Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через дVj, получим

но увеличивается (п -+ оо), а каждая площадка стягивается в точку (maxdi-+ О), за объем V цилиндрического тела, т. е.

D

Итак, вели'Ч.uна двоtJ,ного интеграла от неотрицательноtl, фующии

равна обr,ему цил1тдри'Ч.еского тел.а. В этом состоит геометрический

смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу т плоской пластинки D, зная, что ее по­

верхностная плотность 'У= 'У(х; у) есть непрерывная функция коорди­ нат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Di (i = 1, п), площади которых обозначим через дSi. В каждой области Di возьмем произвольную точку М;(х;; у;) и вычислим плотность в ней:

"((Xii У;).

Если области D; достаточно малы, то плотность в каждой точке

(х; у) Е D; мало отличается от значения 'Y(Xii у;). Считая приближен­ но плотность в каждой точке области Di постоянной, равной 'Y(Xii Yi),

380

можно найти ее массу mi: mi ~ "f(Xii Yi)·дSi. Так как массаm всей пла­

i=l

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии п ~ оо и max di ~ О:

Итак, двойной интеграл от функции 1(х; у) численно равен мас­ се пластинки, если подынтегральную функцию ')'(х; у) считать плотно­

стью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл

двойного интеграла.

53.3. Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D

дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте­

грала функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны

и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому

перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынте­

гральные функции интегрируемыми.

381

D

ственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции

вобласти D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло­ щадь которой S, то в этой области существует такая точка (х0; у0), что

JJf(x;y) dxdy = f(xo;Yo) · S. Величину

называют средним зншчением фун-х;цuи f(x; у) в области D.

53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых

координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо­

вательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл JJf(x; у) dxdy, где

D

функция f (х; у) ~ О непрерывна в области D. Тогда, как это было

показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрическо­

го тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот

объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было

показано, что

ь

V = JS(x)dx,

а

где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а

х = а, х = Ь - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

382

Положим сначала, что область D представляет собой криволиней­

ную трапецию, ограниченную прямыми х = а и х = Ь и кривыми у =

= <р1(х) и у = <р2(х), причем функции <р1(х) и <р2(х) непрерывны и таковы, что <р1(х) ~ <р2(х) для всех х Е [а;Ь] (см. рис. 218). Такая

область называется прави.л:ьноi1 в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух

точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику­

лярной оси Ох: х = const, где х Е (а; Ь].

z

у

О а х ьх

(см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного

интеграла

'Р2 ( х)

S(x) = J f(x; у) dy.

'Pl (х)

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем

цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндриче­

ского тела определяется как двойной интеграл от функции f(x;y) ~О

383

по области D. Следовательно,

V = jj f(x;y)dxdy = i( rpfx) f(x;y)dy) dx.

D а <р1(х)

Это равенство обычно записывается в виде

Ь'Р2(х)

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного инте­ грала в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) назы­

вают двукратним (или nовторнъ~м) интегралом от функции f(x; у) по

<р2 (х)

области D. При этом j f(x; у) dy называется внутренним интегра­

'Р1 ( х)

лом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен­ ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл,

т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от

адо Ь.

Если же область D ограничена прямыми у = с и у = d (с < d),

кривыми х = 'Ф1 (у) их= 'Ф2(у), причем 'Ф1(У) ~ 'Ф2(У) для всех у Е [с; d],

т. е. область D - nравилъна.я в направлении оси Ох, то, рассекая тело

плоскостью у= const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интегра.,т1а, считаем у постоянным.

Заме'Ч,ани.я.

1.Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда f(x;y) <

<О, (х;у) Е D.

2.Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной

интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по форму­

ле (53.8).

3.Если область D не является правильной ни «по х», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.

4.Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле

всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

384

Пример 53.1. Вычислить JJ<x + 2y)dxdy, где область D огра­

D

ничена линиями у = х2 , у = О, х + у - 2 = О.

Q Решение: На рисунке 220 изображена

область интегрирования D. Она правильная

в направлении оси Ох. Для вычисления дан­

ного двойного интеграла воспользуемся фор­

мулой (53.8):

оо

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла мож­

но воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует

разбить на две области: D 1 и D 2 • Получаем:

J J (х + 2у)dx dy = J J (х + 2у)dx dy + J (х + 2у)dx dy =

385

53.5. Вычисление АВОЙноrо интеграла в полярных

КООРАИНатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют

метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного инте­

грала.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv не-

прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля

определитель

ди дv

а функция f (х; у) непрерывна в области D, то справедлива форму.л,а

Функциональный определитель (53.10) называется оnреде.л,ителем Якоби или якобиа-ном (Г. Якоби - немецкий математик). Доказатель­ ство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный слуЧай замены переменных, часто используе­

мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых

координат х и у полярными координатами r и <р.

В качестве и и v возьмем полярные координаты r и <р. Они связаны

с декартовыми координатами формулами х = r cos ер, у = r sin ер (см.

п. 9.1).

Правые части в этих равенствах - непрерывно дифференцируе­

мые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

где D* - область в полярной системе координат, соответствующая

области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при­

меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

386

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лу­

чами v; =а и v; = /3, где а< /3, и кривыми r = r1(v;) и r = r 2(v;), где r1(v;) ~ r2(v;), т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Внутренний интеграл берется при постоянном v;.

Заме""ани.я..

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль­

ная функция имеет вид f(x 2 + у2); область D есть круг, кольцо или

часть таковых.

2. На практике переход к полярным координатам осуществляет­

ся путем замены х = r cos v;, у = r sin v;, dx dy = r dr dv;; уравнения

линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным

координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют,

а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж­

ные пределы интегрирования по r и v; (исследуя закон изменения r и v; точки (r; v;) при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример 53.2. Вычислить JJJ9 - х2 - у2 dx dy, где область D -

387

круг - преобразуется в область D* - прямоугольник. Поэтому, со­

гласно формуле (53.13), имеем:

53.б. Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится

по формуле

V = jj f(x;y)dxdy,

D

где z = f (х; у) - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

ПлощаАь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x; у) = 1, то цилиндрическое

тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем тако­ го цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

S = jj dxdy,

D

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с перемен­ ной плотностью 'У= 1(х; у) находится по формуле

т = jj 1(x;y)dxdy.

D

388

Статические моменты и кооминаты центра тяжести плоской

фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см.

11. 41.6) могут быть вычислены по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом 1терции материа.л:ьноii, то-чки массы т относительно оси l называется произведение массы т на квадрат расстояния d точки

до оси, т. е. М1 = т ·d2. Моменты инерции плоской фигуры относитель­

но осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат - по форму­

ле Лfо = Мх +Му.

Заме-чание. Приведенными примерами не исчерпывается примене­ ние двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного ин­

теграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

двух цилиндрических тел с одним основанием

(круг х2 + у2 ~ 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя­

389