Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdf(т. е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраня
ется и направление отсчета углов, то такое отображение называется
конформным отобра;нсением 1-го рода; если направление отсчета
углов изменяется на противоположное - |
конформным отобра;нсе |
нием 2-го рода. |
|
iJ Таким образом, если функция f(z) |
является аналитической в не |
которой точке z0 комплексной плоскости z и в этой точке ее про
изводная отлична от нуля, то отображение w = f(z) конформно в этой
точке.
Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если
оно конформно в каждой точке этой области.
iJ Справедливо следующее утверждение: если функция w = f(z) ана- литична в области D, причем во всех точках области f'(z) #О, то отображение конформно в D; если отображение w = f(z) конформно в области D, то функция w = f(z) аналитична в D и во всех точках этой
области f'(z) #О.
Пример 74.в. Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией w = 2z.
Q Решение: Отображение w = 2z конформно во всех точках плоскости z, т.к. w' = 2 #О.
Коэффициент растяжения в любой точке плоскости z равен 2. Так
как arg w' = arg 2 = О, то направление при отображении не меняется.
Таким образом, отображение w = 2z есть преобразование гомотетии с
центром в нулевой точке (w =О при z =О) и коэффициентом гомоте
тии, равным 2. |
8 |
§ 75. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 75.1. Определение, свойства и правила вычисления
интеграла
Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в
точке z0 и концом в точке Z определена непрерывная функция /(z). Разобьем кривую L на п частей (элементарных дуг) в направлении
от zo к z точками z1,z2, ... ,Zn-1 (см. рис. 287). |
|
В каждой «элементарной дуге» Zk-lZk (k = |
1, 2, ... , n) выберем |
|
n |
произвольную точку Ck и составим интегральную сумму L f(Ck)дzk, |
|
где дzk = Zk - Zk-l · |
k=1 |
~Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины
наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется
540
у
Yk
У1о--1
z
о |
Xk--1 Xk |
х |
|
Рис. 287 |
|
uнmегра.л,ом от функции f(z) no кpuвoii. (no контуру) L и обозна
чается символом Jf(z) dz.
L
Таким образом,
n
! f(z) dz = lim L f(Ck)дzk· (75.1)
max lдzkl-+0 k-
L |
(n-too) |
-1 |
|
Покажем, что если L - |
гладкая кривая, а f(z) - |
непрерывная и |
|
однозначная функция, то интеграл (75.1) существует. |
= х + iy, ck = |
||
Действительно, пусть |
f(z) = и(х;у) + iv(x;y), z |
||
= Xk + iYk· Тогда |
|
|
|
J(Ck) = и(хk; Yk) + iv(xk; Yk),
дzk = (xk + iyk) - (xk-1 + iYk-1) = дхk + iдyk.
Поэтому
n |
n |
Lf(Ck)дzk = L(и(XkiYk) +iv(XkiYk)) · (дхk +iдyk) =
k=1 |
k=1 |
n |
n |
= 'L(и(XkiYk)дxk-v(xk;fik)дyk) +i'L(v(XkiYk)дxk +и(xkiYk)дyk)·
k=l |
k=l |
Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства,
являются интегральными суммами для соответствуюIЦИх криволиней
ных интегралов (см. п. 56.1).
При сделанных предположениях о кривой L и функции f(z) пре делы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в по
следнем равенстве) при max lдzkl-+ О получим:
Jf (z) dz = Jиdx - v dy + i Jv dx + иdy. |
(75.2) |
||
L |
L |
L |
|
541
Формула (75.2) показывает, что вычисление интеграла от функции
комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных ин
тегралов от действительных функций действительных переменных.
Формулу (75.2) можно записать в удобном для запоминания виде:
j |
f(z) dz = j |
(и+ iv)(dx + i dy). |
(75.3) |
|
L |
L |
|
|
|
~ Если х = x(t), у = y(t), где t 1 |
~ t ~ t2 - |
параметрические уравне |
||
ния кривой L, то z = z(t) = x(t) + iy(t) |
называют комnд.екснъ~м |
|||
nарамеmри-ческим уравнением кривой L; формула (75.3) преобра
зуется в формулу
|
t2 |
|
j |
f(z)dz = j f(z(t))z'(t)dt. |
(75.4) |
L |
ti |
|
а Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой
функцией, получаем
|
|
|
|
t2 |
|
|
j f(z) dz = j (и+ iv)(dx + i dy) = j |
(и+ iv)(x~ + iy~) dt = |
|
||||
L |
|
L |
|
ti |
t2 |
|
|
|
|
|
|
j f (z(t))z'(t) dt. |
• |
|
|
|
|
|
ti |
|
Приведем основные своii,ства интеграла от функции комплексного |
||||||
переменного. |
|
|
|
|
||
1. |
j |
dz = z - |
zo. |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
а L дzk = дz1 +.. .+Лzп = Z1 -zo+z2-Z1 +.. .+zп-Zn-1 = z-zo. |
• |
|||||
k=l |
j(f1(z)±f2(z))dz= j fi(z)dz± Jf2(z)dz. |
|
||||
2. |
|
|||||
|
L |
|
|
L |
L |
|
3. Jaf (z) dz =а j |
J(z) dz, а - комплексное число. |
|
||||
|
L |
|
L |
|
|
|
4. |
j |
f(z) dz = |
- j |
f(z) dz, т. е. |
при перемене направления пути |
|
|
L |
|
L- |
|
|
|
интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в
других обозначениях кривой: j = - j ).
АВ ВА
542
5. |
jf(z) dz = |
j |
f(z) dz+ J f(z) dz, где L = Ll +L2, т. е. интеграл |
|
L |
Li |
L2 |
по всему пути L равен сумме интегралов по его частям L1 и L 2 • |
|||
6. |
Оценка модул.я интегра.ла. Если l/(z)I ~ М во всех точках кри |
||
вой L, то\/ f(z) dz\ |
~ Ml, где l - длинакривой L. |
||
L
О Действительно,
n
где I.: lдzki - длина ломаной zoz1z2 ... Zn, вписанной в кривую L. •
k=l
Все приведенные свойства интеграла функции комплексного пере-
менного непосредственно вытекают из его определения (75.1) и пред ставления (75.2).
Пример 15.1. Вычислить |
|
|
|
у |
|
|
|
|||
|
|
|
|
{ x=cost, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
I |
= j Imzdz, |
|
|
|
y=sint |
||||
|
|
|
.-....--~ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
|
|
где L - |
полуокружность |
jzj = |
1, |
О ~ |
|
|
|
|
|
|
~ argz ~ 7r (см. рис. 288). |
|
|
-1 |
|
о |
|
1 |
х |
||
|
|
|
|
|
||||||
Q Решение: Используя формулу (75.3), имеем: |
|
Рис. 288 |
|
|||||||
I = j |
у(dx + i dy) = j уdx + i |
j |
уdy = |
|
|
|
|
|
||
L |
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
~ -2 |
х |
|
|
|
|
|
= |
j ~dx+i j |
dx= |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
1 |
2~ |
|
|
|
||
|
|
= |
х |
|
1 |
) 1-1 |
х2 |
1-1 |
7r |
|
|
|
( -~ +-arcsinx |
|
|
- i - |
|
= --. |
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
Используя формулу (75.4), имеем (z = cost + isint):
l= jsint(-sint+icost)dt= J-~(1-cos2t)dt+i jsintcostdt=
о |
о |
|
|
|
|
о |
|
|
• |
= |
1 |
1 . |
) 11Г |
.1 . 2 |
t |
11Г |
7r |
||
( --t + - |
sш2t |
о |
+i- sш |
о |
= --. |
||||
|
2 |
4 |
|
2 |
|
2 |
|||
543
75.2.Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 75.1 (Коши). Если функция f(z) аналитична в односвяз
ной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому
контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т. е. f f(z)dz =О.
L
О Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f'(z)
(это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:
f f(z)dz= f udx-vdy+i f vdx+udy.
L L L
В силу аналитичности f(z) = и+ iv и непрерывности f'(z) в одно связной области D, функции и = и(х; у) и v = v(x; у) непрерывны и
дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-
Даламбера: g~ = д~~v) и g~ = g~. Эти условия означают равенство
нулю интегралов f иdх -vdy и f vdx + udy (см. теорему 56.З). Сле-
довательно, f |
L |
L |
f(z)dz =О. |
• |
L
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область D, ограни ченную внешним контуром L и внутренними контурами Ll и L2. Выбе
рем положительное направление обхода контуров: при обходе область
D остается слева (см. рис. 289).
Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контурах L, L 1 и
L2 ( т. е. в замкнутой области D; функция называется аналитической
взамкнутой области D, если она аналитична в некоторой области,
содержащей внутри себя область D и ее границу L).
Проведя два разреза (две дуги) /l и -у2 области D (см. рис. 289), по
лучим новую односвязную область D 1 , ограниченную замкнутым ори
ентированным контуром Г, состоящим из контуров L, L 1 , L 2 и разрезов
/1 и /2: Г = L + 1{ + Ll + 1i + Lz + 12 + 11. По теореме Коши для
односвязной области f f(z) dz =О, но
!=f+j+j+j =0,
'"Yf
544
т.к. каждый из разрезов (дуг) -у1 и -у2 при интегрировании проходится
дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:
Jf(z) dz = f f(z) dz + f |
f(z) dz + f f(z) dz =О, |
||
Г |
L |
Ll |
L2 |
т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области D
функции f(z) по границе области D, проходимой в положительном на
правлении, равен нулю.
|
Рис. 289 |
|
Рис. 290 |
|
Заме-чание. Изменив направление обхода внутренних контуров L1 |
||||
и L2, будем иметь |
f |
f(z) dz = f |
f(z) dz + f |
f(z) dz, где все контуры |
|
L |
Ll |
L2 |
|
(L, L1 и L 2 ) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если f(z) аналитична в двусвяз
ной области, ограниченной контурами L и l и на самих этих контурах |
||
(см. рис. 290), то f |
f(z) dz = |
f f(z) dz, т. е. «интеграл от функции f(z) |
L |
|
l |
по внешнему контуру L равен интегралу от функции f(z) по внутреннему контуру l» (контуры L и l обходят в одном направлении).
Следствие 75.1. Если f(z) - аналитическая функция в односвязной
области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегриро
вания, а зависит лишь от начальной точки z0 и конечной точки z пути
интегрирования.
Q Действительно, пусть L 1 |
и L 2 - две кривые в области D, соединя |
|||
ющие точки z0 и z (рис. 291). |
|
|
||
Потеореме Коши f |
f(z)dz =О, т. е. J f(z) dz+ J f(z) dz =О, |
|||
или j |
L 1 +L2 |
Ll |
L;/ |
|
f(z) dz - Jf(z) dz =О, откуда Jf(z) dz = |
Jf(z) dz. |
• |
||
Ll |
L2 |
Ll |
L2 |
|
545
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точ
ки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением z
Jf(z) dz = Jf(z) dz. Если здесь зафиксиро-
|
вать точку zo, а точку z изменять, то Jf (z) dz |
||
|
L |
- |
z |
|
|
|
zo |
|
будет функцией от z. Обозначим эту функцию |
||
Рис. 291 |
через F(z): F(z) = jz |
f(z) dz. Можно доказать, |
|
zo
что если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то функ ция F(z) также аналитична в D, причем
F'(z) = ( j f(z) dz)' = f(z).
zo
~Функция F(z) называется nервообрааноi1. для функции f(z) в области D, если F'(z) = f(z).
Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для f (z), то совокупность всех первообразных f (z) определяется формулой
F(z) +С, где С= const.
~Совокупность всех первообразных функций f(z) называется не
оnреде.аенwым uнmегра.л.ом от функции f(z) и обозначается
символом j f(z) dz, т. е.
r - j1_f_(_z)-d-z-=-F-(z_)_+_C_,-гд_е_F_'(-z)_=_f_(_z)__,.,
z
Пусть функция F(z) = j f(z) dz есть первообразная функция для
z |
zo |
f(z). Следовательно, j |
f(z) dz = F(z) +С. Положив здесь z = z0 , по- |
zо
лучим О= F(zo)+C (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда С= -F(zo), а значит,
z
j f(z) dz = F(z) - F(zo).
zo
Полученная формула называется формулоа Ньютона-Леабниv,а. Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул
и методов, что и в действительном анализе. |
. |
i |
|
Так,/ez dz = ez+C; f sinzdz = -cosz+C; f |
3z2 dz = 3· z33 1:= -i |
о |
|
и т.д.
546
При.мер 75.2. Вычислить интегралы: а) f --11.L; б) f (z-z0 )ndz |
|
Z - |
Zo |
L |
L |
(п # -1), где L есть окружность радиуса R с центром в точке z0 , обхо-
димая против часовой стрелки (см. рис. 292). |
|
У |
-@ |
|
|||
Q Решение: а) Теорема Коши неприменима, т. к. |
Уо |
|
|||||
функция - |
- не аналитична в точке z0 • |
Пара- |
|
||||
Z - |
1 |
Zo |
|
|
|
|
|
метрические |
|
уравнения окружности L есть |
х = |
|
|
||
=хо+ Rcost, у= Уо + Rsint, где О~ t ~ 27Г. Следо- |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вательно, |
|
|
|
|
о |
Хо |
х |
z = х + iy = хо + R cos t + iy0 + iR sin t = |
|
|
Рис. 292 |
|
|||
|
|
|
=(хо+ iyo) + R(cost + isint) = zo + R · eit. |
|
|||
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое урав
нение данной окружности есть z = z0 + R · eit, |
О ~ t ~ 27Г. Поэтому по |
|||||||
формуле (75.4) получим: |
R·eit |
dt = i ! dt = 27Гi. |
|
|||||
|
f --z-zo |
= ! |
|
|||||
|
|
dz |
211" i ·R · eit |
211" |
|
|
|
|
|
L |
|
О |
|
О |
|
|
|
б) При п # -1 имеем: |
|
|
|
|
|
|||
f (z-zo)ndz= |
j211" (R·eit)nR·i·eitdt= |
|
|
|
||||
L |
|
О |
211" |
|
i(n+l)t |
2 |
|
|
|
= iRп+1 |
! ei(п+1)t dt = |
Rпн . е |
|
111" = |
|
||
|
|
|
|
|
п + 1 |
о |
|
|
|
Rn+1 |
|
О |
|
|
|
Rn+l |
|
= -- (cos 27r(n + 1) + i |
sin 27r(n + 1) - е0) = -- (1 - 1) =О. |
|
||||||
|
n+ 1 |
|
|
|
|
|
п+ 1 |
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
dz |
. |
f (z - |
zo)ndz =О, п - |
целое, п # -1. |
• |
||
-- = |
21ГZ, |
|||||||
L |
Z - Zo |
|
L |
|
|
|
|
|
75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Теорема 75.2. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой одно
связной |
области D и L - |
граница области D. Тогда |
имеет место |
||
формула |
f (zo) |
= f |
f |
f (z) dz, |
(75.5) |
|
|
1ГZ L |
Z - Zo |
|
|
где z0 Е |
D - любая точка внутри области D, а интегрирование по |
||||
контуру L производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки).
547
~Интеграл, находящийся в правой части равенства (75.5), называ
ется интегралом Коши, а сама эта формула называется инmе
гра.11.ьноii. форму.11.оii Коши.
Формула Коши (75.5) является одной из важнейших в теории функ
ций комплексного переменного. Она позволяет находить значения ана литической функции f(z) в любой точке zo, лежащей внутри области D через ее значения на границе этой области.
О Построим окружность lr с центром в точке zo, взяв радиус r столь
малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области
(чтобы lr |
не пересекала L). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Получим двусвязную область D 1 ( заштрихо |
|||||
|
|
|
ванную на рис. 293), ограниченную контурами L |
||||||
|
|
|
и lr, в которой функция |
f(z) |
аналитична. |
||||
|
|
|
|
|
|
Z - |
Zo |
|
|
|
|
|
|
Тогда, согласно замечанию к теореме Коши |
|||||
|
|
|
(с. 545), имеем: |
f J(z) dz. |
|
||||
Рис. 293 |
|
f |
f (z) dz = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
L |
Z-Zo |
lr |
Z-Zo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
||
_1 f f(z) dz = _1_ f f(z) dz = _..!:_ f f(zo) + f(z) - f(zo) dz = |
|||||||||
27Гi |
z - |
zo |
27Гi |
z - zo |
27Гi |
|
z - |
zo |
|
L |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~f(zo) f ~ + ~ f |
f(z) - |
f(zo) dz. |
|||
|
|
|
|
27Г~ |
z - zo |
27Г~ |
|
z - |
zo |
Но f __@__ = 27Гi |
|
lr |
|
|
lr |
|
|
||
(см. пример 75.2). Следовательно, |
|
|
|||||||
Z - |
Zo |
|
|
|
|
|
|
|
|
lr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ f f(z) dz |
= ~f(zo). 27Гi + ~ f f(z) - |
f(zo) |
dz, |
||||||
27ГZ |
Z - |
Zo |
27ГZ |
27ГZ |
|
Z - |
Zo |
|
|
|
L |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
т. е. |
|
~ f f(z) dz _ f(zo) = ~ f f(z) - |
|
|
|
||||
|
|
f(zo) dz. |
(75.6) |
||||||
|
|
27Г~ |
z - |
zo |
27ri |
z - |
zo |
|
|
|
|
L |
|
|
lr |
|
|
|
|
Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитиче
ская функция f(z) непрерывна в точке zo Е D, то для любого числа
е >О найдется число r >О такое, что при iz - zol ~ r (на окружности lr имеем lz - zol = r) справедливо неравенство lf(z) - f(zo)I < е.
548
Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 75.1), имеем:
1 |
~ f f(z)dz -f(zo)I = 1~ f |
f(z)-j(zo) dzl ~ |
|
|
|
|||
27ri |
z - zo |
27ri |
z - zo |
|
|
|
|
|
|
|
L |
4 |
f lf(z) - f(zo)I d |
|
|
|
|
|
|
|
~ _..!:._ |
~ |
_..!:_~2 |
_ |
|
|
|
|
|
"" 2 7r |
1z-zo 1 |
z "" |
2 7rr |
7rr - |
с:. |
l,
Так как с: может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть по
следнего неравенства не зависит от с:, то она равна нулю:
~ f f(z) dz - f(zo) =О,
27ri Z - Zo
L
откуда следует формула (75.5). |
• |
|
Отметим, что интегральная формула Коши (75.5) справедлива и
для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева.
Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следую
щие теоремы-следствия.
Теорема 75.3. Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f(z) существуют производные всех порядков, причем п-я производная
имеет вид:
f |
(n)( |
Zo |
) |
_ |
~ f |
f(z) |
+1 |
d |
(75.7) |
|
|
- |
. |
(z - z0 )n |
z. |
|
|||
|
|
|
|
|
27ri |
|
|
|
L
Теорема 75.4. В окрестности каждой точки z0 , где существует про
изводная f'(zo). функция f(z) может быть представлена сходящимся
рядом:
f(z) = f(zo) + J'(zo)(z - zo) + J"~;o)(z - |
zo) 2 + ... |
|
|
|
···+ |
j(n)(zo) |
n |
+ ... (75.8) |
|
п.1 |
(z - zo) |
|
||
~Таким образом, производна.я ана.аитическоi& функции mак -;нсе яв.11.Яется ана.аити-ческоi& функциеi&.
Напомним, что из дифференцируемости действительной функции
не следует даже существования второй производной (функция у = VX
549