Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

.pdf
Скачиваний:
26414
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
20.05 Mб
Скачать

liJ Так как -1Г < arg z :::; 1Г, то из формулы tg ер = ~ получаем, что

у

 

arctg 'lL

для внутренних точек

= i

 

х

1, IV четвертей,

 

 

z2=-3

z1=2 х argz =

arctg у_+ 1Г

для внутренних точек

х

11 четверти,

 

 

 

 

 

arctg 'lL -

для внутренних точек

 

 

х

III четверти.

 

 

 

 

Если точка z лежит на действительной или мни­

 

мой оси,

то arg z можно найти непосредственно

 

(см. рис. 162). Например, argz1 = О для z1 = 2;

 

argz2 = 1Г для z2 =

-3; argzз

~для zз = i; и

Рис. 162

 

 

 

argz4 =-~для z4 = -8i.

Используя формулу Э1iлера

j ei'P = cos ер + i sin ер, 1

~комплексное число z = r(cos ср + i sin ср) можно записать в так называемой nоказате.л:ьноil (или эксnоненцuал.ьноii) форме

z = rei'P, где r = lzl - модуль комплексного числа, а угол <р = Arg z =

= argz + 2k1Г (k =О, -1, 1, -2, 2, ... ).

В силу формулы Эйлера, фу'н:ки,-и.я. ei'P периодическая с основн'Ым

периодом 27Г. Для записи комплексного числа z в показательной форме,

достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е.

считать <р = arg z.

Пример 27.1. Записать комплексные числа z1 = -1 +i и z2 = -1

в тригонометрической и показательной формах.

Q Решение: Для z1 имеем

 

 

 

 

izl = r = J(-1) 2 +12 = ../2,

argz = arctg(~1) + = -~ + = з;,

т. е. ср = з;. Поэтому

 

 

 

 

 

 

Гп2(

 

31Г

. . 31Г)

Гп2 i 3"

 

- 1 +z =

v~

cos 4

+zsш 4

= v~e т.

Для Z2

имеем

 

 

 

 

 

 

r = J(-1)2+02=1,

argz = arg(-1) = 1Г,

т. е. <р = 1Г.

Поэтому -1 = cos + i

sin = ei'll".

 

220

§ 28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

28.1.Сложение комплексных чисел

~Суммоil, двух комплексных чисел z1 = х1 + iy1 и z2 = х2 + iy2

называется комплексное число, определяемое равенством

1Z1 + Z2 = (х1 + Х2) + i(y1 + Yz). j

(28.1)

~Сложение комплексных чисел обладает перемесmиmел:ьнъ~м

(коммутативным) и сочеmаmел:ьнъ~м (ассоциативным) свойст-

вами:

Z1 + Z2 = Z2 + Z1,

(z1 + z2) + = z1 + (z2 + zз).

Из определения (28.1) следует, что геометрически комплексные числа

складываются как векторы (см. рис. 163).

Непосредственно из рисунка видно, что lz1 + z2I ~ lz1I + lz2I· Это

соотношение называется неравенством треугольника.

у

у

о

х

о

х

 

 

 

Рис. 163 Рис. 164

28.2. Вычитание комплексных чисел

~Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз­

ностью двух комплексных чисел z 1 и z2 называется такое ком­

плексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т. е. z = z1 -z2, если z+z2 = z1.

Если z1 = х1 + iy1, z2 = х2 + iy2, то из этого определения легко

получить z:

(28.2)

Из равенства (28.2 следует, что геометрически комплексные числа вы­ читаются как векторы (см. рис. 164).

 

Непосредственно из рисунка видно, что 1z1 - z2 I ;?; 1z1 1- J z2 I- Отме-

тим, что

liJ

lz1 - z2I = J(x1 - х2)2 + (У1 - У2)2 = d,

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию

d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство lz - 2il = 1 определяет на комплекс­

ной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки z0 = 2i, т. е. окружность с центром в z0 = 2i и радиусом 1.

221

28.З. Умножение комплексных чисел

~Произведением комплексных чисел z1 = х1 + iy1 и z2 = xz + iy2

называется комплексное число, определяемое равенством

 

1z = z1zz = (x1xz - Y1Yz) + i(X1Yz + У1Х2).1

(28.3)

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

 

 

(28.4)

Действительно, i 2 = ii = (О+ li)(O + li) = - 1) + i(O +О)

= -1.

Благодаря соотношению (28.4) формула (28.3) получается формально

путем перемножения двучленов х1 + iy1 и х2 + iyz:

(х1 + iy1)(x2 + iy2) = Х1Х2 + x1iY2 + iy1X2 + iy1iY2 =

= х1х2 + i2Y1Y2 + i(x1Y2 + У1Х2) = Х1Х2 - Y1Yz + i(X1Y2 + У1Х2).

Например,

(2 - 3i)(-5 + 4i) = -10 + 8i + 15i - 12i2 = -10 + 23i + 12 = 2 + 23i.

Заметим, что zz = + iy)(x - iy) = х2 + у2 - действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соче­

тательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:

Z1Zz = Z2Z1,

(z1z2)zз = z1 (z2zз),

Z1 (z2 + zз) = Z1Z2 + Z1Z3.

В этом легко убедиться, используя определение (28.3).

Найдем произведение комплексных чисел z1 = r 1(cos 1 + i sin ер1)

и z2 = r 2 ( cos ер2 + i sin ер2), заданных в тригонометрической форме:

z1z2 = r1 (cos epi + i sin epi)r2 (cos ер2

+ i sin epz) =

= r1 r2 (cos epi cos <pz + i sin epi cos ер2

+ i cos epi sin <pz - sin <р1 sin epz) =

= r1 rz ((cos epi cos epz - sin epi sin <pz) + i(sin <р1 cos epz + cos <р1 sin epz)) =

 

= r1 rz(cos(epi + ер2) + i sin(epi + <pz) ),

т. е.

1z1z2 = r1r2(cos(ep1 + epz) + i sin(<p1 + epz)).1

iJ

Мы показали, что при умнсr.нсении комплексных -ч.исел их

 

моду.ли перемнсr.нсаюmся, а аргументы ск.ладываюmс.я.

Это правило распространяется на любое конечное число множите­ лей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то

1zn = (r(cos ер+ i sin ер))n = rn(cos пер+ i sin пер).\

(28.5)

~Формула (28.5) называется форму.11.оii. Муавра.

Пример 28.1. Найти (1 + vГзi)9 .

222

Q Решение: Запишем сначала число z = 1+ v'зi в тригонометрической

форме:

r = J1 + (V3)2 = 2;

arg z = arctg lvГз ==>

==> argz = З'

z = 2(cos 3 + i 3 .

1r

1r . • 7r)

По формуле Муавра имеем

 

z9 = (1+V3i)9 =29 (cos9i + isin9i) =

=29 (cos37r+isin37r) = 29 (-1) = -512. 8

28.4.Деление комплексных чисел

~Деление определяется как действие, обратное умножению. Част­

ным двух комплексных -чисел z1 и z2 # О называется ком­

плексное число z, которое, будучи умноженным на z2 , дает число z1 ,

т. е. ~ = z, если z2z = z1.

Z2

Если положить z1 = х1 + iy1, z2 = х2 + iy2 # О, z = х + iy, то из равенства (х2 + iy2)(x + iy) = х1 + iy1 следует

{ХХ2 -уу2 = Х1,

ХУ2 + УХ2 = У1·

Решая систему, найдем значения х и у:

Таким образом,

На практике частное двух комплексных чисел находят путем

умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знамена­

телю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

При.мер 28.2.

Выполнить деление 12~~i.

 

 

Q Решение:

1 +Зi

(1 + Зi)(2 - i)

2 - i + бi + 3

5 + 5i

 

2+i

= (2+i)(2-i)

= ----- =

- l+i

.

 

4+1

- 5 --

 

 

 

 

223

Для тригонометрической формы комплексного числа формула де­

ления имеет вид

r1 (cos <р1 + i sin <р1)

r1

( (

ip1 -

)

. . (

))

. .

) =

-

cos

ip2

+ i ip} -

ip2 .

r2 (cos <р2 + i sш <р2

 

r2

 

 

 

 

 

При деJ1,ениu. комп,/1,ексных -чисе,/1, их модуJ1,и, соответст­

венно, де.л,,ятся, а аргументы, соответственно, ви-чита­

юmся.

28.5. Извлечение корней из комплексных чисел

Извлечение корня п-й степени определяется как действие, обрат­

ное возведению в натуральную степень.

~Корнем n-ii. степени из комп,/1,ексного -чисда z называется

комплексное число w, удовлетворяющее равенству wn = z, т. е.

Vz = w, если wn = z.

Если положить z = r(cos + i sin <р), а w = р(cos (} + i sin О), то, по

определению корня и формуле Муавра, получаем

z = wn = pn (cos п(} + i sin пО) = r( cos + i sin <р).

Отсюда имеем pn = r, п(} = + 27Гk, k = О, -1, 1, -2, 2, ... То есть

(} = + 21Гk и р = Vr (арифметический корень).

п

Vz = w принимает вид

 

 

Поэтому равенство

 

 

~

 

(

cos

+ 21Гk . .

+ 21Гk)

,

'Vr(cosip+isшip) = Vr

 

п

+isш

п

 

k =о, 1, ... 'п -

1.

 

 

Получим п различных значений корня. При других значениях k, в силу

периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада­

ющие с уже найденными. Так, при k = п имеем

Итак, для любого z =f. О корень п-й степени из числа z имеет ровно

п различных значений.

Пример 28.3. Найти значения а) И= w; 6) А= w.

224

Q Решение: а) Запишем подкоренное выражение в тригонометриче­

ской форме: i = 1 ( cos ~ + i

sin ~). Стало быть,

 

 

 

 

 

3 г.

3

 

 

 

зг.(

 

:!!.+21Гk

 

:!!.+21Гk)

 

vi=

 

cos

'2 + i

sin '2

=

v

1

cos

2

3

 

 

+ i sin 2

3

 

,

 

 

 

 

 

 

 

k =о, 1,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

При k = О имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..

 

 

.1

 

 

 

 

 

 

 

 

wo = cos-

+iюn-

= -

2

+i-·

 

 

 

 

при k = 1 имеем

 

 

 

6

 

 

6

 

 

 

2'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:!!.

+ 21Г

 

:!!.

+ 21Г

 

51Г

 

 

 

51Г

 

1

w1 = cos 2

3

+ i

sin 2

3

= cos б + i

sin 6

= -

2

+ i

2;

при k = 2 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97Г

"

 

91Г

 

3

 

"

 

3

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

W2

=

COS - 3

+ i

- 3

= COS - 2

+

i

- 2

= -i .

 

 

б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической

форме:

 

 

 

 

-1 = СОS7Г + i sin 7Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

. .

 

 

 

 

+ 21Гk

 

 

 

+ 21Гk

k =о, 1.

v - 1 =

v1cos + i sш 1Г = cos

 

2

+ i sin

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При k = О получаем w0 =

cos ~ + i sin ~ =

i,

а при k

=

1 получаем

W1 = cos з; + i sin з; = -i.

Таким образом, А = i

и А = -i. •

..,

Глава Vll. НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ

JЛекции 25-281

§29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

29.1.Понятие неопределенного интеграла

Вдифференциальном исчислении решается задача: no дmmoii

функции f(x) на11ти ее производную (или дифференциал). Интеграль­

ное исчисление решает обратную задачу: на11тt1 функцию F(x), зная ее производную F'(x) = f(x) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

~Функция F(x) называется nервообразноii. функции f(x) на ин­

тервале (а; Ь), если для любого х Е (а; Ь) выполняется равенство

F'(x) = f(x) (или dF(x) = f(x) dx).

Например, первообразной функции у = х2 , х Е JR, является функция

хз

F(x) = 3 , так как

 

F'(x) = (х;)' = х2 = f(x).

Очевидно, что первообразными будут также любые функции

 

хз

 

F(x) = 3 +с,

где С -

постоянная, поскольку

 

F'(x) = (~3 +с)'= х2 = f(x) (х Е JR).

Теорема 29.1. Если функция F(x) является первообразной функции

f(x)

на (а; Ь), то множество всех первообразных для f(x) задается

формулой F(x) +С, где С - постоянное число.

О Функция F(x) +С является первообразной f(x). Действительно,

(F(x) +С)'= F'(x) = f(x).

Пусть Ф(х) -

некоторая другая, отличная от F(x), первообразная

функции f(x), т. е.

Ф'(х) = f(x). Тогда для любого х Е (а; Ь)

имеем

(Ф(х) -

F(x))' = Ф'(х) - F'(x) = f(x) - f(x) =О.

 

А это означает (см. следствие 25.1), что

 

 

Ф(х) - F(x) =С,

 

где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х) = F(x) +С.

8

226

~Множество всех первообразных функций F(x) +С для f(x) на­ зывается неопределенным интегралом от функции f(x) и

обозначается символом j f (х) dx.

Таким образом, по определению

1/ f (х)dx = F(x) + С.1

~Здесь f(x) называется nодынmегральноu функциеu, f(x) dx -

подынтегральным выра:нсением, х - nеременноu интегри-

рования, j - знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на­

зывается интегрированием этой функции.

~Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у = F(x) +С (каждому число­

вому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется инmе­ гралъноu кpuвoil.

у

~y=F(x)+C1

~y=F(x)

х

О~y=F(x)+C2 ~у=F(х)+Сз

~

Рис. 165

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? !il Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная

на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», а

следовательно, и неопределенный интеграл.

29.2. Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из

его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте­

гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав­

на подынтегральной функции:

d(J f(x) dx) = f(x) dx, (/ f(x) dx) 1 = f(x).

227

О Действительно,

d(j f(x) dx) = d(F(x) +С)= dF(x) + d(C) = F'(x) dx = f(x) dx

и

(J f(x) dx) 1 = (F(x) +С)'= F'(x) +О= f(x).

 

Благодаря этому свойству правилъностъ интегрирования проверя­ ется дифферен:цировшнием. Например, равенство

J(Зх2 + 4) dx = х3 + 4х +С

верно, так как (х3 + + С)1 =3х2 +4.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­

ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

JdF(x) = F(x) +С.

 

О Действительно, JdF(x) = JF1 (x) dx = Jf(x) dx = F(x) +С.

8

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

 

Jaf(x) dx =а· Jf(x) dx, а ::f. О - постоянная.

 

О Действительно,

 

Jа!(х) dx = j aF'(x) dx = j (aF(x)) 1 dx = j d(aF(x)) =

 

=а·F(x) + С1 =а· (F(x) + ~1 ) = a(F(x) +С)= аJf(x) dx

(положили %- = с).

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов

от слагаемых функций:

J(f(x) ± g(x)) dx = Jf(x) dx ± Jg(x) dx.

Q Пусть F 1 (x) = f(x) и G1 (x) = g(x). Тогда

 

jU(x) ±g(x))dx = j(F'(x) ±G1(x))dx =

 

= j(F(x) ± G(x))1 dx = Jd(F(x) ± G(x)) = F(x) ± G(x) +С=

 

= (F(x) + С1) ± (G(x) + С2) = Jf(x) dx ± j g(x) dx,

 

где С1 ± С2 = С.

8

228

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если Jf(x) dx =

= F(x) +С, то и Jf(u) du = F(u) +С, где и= <р(х) - произвольная

функция, имеющая непрерывную производную.

Q Пусть х - независимая переменная, f(x) - непрерывная функция

и F(x) -

ее первообразная. Тогда Jf(x) dx = F(x) +С. Положим те­

перь и =

<р(х), где <р(х) - непрерывно-дифференцируемая функция.

Рассмотрим сложную функцию F(u) = F(<p(x)). В силу инвариантно­

сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем

dF(u) = F'(u) du = f(u) du.

 

Отсюда J!(и)du = Jd(F(u)) = F(u) +С.

8

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается

справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро­

вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей

непрерывную производную.

Так, из формулы Jх2 dx = х; +С путем замены хнаи (и= <р(х))

получаем Jи2 du =~+С. В частности,

Jsin2 xd(sinx) =

. 3

 

3 х +С,

Jln2 xd(lnx) =

ln3 х

+С,

- 3-

! tg2 xd(tgx) =

tg3 x

 

- 3-

+С.

При.мер 29.1. Найти интеграл J(2х4

- 2 + х - 5) dx.

Q Решение:

J(2х4 -

2 + х - 5) dx = 2 Jх4 dx - 3 Jх2 dx + Jхdx - 5 Jdx =

~

~

~

2

 

1

-

5х +С

= 2 - + С1 - 3 - + С2 + - + Сз -

+ С4 = 5

-

х3 + 2

5

3

2

5

 

2

 

'

При.мер 29.2.

 

х+1

 

 

 

 

Найти интеграл ! -х- dx.

 

 

 

 

Q Решение: Jх;1 dx = J(1 + ~)dx = х+ ln lxl +С.

 

229