Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем

сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к

верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью

Оу - тупой, а с осью Oz - острый угол. {Единичный вектор данной

плоскости есть n = ±(~z + ~J - ~k); на верхней стороне cos1 > О,

поэтому надо выбрать знак «минус»; получим: cos а = - ~, cos /3 = - ~,

COS/ = ~.)

Итак, К= К1 + К2 + Кз. Находим К1, К2, Кз:

зываемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсив­

ность источников и стоков поля.

510

~Дивергени,иеii. (или расходимостью) векторного пол.я

а(М) = P(x;y;z)i + Q(x;y;z)J + R(x;y;z)k

Отметим некоторые своiJ,ства дивергенции.

1.Если а - постоянный вектор, то div а= О.

2.div(с · а) = с · div а, где с = const.

3.div(a+Б) = diva+divБ, т. е. дивергенция суммы двух векторных

функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если И - скалярная функция, а - вектор, то

div(U ·а)= И· diva + agradU.

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Дока­

жем, например, справедливость свойства 4.

О Так как И · а= И · Р · i + И · Q · J+ И · R · k, то

=И· div а+ а· grad И. •

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запи­

шем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

JJ Рdy dz + Q dx dz + R dx dy = JJJ(~= + ~~ + ~~)dv (71. 7) s v

в так называемой векторной форме.

Рассматривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью

S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть форму­ лы (71.7) есть поток вектора а через поверхность S; подынтегральная

функция правой части формулы есть дивергенция вектора а. Следова­

тельно, формулу (71.7) можно записать в виде

(в котором она чаще всего и встречается).

511

liJ Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторно­

го по.ля 'Через замкнутую поверхность S (в направлении внешнеii,

нормали, т. е. изнутри) равен троii,ному интегралу от дивергенции это­

го по.ля по оббему V, ограни-ченному данноil поверхностыо.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивер­

генции векторного поля а(М) в точке М (не связанное с выбором ко­

ординатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

JJJ diva(M)dv = V · diva(Mo), v

где М0 - некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8)

можно переписать в виде//ап dS = V · div а(М0). Отсюда s

div а(Мо) = ~ jj an ds.

s

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда V -+ О, М0 -+ М,

и мы получаем выражение для div а(М) в точке М:

s

~Дивергенцuеii. векторного пол.я в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружа­

ющую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при

условии, что вся поверхность стягивается в точку М (V-+ О). Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать)

определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном

векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно счита­ ют, что а(М) есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при diva(M) > О точ­ ка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при div а(М) < О точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует

из равенства (71.9), величина div а(М) характеризует мощность (интен­

сивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхно­

стью S, нет ни источников, ни стоков, то div а = О.

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна

нулю, т. е. div а(М) =О, называется со.леноиiJа.лыtым (или трубчатым).

512

При.мер 71.4. Найти дивергенцию поля линейных скоростей V

жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью w.

О Решение: Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как по­

казано ранее (см. пример 69.2), V = -wyz + wxJ +О· k. Имеем:

вой (dl = J(dx)2 + (dy)2 + (dz)2).

~Криволинейный интеграл по замкну:9МУ контуру L от скалярного

произведения вектора а на вектор dr, касательный к контуру L,

называется циркуляциеit вектора а вдоль L, т. е.

(71.10)

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

а· dr = !dr! ·пpdra =ат· dl = Pdx + Qdy + Rdz,

где ат - проекция вектора а на касательную т, проведенную в напра­

влении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде

L

или

(71.12)

513

~Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физиче­ ский смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то цирку­

ляция - это работа силы а(М) поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция от­

лична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное

произведение adr сохраняет знак: положительный, если направление

вектора а совпадает с направлением обхода векторной линии; отрица­

тельный - в противном случае.

Пример 71.5. Найти циркуляцию вектора поля линейных ско­

ростей вращающегося тела (см. пример 69.2) V = -wyl + wx] вдоль

замкнутой кривой L, лежащей в плоскости а, перпендикулярной оси

вращения.

Q Решение: Будем считать, что направление нормали к плоскости а

совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:

С = f -wy dx +wx dy = w f -уdx + хdy =

L L = 2L<.i( ~ f -уdx + хdy) = 2w · S,

L

где S - площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол 'У с осью

Oz, то циркуляция будет равна С= 2w · S · cos )1; с изменением угла 1'

514

На отрезке ВС: у+ z = 1, х =О, следовательно,

вс 1

На отрезке СА: х + z = 1, у= О, следовательно,

1

J = J(х - 2 + 2х) dx +О - 1(5х +О)· (-dx) = -3.

СА О

Следовательно,

71.5. Ротор поля. Формула Стокса

§Ротором (или вихрем) векторного пол.я

ii = Р(х; у; z)l + Q(x; у; z)J + R(x; у; z)k

называется вектор, обозначаемый rotii(M) и определяемый формулой

Формулу (71.13) можно записать с помощью символического опре­

делителя в виде, удобном для запоминания:

Отметим некоторые сво11.ства ротора.

1.Если ii - постоянный вектор, то rot ii = О.

2.rot(c · ii) =с· rot ii, где с= const.

3.rot(ii + Б) = rot ii + rot Б, т. е. ротор суммы двух векторов равен

сумме роторов слагаемых.

4. Если И - скалярная функция, а ii(M) - векторная, то

rot(U · ii) = И rot ii + grad И х ii.

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Пока­

жем, например, справедливость свойства 3:

515

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, за­

пишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу

Стокса:

в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора rot а

через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.

мкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора а 'Через

поверхность S, .лежащую в по.ле вектора а и ограни-че'Нную контуром

L (натянутую на контур) (см. рис. 278).

516

Используя формулу (71.14), можно дать другое определение рото­

ра поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координат­

ной системы.

Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой

плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свой­ ство 7) имеем:

jj rotn ads = rotn а(Мо) · S,

s

где Мо - некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279). Тогда формулу (71.15) можно записать в виде

~Ротором вектора а в mо-чке М называется вектор, проекция

которого на каждое направление равна пределу отношения цирку­

ляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной

этому направлению, к площади этой площадки.

Как видно из определения, ротор вектора а(М) есть векторная

величина, образующая собственное векторное поле.

Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля.

Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося

вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) GJ, т. е.

ротор вектора V = -1.AJ · у · l + l.AJ · х · J.

По определению ротора

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его мо­

дуль равен удвоенной угловой скорости вращения.

517

С точностью до числового множителя ротор поля скоростей V

представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим

связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).

Заме'Чание. Из определения (71.13) ротора вытекает, что напра­

вление ротораэто направление, вокруг которого циркуляция имеет

наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг

любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S. Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи

между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).

§ 72. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 72.1. Векторные дифференциальные операции первого

порядка

Основными дифференциальными операциями (действиями) над

скалярным полем И и векторным полем а являются grad И, div а, rot а. Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются вектор­

Н'Ыми операциями первого порядка (в них участвуют только первые

производные).

Эти операции удобно записывать с помощью так называемого опе­

ратора Гами.л:ьтона

Этот символический вектор называют также оператором У' (чита­ ется «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умноже­

ние» вектора У' на скаляр И или вектор а производится по обычным

правилам векторной алгебры, а «умножение» символов /Jx , /1у, lz на

величины И, Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной

производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные опе­

рации первого порядка:

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним

518