Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

у

расчетные формулы для этих значений примут вид Xi =а+ h ·i, Yi =

= f(xi), i =О, 1, 2, ... ,п; h = Ь - а.

п

Заменим кривую у= f(x) ломаной линией, звенья которой соеди­ няют концы ординат Yi и Yi+1 (i = О, 1, 2, ... , п). Тогда площадь кри­

волинейной трапеции приблюкенно равна сумме площадей обычных

а

~Формула (42.2) называется фopмy.1tofi. mpaneцut't.

Абсолютная погрешность 14. приблюкения, полученного по фор­

муле трапеций, оценивается с помощью формулы IRnl ~ (Ь1;па2)3 ·М2,

где М2 = max Jf"(x)J. Снова для линейной функции у= kx + Ъ фор­

а~х~ь

мула (42.2) - точная.

42.З. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у = f (х) на каждом отрезке [xi-li xi] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и

прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную форму­

ь

лу приближенного вычисления интеграла Jf(x) dx.

а

300

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, огра­

ниченной сверху графиком параболы у = ах2 +Ьх+с, сбоку - прямыми

х = -h, х = h и снизу - отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точ­

h

находим, что с= у1, а= ~(Уо - 2у1 +у2). Подставляя эти значения с

и а в равенство (42.3), получаем

ь

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла/f{х) dx.

а

Для этого отрезок [а; Ь] разобьем на 2n равных частей (отрезков)

длиной h = Ь2па точками Xi = хо+ ih (i = О, 1, 2, ... , 2n). В точках

деления а = хо, Х1, х2, ... , X2n-2, X2n-1, X2n = Ь вычисляем значения

подынтегральной функции f(x): Уо, У1, У2, ... , Y2n-2, Y2n-1, Y2n, где

Yi = f(xi) (см. рис. 202).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболиче­

ской трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х0; х2] парабола проходит через три точки (хо; Уо), (х1; У1), (х2; У2). Используя форму­ лу (42.4), находим

ж2 h

81 = Jf (х)dx = 3(Уо + 4у1 + У2).

Хо

301

у

Рис. 202

Аналогично находим

... '

Ж2n h

/f(x) dx = 3(Y2n-2 + 4Y2n-1 + Y2n)·

X2n-2

Сложив полученные равенства, имеем

а.

+ 2(у2 + У4 + ... + Y2n-2) ). (42.5)

~Формула (42.5) называется форму.лоi1 nарабол, (или Симпсона).

Абсо.лютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценива­

ется соотношением

ь

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла Jf(x) dx

а.

во всех случаях, когда f(x) - многочлен, степень которого меньше или

равна трем (тогда pv =О).

302

Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

1 Лекции 34-36 1

Функции одной независимой переменной не охватывают все зави­ симости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить из­ вестное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функ­

ции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важ­

нейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются

уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух перемен­

ных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

§43. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 43.1. Основные понятия

§Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Со-

ответствие f, которое каждой паре чисел (х; у) Е D сопоставляет одно и только одно число z Е JR, называется фуккцuеii. двух пере­

менных, определенной на множестве D со значениями в JR, и записы­

вается в виде z = f(x; у) или f : D --t JR. При этом х и у называются

независимыми переменными (аргумента.ми), а z - зависимо11. пере­

менно11. (функv,иеii,).

Множество D = D(f) называется областью определения функции.

Множество значений, принимаемых z в области определения, называ­

ется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е. Примером функции двух переменных может служить площадь S

прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху.

Областью определения этой функции является множество {(х; у) 1 х >

>О, у> О}.

§Функцию z = f (х; у), где (х; у) Е D можно понимать (рассматри-

вать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху.

В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют гранuцеii oб.ttacmu. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних

внутренних точек, называется omкp'blmoii. Область с присоединенной

к ней границей называется замкнуmоii., обозначается 75. Примером

замкнутой области является круг с окружностью.

304

Значение функции z = f(x;y) в точке Мо(хо;Уо) обозначают zo = =!(хо; Уо) или zo = f(Mo) и называют "tастн·ым зна'Чением функчии.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое

истолкование. Каждой точке Мо(хо; Уо) области D в системе координат Oxyz соответствует точка М(хо; Уо; zo), где zo = f (хо; уо) - аппликата

точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некото­

рую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную

функцию z = f(x;y).

Например, функция z = J1 - х2 -у2 имеет областью определения

круг х2 +у2 :::; 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке

0(0; О; О) и радиусом R = 1 (см. рис. 204).

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, мо­ жет быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графи­ ком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

у

о х

43.2. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится по­

нятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех

точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют нера­

венству J(x - х0)2 +(у - у0)2 < б, называется б-окрестностью mо'Чки

Мо(х0; Уо). Другими словами, б-окрестность точки М0 - это все вну­ тренние точки круга с центром Мои радиусом б (см. рис. 205).

~Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой окрестности точки М0(х0; у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А

называется пределом функции z = f(x; у) при х-+ хо и у-+ Уо (или, что то же самое, при М(х; у) -+ Мо(х0; Уо)), если для любого s > О

существует б > О такое, что для всех х -:/= х0 и у -:/= у0 и удовлетворяю-

305

щих неравенству J(x - х0)2 +(у - у0)2 < б выполняется неравенство lf(x; у) -AI < е. Записывают:

А= lim f(x; у) или А= lim !(М).

~~~g М-+Мо

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит

от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х -+ хо по двум направле­

ниям: справа и слева!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит

в следующем. Каково бы ни было число е > О, найдется б-окрестность

точки Мо(хо;Уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Мо, ап­ пликаты соответствующих точек поверхности z = f(x; у) отличаются

от числа А по модулю меньше, чем на е.

х2 -у2

Пример 4з.1. Найти предел lim 22 .

х-+0 Х +у

у-+0

а Решение: Будем приближаться к 0(0; О) ПО прямой у = kx, где k -

некоторое число. Тогда

значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогич­

ными свойствам предела функции одной переменной (см. п. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции f(M) и g(M)

определены на множестве D и имеют в точке Мо этого множества пре­

делы А и В соответственно, то и функции f(M) ± g(M), f(M) · g(M),

~~~я (g(M) # О) имеют в точке М0 пределы, которые соответственно

равны А± В, А· В, ~ (В# О).

43.3. Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f(x; у) (или f(M)) называется неnрерывио-h в точ­ ке Мо(хо; Уо), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел lim f(M),

М-+Мо

306

в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы­ вается непрер'Ывно11 в это11 области. Точки, в которых непрерывность

нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности

функции в точке), называются то-чками разрьtва этой функции. Точ­ ки разрыва z = f(x;y) могут образовывать целые линии разрыва. Так,

ние непрерывности функции z = f(x; у) в точке. Обозначим дх = х-х0,

ду =у -уо, дz = f(x;y) - f(xo;Yo). Величины дх иду называются

щение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее

аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах,

можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций

приводит к непрерывным функциям - подобные теоремы имели место

для функций одной переменной (см. п. 19.4).

43.4.Свойства функций, непрерывных в ограниченной

замкнутой области

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну­

той области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функ­ ций одной переменной - см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области.

~ Об.ласmъю называется множество точек плоскости, обладающих

свойствами открытости и связности.

Сво11ство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с

некоторой окрестностью этой точки.

Сво11ство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

~Точка N0 называется гран:и:ч:ноu mо-чкоu области D, если она не

принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой обла­

сти (см. рис. 206). Совокупность граничных точек области D называет-

307

ся гран:ицеfj D. Область D с присоединенной к ней границей называет­

ся замкнуто/j областью, обозначается 75. Область называется огра­

Теорема 43.1. Если функция z = f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. суще­

ствует такое число R > О, что для всех точек N в этой области выпол­

няется неравенство lf(N)I < R; б) имеет точки, в которых принимает наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в од­

ной точке области любое численное значение, заключенное между т иМ.

Теорема дается без доказательства.

§ 44. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

44.1.Частные производные первого порядка и их геометрический смысл

Пусть задана функция z = f(x; у). Так как х и у - независимые

переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое

значение. Дадим независимой переменной х приращение дх, сохраняя

значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое назы­

вается ""астн:ым приращением z по х и обозначается дхz. Итак,

дхz = f (х + дх; у) - f(x; у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

дуz = !(х;у + ду) -f(x;y).

Полное приращение дz функции z определяется равенством

дz = f(x + дх;у + ду) - f(x;y).

Если существует предел

308

то он называется 'Частноii. производноii. функции z = f(x; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

1 дz 1 дf

ZХ'дх'!Х'дх"

Частные производные по х в точке Мо(х0; Уо) обычно обозначают сим­

волами f~(xo;yo), !~J .

Мо

Аналогично определяется и обозначается частная производная от

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной

из этих переменных при условии постоянства значений остальных неза­

висимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x;y)

находят по формулам и правилам вычисления производных функции

одной переменной (при этом соответственно х или у считается посто­

янной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + ех2 -у + 1.

Q Решение:

z~ = (2у + ех2-У + 1)~ = (2у)~ + (ех2-У)~ + (1)~ =

Геометрический смысл частных произвОАНЫХ функции АВУХ переменных

Графиком функции z = f (х; у) яв­

ляется некоторая поверхность (см.

п. 12.1). График функции z = f (х; Уо)

есть линия пересечения этой поверх­

ности с плоскостью у= у0• Исходя

из геометрического смысла произ­

водной для функции одной перемен­

ной (см. п. 20.2), заключаем, что

309