дифференцируема и

существует функция 1-1(w), дифференцируемая в точке w = f(z),

причем u-1 (w)) 1 =1 о, то f'(z) = u-l~w))'' где 1-1 (w) - функция,

обратная функции f(z).

\i Приведем без доказательства теорему о дифференцируемосmи основних эл.еменmарних функциu компл.ексного пе­

ременного: функции w = ez, w = sinz, w = cosz, w = shz, w = chz,

w = zn (п Е N) дифференцируемы в любой точке комплексной плос­

окрестности каждой точки z =/; О можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке z функцией.

74.5. Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного пе­

ременного является понятие аналитической функции.

~Однозначная функция f(z) называется анал.иmи'Ч.ескоit (голо-

морфной) в mо'Чке z, если она дифференцируема (выполнены

условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция f(z) называется анал.иmи'Ч.ескоu в обл.асmи D, если она дифференцируема в каждой точке z Е D.

Как видно из этого определения, условие аналитичности в mо'Ч.ке

не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке

(первое условие - более сильное).

535

~Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) анали­ тична, называются правильными точками f(z). Точки, в кото­

рых функция f(z) не является аналитической, называются особ'ЫМи

точками этой функции.

Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z. Тогда lim ддw =

Лz-+0 Z

= f'(z). Отсюда следует, что i~ = f'(z) +а, где а -t О при дz -t О.

Тогда приращение функции можно записать так: дw = f'(z)дz + а:дz. Если f'(z) =/:- О, то первое слагаемое f'(z)дz является при дz -t О

бесконечно малой того же порядка, что и дz; второе слагаемое а:дz есть бесконечно малая более высокого порядка, чем дz. Следователь­ но, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции

w = f(z).

§ Дифференциалом dw аналитической функции w = f(z) в точке z называется главная часть ее приращения, т. е. dw = f'(z)дz, или dw = f'(z)dz (так как при w = z будет dz = z1дz = дz). Отсюда

следует, что f'(z) = ~~, т. е. производная функции равна отношению

дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Заме'Чаnие. Если функция f(z) = и(х;у) + iv(x;y) аналитична в некоторой области D, то функции и(х; у) и v(x; у) удовлетворяют диф-

Q Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Далам­

бера по у, а второе по х, получаем:

Пример 74.З. Проверить, является ли функция w = z 2 аналити­

ческой. Найти ее производную.

Q Решение: Находим действительную Re w = и и мнимую Im w = v

части функции:

536

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция w = z2 дифференцируема, следовательно, аналитична во

всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из фор­

мул (74.6), например по первой:

(z2)' = :х(х2 - у2) + i :х(2ху) = 2х+ i2y = 2(х+ iy) = 2z,

т. е. (z 2 )' = 2z.

Заметим, что производную функции w = z 2 можно найти, восполь­

зовавшись определением производной (74.4):

заданной действительной части и = хз - 3ху2 + 2.

Q Решение: Отметим, что функция и является гармонической функ-

то, согласно первому условию, g~ = Зх2 - Зу2• Отсюда, интегрируя по

у, находим:

v = J~~dy = j (3х2 - Зу2)dy = 3х2у- уз+rp(x).

Для определения функции rp( х) воспользуемся вторым условием

Эйлера-Даламбера. Так как

ди

-ду = (хз - 3ху2 + 2)'у = -6ху,

а

~~ = (Зх2у -уз+rp(x))~ = 6ху+ rp'(x),

то -6ху = -(6ху + rp'(x)). Отсюда rp'(x) =О и rp(x) =С, где С= const.

Поэтому v = Зх2у -уз+ С. Находим функцию w =и+ iv:

w =и+ iv = хз - 3ху2 + 2 + i(Зх2у - уз+ С) =

= хз +i3x2 y-3xy2 -iуз +2+Ci = (х+iу)з +2+iC = zз +2+iC. 8

537

74.б. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Понятие о конформном отображении

Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z0 и f'(z0 ) -/:-О. Вы­

ясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Функция w = f(z) отображает точку z0 плоскости z в точку wo = f (zo) плоскости w.

Пусть произвольная точка z = zo + Лz из окрестности точки zo

перемещается к точке z0 по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в

плоскости w соответствующая точка w = wo + Лw будет перемещаться

к точке w0 по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w (рис. 285).

у

lf'(zo)I есть предел отношения бесконечно малого расстояния между

отображенными точками w0 и wo + Лw к бесконечно малому рассто­

янию между точками z0 и z0 + Лz. Этот предел не зависит (f(z) ана­

литична в точке z0 ) от выбора кривой l, проходящей через точку z0 .

Следовательно, предел lim llЛЛw/ = lf'(zo)I в точке zo постоянен, т. е.

дz-+0 Z

одинаков во всех направлениях.

~Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: ве-

личина lf'(zo)I определяет коэффициент растяжения (подобия) в

точке zo при отображении w = f(z). Величину lf'(zo)I называют коэф­ фициентом раст.я:нсени.я, если lf'(zo)I > 1, или коэффициентом

сЭtСати.я, если lf'(zo)I < 1.

Пример 74.5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для

функции w = !z2 в точке z0 = 3 - 4i.

538

Q Решение: Функция w = !z2 аналитична в точке z0 = 3 - 4i, при

этом w' = z. Следовательно, lf'(zo)I = lzol = IЗ - 4il = 5 > 1. Коэффи­

Циент растяжения для функции w = !z2 в точке z0 равен 5 (плоскость

где а1 и а2 - углы, которые образуют касательные к кривым l и L

соответственно в точках z0 , и w0 с положительными направлениями

действительных осей на плоскостях z и w (см. рис. 285).

Отсюда а2 = а1 +arg !' (z0 ). Это означает, что arg f' (z0 ) - это угол,

на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке z0 для

того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке w0 .

Другими словами, argf'(z0 ) - это угол между отображенным и пер­

воначальным направлениями касательных к кривым l и L в точках z0 и w0 соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента

производной argf'(zo).

В силу аналитичности функции f(z) в точке z0 (мы предположи­

ли, что f(zo) i О) угол arg f'(z0 ) один и тот же для всех кривых, про­

arg f'(zo) = а2 -а1 =а~ -а~, т. е. если кривые l и l1 образуют в точке zo на плоскости z угол <р = argf'(z0 ), то такой же угол <р = arg f'(zo) будут

Рис. 286

Это свойство отображения w = f(z) называется своftство.м сохра­ ненu.я (консерватизма) углов в точке z0 .

~Отображение w = f(z), обладающее свойством сохранения углов и

постоянством растяжений в точке z0 , называется конформним

539