Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

.pdf
Скачиваний:
26413
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
20.05 Mб
Скачать

Q Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен­ ство х3 + у3 - Зху = О. Из полученного соотношения

2 + 3 · у2

·у' - 3(1 ·у+ х ·у')= О

следует, что у2у' - ху' = у -

х2

У - х2

, т. е. у' = :-:т--=.

 

 

у -х

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана па-

раметрически в виде двух уравнений

{х = x(t),

(21.1)

у= y(t),

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у~, считая, что функции (21.1) имеют произ­ водные и что функциях= x(t) имеет обратную t = <р(х). По правилу

дифференцирования обратной функции

 

t~ = __!,..

(21.2)

Xt

 

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнения­

ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где

t=<p(x).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у~ =

=у~. t~.

С учетом равенства (21.2) получаем

1 1 1

1 у~

Ух= Yt · -,,

т. е. Ух=/·

Xt

Xt

Полученная формула позволяет находить производную у~ от

функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави­

симости у от х.

 

Пример 21.2. Пусть {х= t:,

 

Найти у~.

 

 

 

 

у= t.

 

 

 

 

 

Q

Решение: Имеем х~

3t2 ,

у~

2t.

Следовательно, у~

 

2t

 

W' т. е.

у/

= -2..

 

 

 

 

 

 

 

х

Зt"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом .можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у

от х.

= v х.

 

огда у -

v х~.

тсюда Ух -

3

Vx, т. е.

 

ействительно, t

 

 

д

з;;;

т

 

_ згz 0

, _

 

2

у - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

-

зt·

 

 

 

 

 

 

 

 

180

§22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Вряде случаев для нахождения производной целесообразно задан­ ную функцию С'Нд'Ч.ала прологарифмировать. А затем результат про­ дифференцировать. Такую операцию называют логарифми'Ч.еским диф­ ференцированием.

Пример 22.1. Найти производную функции

2 + 2) · V(x - 1)3 ех

у=

+ 5)3

Q Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен­

цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло­ гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

 

 

lny = ln(x2 + 2) + i ln(x -1) + х -

Зln(x + 5).

 

Дифференцируем это равенство по х:

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1

3

1

 

1

 

 

 

-

·у= --

·2х+- · -- +1 - 3· -- .

 

 

 

у

 

 

х2

+ 2

4

х -

1

х + 5

 

Выражаем у':

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

,

(

 

3

+ 1 -

3 )

 

 

 

 

 

 

х2 +

2 + 4(х - 1)

х + 5 '

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

1

2 + 2) · V(x - 1)3 · ех (

 

3

3 ) 8

 

=

+ 5) 3

·

х2 + 2 + 4(х - 1) + 1 -

х + 5 ·

iJ Существуют функции, производные которых находят лишь лога-

рифмическим дифференцированием. К их числу относится так на­

зываемая сmеnенно-nоказаmел:ьна.я функция у= uv, где и= и(х)

и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про­ изводную этой функции:

lny = v · lnи,

1

1

=v

1

1

1

===} -·у

 

 

·lnи+v·-·и,

 

у

 

 

 

и

 

у1 = у ( v1 · ln и + v · ~1 · и') ,

т. е.

у' = иv ( v' ·ln и+ v · ~ · и'),

или

иv · ln и· v' + v · иv-l ·и'./

 

/ (uv)' =

(22.1)

181

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производ­

ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока­

зательной функции, при условии и = const, и производной степенной

функции, при условии v = const.

При.мер 22.2. Найти производную функции у= (sin2x)x2 +1 .

Q Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

 

у' = (sin 2х)х2+1 ln sin · + 2 + l)(sin 2х)х2 cos · 2.

8

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче за­

помнить суть логарифмического дифференцирования.

§ 23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

23.1.Производные высших порядков явно заданной

функции

Производная у' = f'(x) функции у= f(x) есть также функция от

х и называется производно'i~ первого порядка.

Если функция f'(x) дифференцируема, то ее производная называ-

ется производной второго порядка и обозначается у" (или f"(x), ~:~,

d~(*),~)-Итак, у"= (у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существу­

ет, называется производной третъего порядка и обозначается ут (или

f"'(x), ~:~, ... ).Итак, у"'= (у")'.

Производной п-го порядка (или п-й производной) называется про­ изводная от производной (n - 1) порядка:

1 y(n) = (y(n-1))'. J

Производные порядка выше первого называются производнъtми вьtсших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна­

чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или yC5 J - про­

изводная пятого порядка).

При.мер 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у

= sinx.

182

Q Решение:

у' = (sin х)' = cos х= sin ( х+ ~),

у"= (у')'= (cosx)' = -sinx = sin(x + ~ ·2),

у111 = (- sin х)' = - cos х= sin ( х+ ~·3), y1v = (- cos х)' = sin х = sin ( х+ ~ ·4) ,

у<13) = sin ( х+ ~ ·13).

23.2. Механический смысл производной второго

порядка

Пусть материальная точка М двюкется прямолинейно по закону

S = f(t). Как уже известно, производная s: равна скорости точки в данный момент времени: s; = v.

Покажем, что вторая производна.я от пути по времени есть ве­

ли'Чшtа ускорения прямо.линеfiного движения mО'ЧКи, Т. е. s:' = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t + дt - скорость равна V + дV, т. е. за промежуток времени дt ско­

рость изменилась на величину дV.

Отношение 1,.~ выражает среднее ускорение двюкения точки за

время дt. Предел этого отношения при дt -t О называется ускорением

точки м в данный момент t и обозначается буквой а: lim лдvt = а,

дt-+0

т. е. V' =а.

Но V = s;. Поэтому а= (S;)', т. е. а= s;1

23.3.Производные высших порядков неявно заданной

функции

Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения

F(x;y) =О.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное

уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер­

вую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и

183

у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ­ водной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 23.2. Найти у111, если х2 + у2 = 1.

 

а Решение: Дифференцируем уравнение х2 + у2

- 1

х

= -

+ · у' = О. Отсюда у' = - - . Далее имеем: у"

у

 

= о ПО х:

 

+

1 ·у - х. у'

,

т. е.

у2

 

 

у"= -

у - х . (- ~)

= -

у2 + х2

1

 

+ у2

= 1), следова-

у2

У

уз

= -- (так как х2

 

 

 

уз

 

 

тельно, у111 =

-1·3у2

·у' =-3. (--х) =-3х

 

 

 

 

уб

у4

у

у5.

 

 

 

 

 

 

23.4. Производные высших порядков от функций,

заданных параметрически

Пусть функция у = f (х) задана параметрическими уравнениями

{х = x(t),

у= y(t).

Как известно, первая производная у~ находится по формуле

у~

1

 

= у~.

(23.1)

 

Xt

 

Найдем вторую производную от функции заданной параметриче­

ски.

Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

у" = (у')' = (у')' . t'

= (у~)~

'

 

хх

 

 

х х

х

t

х

 

х'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

т. е.

 

 

//

= (у~)~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(23.2)

 

 

 

ухх

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Xt

 

 

 

 

 

Аналогично получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

Ym =

(

11

)'

YIV

=

(

111

)'

 

 

 

Ухх

t

 

Уххх

t

 

 

ххх

 

х~

'

хххх

 

х~

'

 

 

Пример 23.3. Найти вторую производную функции {

х = cost,

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у= sшt.

Q Решение: По формуле (23.1)

 

 

 

 

 

 

 

,

 

(sint)~

cost

 

= - ctgt.

 

Ух = (cos t)~

= - sin t

 

 

184

Тогда по формуле (23.2)

11

( - ctg t)~

si;2 t

1

Ухх =

(cost)~

= -sint = - sin3 t"

Заметим, что найти У~х можно по преобразованной формуле (23.2):

11

(у~)~ (~1 )~

у~'· х~ - х~' ·у~

Ухх = ~ = ~ =

(х~)З

запоминать которую вряд ли стоит.

§ 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля про­

изводную lim ~дд = f'(x) f:. О. Тогда, по теореме о связи функции, ее

дх--tО Х

предела и бесконечно малой функции, можно записать ~ = !' (х)+о:,

где о:-+ О при дх-+ О, или ду = f'(x) · дх +о:· дх.

Таким образом, приращение функции ду представляет собой сум­

му двух слагаемых f' (х) ·дх и о: ·дх, являющихся бесконечно малыми при дх-+ О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ­

ция одного порядка с дх, так как lim

/'(х) ·дх

= f'(x) f:. О, а второе

Д

дх--tО

Х

 

слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,

чем дх:

о: . дх

lim

= lim о: = О.

дх--tО

Х дх--tО

Поэтому первое слагаемое f'(x) · дх называют главноii. -частью nрuращени.я функции ду.

~Дифференциалом функции у= f(x) в точке х называется глав­

ная часть ее приращения, равная произведению производной функ­

ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):

dy = f'(x) · дх.

(24.1)

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого

порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. диф­ ференциал функции у= х.

Так как у'= х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx =

= дх, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению

этой переменной: dx = дх.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

 

1 dy = f'(x)dx, 1

(24.2)

185

!i иными словами, дифференциа.л, функции равен произведению nроизводноii. эmoii. функции на дифференциа.я независимоii.

nеременноii..

Из формулы (24.2) следует равенство fШ = f'(x). Теперь обозначение производной fШ можно рассматриватькак отношениедифферен­

циалов dy и dx.

 

 

При.мер 24.1.

Найти дифференциал функции

 

 

f(x) = 2 - sin(l + 2х).

 

Q Решение: По формуле dy = f'(x)dx находим

 

dy = (3х2 -

sin(l + 2х))' dx = (6х - 2 cos(l + 2х)) dx.

8

При.мер 24.2. Найти дифференциал функции

у= ln(l + е10х) + Jx2+1.

Вычислить dy при х = О, dx = 0,1.

Q Решение:

 

 

 

 

 

 

 

dy = (ln(l + е10х) + Jх2

+ 1)' dx = (

10е10х

х

 

)

1

10

+ JX2+1

dx.

 

 

 

х

х2

+1

 

Подставив х =О и dx = 0,1, получим

 

 

 

 

 

 

dy' х=О,

= (12°+О)о,1 = 0,5.

 

 

dx=0,1

 

 

 

 

 

 

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику

функции у = f(x) в точке М(х; у) ка­

сательную МТ и рассмотрим ордина­

ту этой касательной для точки х + Лх

(см. рис. 138). На рисунке JAMJ = Лх, JAM1 J = Лу. Из прямоугольного тре­

угольника МАВ имеем:

у

у+Лу

Лу

tga =

JABJ

 

 

 

 

Лх , т. е. JABJ = tga · Лх.

х

х+Лх

х

 

 

 

Но,

согласно

геометрическому

Рис. 138

 

смыслу производной,

tga = f'(x). По­

 

 

 

 

этому АВ = f'(x) · Лх.

186

iJ Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дuфференцuа.л, функции. у= f(x) в точке х ра­

вен при.ращению ордuнати касате.л,ьноii. к графи.ку функции.

вэmoii. mо'Чке, когда х no.л,y'Чum при.ращение дх.

Вэтом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3. Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя

связь дифференциала и производной функции (dy = f' (х) dx) и соот­

ветствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у= с равна нулю, то диф­

ференциал постоянной величины равен нулю: dy=c' dx=O· dx=O.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух

дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

d(u + v) = du + dv, d(uv) = v · du +и· dv,

d ( ~) = v du - иdv (v 1' 0).

v

v 2

Q Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен­

циала имеем:

d(uv) = (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v · u'dx +и· v'dx = vdu + udv. 8

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе­ нию производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

О Пусть у= J(u) и и= ср(х) две дифференцируемые функции, образу­

ющие сложную функцию у= f(cp(x)). По теореме о производной сложной функции можно написать '

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y~dx=y~u~dx. Но у~ dx = dy и и~ dx = du. Следовательно, последнее равенство можно

переписать так:

dy =у~· du.

 

 

 

187

Сравнивая формулы dy = у~ · dx и dy = у~ · du, видим, что пер­

вый дифференциал функции у = f(x) определяется одной и той же

формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой

переменной или является функцией другого аргумента.

~Это свойство дифференциала называют инвариантностью (не­

изменностью) форми первого дифференциала.

Формула dy = у~ · dx по внешнему виду совпадает с формулой dy = у~ · du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой

формуле х - независимая переменная, следовательно, dx = дх, во

второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du f-

f- ди.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф­ ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например, d(cos и) = (cos и)~ · du = - sin и · du.

24.4.

Таблица дифференциалов

1. d(u ± v) = du ± dv;

2.

d(u · v) = vdu + udv, в частности, d(cu) =с· du;

3.

d ( ~) = v du;; иdv , в частности, d (;) = - cv1v ;

4.dy =у~ dx, если у= f(x);

5.dy =у~· du, если у= !(и), и= rp(x);

6.dc =О;

7.d(u°') =а· и°'-1 du;

8.d(аи) =аи· lna · du, в частности, d(eu) = еи · du;

9. d(loga и) = -

-

·

du, в частности, d(ln и) = 1 ·du;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

и

 

 

и·nа

 

 

10.

d(sinu) = cosudu;

 

16. d(arctgu) = ~l1 du;

11.

d(cosu) = - sin udu;

1

 

12.

d(tgu) = ~du;

 

 

 

 

 

 

17. d(arcctgu) = -~1 du;

 

cos

и

 

 

18. d(sh и)= ch udu;

13.

d(ctgu) = --:Jг- du;

 

19. d(chu) = shudu;

 

 

и

 

 

14.

d(arcsin и) =

у' 1

du;

20. d(thu) = ~hl du;

 

 

 

1-и2

с и .

15. d(arccos и) =

- h

du;

21. d(cthu) = -~hl du.

 

 

 

1-и2

s и

188

Найти приближенное значение приращения функ­
щение функции, поэтому формула (24.3)
слительной практике.
причем это равенство тем точнее, чем меньше Лх.
lil Это равенство позволяет с бо.л;ьшоii, точностью вы-чи­ слить nриб.л,и;нсенно приращение .л,юбоii, дифференцируе­
моii функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира­
= 3 -2х+ 1)' ·Лх =
Пример УЦ.3.
широко применяется в вычи­
(24.3)

24.5. Применение дифференциала к приближенным

вычислениям

Как уже известно, приращение Лу функции у = f(x) в точке х можно представить в виде Лу = f'(x) · Лх +а· Лх, где а --+ О при

Лх--+ О, или Лу = dy +а· Лх. Отбрасывая бесконечно малую а· Лх более высокого порядка, чем Лх, получаем приближенное равенство

Лу ~ dy,

ции у = х3 - + 1 при х = 2 и Лх = 0,001.

Q Решение: Применяем формулу (24.3): Лу ~ dy

= (3х2 - 2) · Лх.

dyj х=2 = (3 · 4 - 2) · 0,001 = 10 · 0,001 = 0,01.

Лх=О,001

Итак, Лу ~ 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­ циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Лу:

Лу = ((х + Лх)3 - 2(х + Лх) + 1) - 3 - + 1) =

= х3 + 2 · Лх + · (Лх)2 + (Лх)3 - - 2 · Лх + 1 - х3 + - 1 =

 

= Лх(3х2 + · Лх + (Лх)2

- 2);

Луj х=2 = 0,001(3 · 4 + 3 · 2 · 0,001+0,0012 - 2) = 0,010006.

Лх=О,001

 

 

Абсолютная погрешность приближения равна

JЛу

- dyj = J0,010006 - O,Olj = 0,000006.

 

Подставляя в равенство (24.3) значения Луи dy, получим

 

 

f(x + Лх) - f(x) ~ /1(х) · Лх

 

или

J f(x + Лх) ~ f(x) + f'(x) · Лх. J

(24.4)

 

Формула (24.4)

испо.лъзуетс.я. д.л.я ви'Числениtt приб.лиженнъ~х зна­

'Чениtt функциtt.

 

 

Пример 24.4.

Вычислить приближенно arctg 1,05.

 

189