Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

обычно непосредственно определяют коэффициент с_1 в разложении функции в ряд Лорана.

z =о.

О Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности

Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.

Пример 77.3. Вычислить f (z - l)~(z2 + l), гдеL-окружность

формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем:

Рис. 301

570

211"

Определенный интеграл вида JR(sin х; cosx) dx с помощью заме-

о

ны z = eix в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по

замкнутому контуру izl = 1 от функции комплексного переменного, к

которому уже применима основная теорема о вычетах.

Прuмер 77.4. Вычислить с помощью вычетов интеграл

211"

dx

I= ! (3+2cosx) 2 .

о

Q Решение: Произведем замену переменного, положив z = eix. Тогда

х от О до 27Г точка z опишет в положительном направлении окружность izl = 1. Следовательно,

порядка Z1 = - 3 ;- J5. По формуле (77.5) находим

-3+ У§)

Res ( f(z); 2 =

Глава XVlll. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1 Лекции 69-71 1

Операционное исчисление играет важную роль при решении при­

кладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике. Операционное исчисление - один из методов математического ана­

лиза, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференци­

альных и некоторых типов интегральных операторов и решение урав­

нений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых ал­ гебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию сле­

дующей условной схемы решения задачи.

1.От искомых функций переходят к некоторым другим функци­ ям - их изображениям.

2.Над изображениями производят операции, соответствующие за­ данным операциям над самими функциями.

3.Получив некоторый результат при действиях над изображения­ ми, возвращаются к самим функциям.

Вкачестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Ла­

пласа.

§ 78. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

78.1. Оригиналы и их изображения

Основными первоначальными понятиями операционного исчисле­ ния являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) - действительная функция действительного перемен­ ного t (под t будем понимать время или координату).

~Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет

следующим условиям:

1.f (t) =О при t < О.

2.f(t) - кусочно-непрерывная при t ~О, т. е. она непрерывна или

имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке

оси t таких точек лишь конечное число.

Е§] 3. Существуют такие числа М > О и s0 ~ О, что для всех t выпол­

няется неравенство lf(t)i ~ М·e80 t, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число so называется показателем роста f(t).

572

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описываю­

щих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого мо­ мента времени; удобнее считать, что в момент t = О. Третьему усло­

вию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить

2

s0 = О), степенные tn (п > О) и другие (для функций вида /(t) = aet

условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функ­

ция f(t) = t (не удовлетворяет второму условию).

За.ме-чание. Функция f(t) может быть и комплексной функцией

f(t) = fi (t) +if2(t); она счи­

тается оригиналом, если действительные функции fi (t) и / 2 (t) явля­

~ИзобраЭ1Сением оригинала f(t) называется функция F(p) ком­

плексного переменного р = s + iст, определяемая интегралом

~Операцию перехода от оригинала /(t) к изображению F(p) назы-

вают преобразованием Лапласа. Соответствие между оригина­

лом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(x) ~ F(p) или

F(p) ~ f(x) (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их

изображения - соответствующими большими буквами).

Теорема 78.1 (существование изображения). Для всякого ориги­

нала /(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости Rep = s > s0 , где s0 - показатель роста функции /(t), причем функ­ ция F(p) является аналитической в этой полуплоскости (s > s0 ).

Q Докажем первую часть теоремы. Пусть р = .............

=s + iст произвольная точка полуплоскости

оо

573

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изобра­

жение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Rep = s > s0 . 8

Следствие 78.1 (необходимый признак существования изобра­

быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее

особые точки должны лежать левее прямой Re р = в = в0 или на са­

мой этой прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию,

не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция F(p) = tgp (ее особые точки расположены на всей

оси s).

Теорема 78.2 (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов / 1 (t) и f2(t), то эти оригиналы

совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.

574

Q Решение: По формуле (78.1) при s = Rep >О (s0 =О) находим:

т. е. F(p) =~'или, в символической записи, l(t) ~~'или 1 ~ ~- 8

Заме"tание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко запи­

сывать в виде f(t), подразумевая, что

f(t) = {f(t) при t ~О,

Опри t <О.

Пример 78.2. Найти изображение функции f(t) = eat, где а -

любое число.

Q Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1)

Q Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

575

только в полуплоскости Rep > Rea, где интеграл (78.1) сходится,

а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особен­ ность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не

область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

78.2. Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображе­

ния, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа су­ щественно облегчают задачу нахождения изображений для большого

числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линей­

ная комбинация изображений, т. е. если fi (t) ~ F1 (р), f 2 ( t) ~ F2 (р), с1

оо

Пример 78.4. Найти изображения функций sinwt, coswt (w -

любое число), с (const), chwt, shc.vt.

Q Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), нахо­

576

•

ПОАОбие

Если f(t) Ф F(p), Л > О, то f(Лt) Ф ! ·F(x), т. е. умножение

аргумента оригинала на положительное число Л приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Q По формуле (78.1) имеем

f(Лt) ф j00 f(Лt) · e-pt · dt = [положив Лt = t 1] =

оо

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегриро­

Смещение (затухание)

Если f(t) ф F(p), а= const, то eat · f(t) ф F(p- а), т. е. умножение

оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной р.

Q В силу формулы (78.1) имеем

eat · f (t) ф j00 eat · f (t)e-pt dt = j00 f(t)e-(p-a)t dt = F(p - а)

оо

577

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример 78.5. Найти оригинал по его изображению

2р-5

F(p) = р2 - 6р+ 11 ·

Q Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было вос­

пользоваться свойством смещения:

ние оригинала на положительную величину т приводит к умножению

изображения оригинала без запаздывания на е-рт.

О Положив t - т = t 1 , получим

о-т

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и f(t-т)

имеют одинаковый вид, но график функции f(t-т) сдвинут на т единиц

578

Рис. 304 Рис. 305

вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и f(t-т) описывают

один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией !(t - т),

начинается с опозданием на время т.

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изобра­ жения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные

Q Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функция j(t) должна

удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную

задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

f(t) = { ~- 1 при t ~О,

при t <О,

т. е. f (t) = (t - 1) · l(t) (см. рис. 306, а), то, зная, что t ~ ~ (см.

р

формулу (78.4)), 1 ~~и, используя свойство линейности, находим

579