Абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов,
1~ходится (см. пример 60.4).
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды зани
мают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства ко-
11ечных сумм (переместительность, сочетательность, распределитель-
11ость).
Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без до
казательства.
liJ 1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму 8, то ряд, полу-
. ченный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту
же сумму 8, что и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 81 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящий
ся ряд, сумма которого равна 8 1 + 82 (или соответственно 8 1 - 82).
3. Под произведением двух рядов и~ + и2 + ... и v1 + v2 + ... пони
мают ряд вида
(uiv1) + (uiv2 + u2v1) + (и1Vз + u2v2 + изv1) + ...
···+ (utVn + U2Vn-1 + ···+ UnV1) + ···
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами 8 1 и 82 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 81 ·82.
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычи таются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не за
висят от порядка записи членов.
В случае условно сходящихся рядов соответствующие утвержде
ния (свойства), вообще говоря, не имеют места.
Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добить
ся того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 - ~ + i -!+ ...
условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна 8. Пе
репишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд
111111 |
|
1 |
1 |
|
1 - 2 - 4+ 3 - 6 - 8+ 5 |
- 10 - |
12 + ... = |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
= 2 - 4+ |
6 - 8+ 10 - |
12 + ... = |
|
= ~( 1 - |
~+ ~ - ~+ ~ - ~+. ") = ~8. |
Сумма уменьшилась вдвое!
Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ря
да можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или
расходящийся ряд (теорема Римана).