Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

(Наряду с обозначениями И = И(М), И= И(х; у; z), используют запись И= U(r), где f - радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция И(М) зависит только от двух перемен­ ных, например х и у, то соответствующее скалярное поле И(х; у) назы­

вают плоским.

Аналогично: вектор ii = ii(М), определяющий векторное поле,

можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргу­

ментов х, у и z: ii = а(х; у; z) (или ii = a(f)).

Вектор ii = ii(M)

ординатных осей) в виде

ii = Р(х; у; z)l + Q(x; у; z)J + R(x; у; z)k,

где Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) - проекции вектора ii(M) на оси ко­

ординат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проек­

ций вектора ii = ii(M) равна нулю, а две другие зависят только от

двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,

ii = Р(х; y)l + Q{x; y)J.

Векторное поле называется одпородпъ~.м, если ii(M) - постоянный вектор, т. е. Р, R и Q - постоянные величины. Таким полем является поле тяжести. Здесь Р = О, Q = О, R = -mg, g - ускорение силы

тяжести, т - масса точки.

~В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции

(U(x;y;z) - определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z)

и R(x; у; z) - задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими

частными производными.

Пример 69.1. Функция И = J1 - х2 -у2 - z2 определяет ска­

лярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром

в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле И = х2 +z у2

определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на

ней х2 +у2 =О).

Пример 69.2. Найти поле линейной скорости V материальной

точки Ivf, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью i:J вокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Q Решение: Угловую скорость представим в виде вектора r:J, лежащего

на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

i:J = {О; O;w) (i:J = wk).

Построим радиус-вектор f = (х; у; z) точки М (см. рис. 267).

Численное значение линейной скорости V (модуль), как известно

из курса физики, равно wp, где р - расстояние вращающейся точки

500

M(x;y;z) от оси вращения (оси Oz).Ho р = rsin<p (ер - угол между вектором r и осью Oz). Следовательно, V = wp = w · r · sincp, т. е. V =

= jwxrj.

§ 70. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

70.1. Поверхности и линии уровня

Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией И = И(х; у; z).

Для наглядного представления скалярного поля используют поверхно­

сти и линии уровня.

~Поверхностью уровня скалярного поля называется геометри­ ческое место точек, в которых функция И(М) принимает постоян-

ное значение, т. е.

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, полу­

чим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы

расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки ко­

ординат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

И = J1 - х2 - у2 - z2'

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с

центрами в начале координат: J1 - х2 - у2 - z2 = с. В частности, при

с = 1 получим х2 + у2 + z 2 = О, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня темпера­

турного поля (изотермические поверхности) представляют собой кру­

говые цилиндры, общей осью которых служит нить.

~В случае плоского поля И= И(х; у) равенство И(х; у) =с предста­

вляет собой уравнение .auнuu уровня поля, т. е. линия уровня -

501

это линия на плоскости Оху, в точках которой функция и(х; у) сохра­

няет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одина­

ковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек мест­

ности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании по­

верхностей методом сечений (см. п. 12.9).

70.2. Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля и= и(М) в задан­

ном направлении введем понятие «производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле и = и(х; у; z), некото­

рую точку М и найдем скорость изменения функции и при движении

точки М в произвольном направлении Х. Пусть вектор Х имеет начало

Рис. 268 (см. рис. 268). Тогда

ЛЛ = jMM1 1= J(Лх)2 + (Лу)2 + (Лz)2.

Производноti от функции и= и(М) в точке М по напра­

влению Х называется предел

Производная по направлению Х и характеризует скорость измене­

ния функции (поля) в точке М по этому направлению. Если i~ > О, то функция и возрастает в направлении .Л, если ~~ < О, то функция

и в направлении Х убывает. Кроме того, величина j ~~ j представляет

собой мгновенную скорость изменения функции и в направлении .Л в

точке М: чем больше 1~~1, тем быстрееизменяется функция и. Вэтом

состоит физический смысл производной по направлению.

502

Выведем формулу для вычисления производной по направлению,

считая, что функция U(x;y;z) дифференцируема в точке М. Тогда ее

полное приращение в этой точке М можно записать так:

Переходя к пределу при дЛ -+О, получим формулу для вычисления

производной по направлению:

Вслучае плоского поля И= U(x;y) имеем: соs(З = cos (i - а)

=sin о:, cos 'У = О. Формула (70.2) принимает вид:

ал = дх сова+ ду sша.

Заме'Ч.ание. Понятие производной по направлению является обоб­

щением понятия частныхпроизводных ~~, ~~, ~~. Их можнорассма­

тривать как производные от функции и по направлению координатных

осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Л совпадает с положитель­

ным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) о:= О, f3 = ~,

'У= i· получим ~~ = ~~.

Пример 70.1. Найти производную функции и= х2 + у2 - 4yz в

точке М(О; 1; 2) в направлении от этой точки к точке М1 (2; 3; 3).

О Решение: Находим вектор ММ1 и его направляющие косинусы:

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в

503

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

Поскольку ~~ < О, то заданная функция в данном направлении убы­

70.3.Градиент скалярного поля и его свойства

Вкаком направлении Х производная ~~ имеет наибольшее значе­

ние? Это направление указывает вектор, называемый градиентом ска­

лярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет

собой скалярное произведение единичного вектора

е = (cos а; cos (J; cos 'У)

и некоторого вектора g- = ( дИ·дИ·дИ).

дх' ду' дz

~Вектор, координатами которого являются значения частных про­

изводных функции U(x;y;z) в точке M(x;y;z), называют гради-

Отметим, что grad И есть векторная величина. Говорят: скалярное

поле И порождает векторное поле градиента И. Теперь равенство (70.2)

можно записать в виде

достигает наибольшего значения, когда cos ср = 1, т. е. при ер = О.

Таким образом, направление градиента совпадает с направлением Х,

вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент

функции указ'Ьtвает наnравле'Ние наибистреiiшего возрастани.я функ­

ции. Наибольшая скорость изменения функции И в точке М равна

504

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свой­

стве градиента основано его широкое применение в математике и дру­

гих дисциплинах.

Приведем важные своii,ства градиента функции.

1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, прохо­

дящей через данную точку.

О Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня

(и = с) ~~ = О. Нотогдаиз (70.3) следует, чтоcos 'Р = О, т. е. 'Р = ~. 8

2.grad(и + V) = grad и + grad V,

3.grad(c ·и)= с· gradи, с= const,

4.grad(и · V) =и grad V + V gradи,

6.grad/(и) = fJrgradи.

ОДоказываются эти свойства на основании определения градиента.

Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

Наибольшая скорость возрастания функции равна

1 gradи(A)I = v'4 +о+ 4 = 2v2.

Отметим, что функция и будет убывать с наибольшей скоростью

505

§ 71. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 71.1. Векторные линии поля

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором а= а(М). Из­

учение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они явля­

ются простейшими геометрическими характеристиками поля.

~Beкmopнoti, линиеii. поля а называется линия, касательная к ко­

торой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего

ей вектора а(М).

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический

смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными ли­

ниями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии

тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут

линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через не­

которую замкнутую кривую, называется векторно11 трубкоi1.

Изучение векторного поля обычно начинают с изучения располо­

жения его векторных линий. Векторные линии поля

клинии PQ в точке М (см. рис. 270).

Всилу коллинеарности векторов а и dr следует пропорциональ-

Пример 71.1. Найти векторные линии поля линейных скоростей

тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью wвокруг оси Oz.

Q Решение: Это поле определено вектором V = -wyl + wxJ (см. при­

мер 69.2). Согласно (71.2), имеем:

506

71.2. Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядно­ сти будем считать а(М) вектором скорости некоторого потока жидко­

сти, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность 8 находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность 8.

площадку плоской, а вектор а постоянным

по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через 8i протекает количество жидкости, прибли­

женно равное Ki ~ Hi · Л8i, где ЛSi - площадь i-й площадки, Hi -

высота i-го цилиндра с образующей ii(Mi)· Но Hi является проекцией вектора ii(Mi) на нормаль ni: Hi = пpп:;ii(Mi) = a(Mi) · ni, где ni -

единичный вектор нормали к поверхности в точке Mi. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за

единицу времени, найдем, вычислив сумму

п

к~ L a(Mi) . пi . Л8i.

i=l

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв

предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа эле­

ментарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров di площадок):

507

Независимо от физического смысла поля а(М) полученный: инте­

грал называют потоком векторного поля.

Е§] Потоком вектора а через поверхность S называется инте­

грал по поверхности от скалярного произведения вектора поля на

единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

ренциал (элемент) площади поверхности. Иногда формулу (71.3) записывают в виде

К= fjaJS,

s

где вектор ds направлен по нормали к поверхности, причем jdsl = ds.

Так как n = (cosa;cos/);cos1), а= (P;Q;R), где Р = P(x;y;z),

Q = Q(x; у; z), R = R(x; у; z) - проекции вектора а на соответствующие

координатные оси, то поток (71.3) вектора а, можно записать в виде

К= JJ(Pcosa + Qcosf) + Rcos"()ds. s

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов 1 и 11 рода (см.

формулу (58.8)), поток вектора можно записать как

liJ Отметим, что поток К вектора ii есть скалярная величина. Вели­

чина К равна объему жидкости, которая протекает через поверх­

ность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока

(независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается

вление внешней: нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S

(см. рис. 272).

508

Если векторное поле а = а(М) есть поле скоростей текущей жидко­

сти, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность

между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где

векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором а острый угол и а ·n > О; в точках, где векторные линии

входят в объем, а· n <О).

При этом если К > О, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополни­

тельные исmо'Чники.

Если К < О, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники - точки, откуда векторные линии

начинаются, а стоки - точки, где векторные линии кончаются. Так, в

электростатическом поле источником является положительный заряд,

стоком - отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).

Если К = О, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно

компенсируется.

z

у

Рис. 272 Рис. 273 Рис. 274

Пример 71.2. Найти поток вектора а= z · I - х · J+у· k через

верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоско­

сти Зх + 6у - 2z - 6 =О с координатными плоскостями (см. рис. 274).

Q Решение: Поток найдем методом проектирования на три координат­

ные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем

случае Р = z, Q = -х, R =у. Имеем:

К= JJ zdydz - xdxdz + ydxdy. s

509