Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

.pdf
Скачиваний:
26414
Добавлен:
10.03.2016
Размер:
20.05 Mб
Скачать

!il Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ­

водную данноit функции по nроме;нсуточному аргументу

умно;нсиmь на производную проме;нсуточного аргумента по

независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не­

сколько. Так, если у = f(u),

и = rp(v), v = g(x), то у~ = у~· и~ · v~.

Пусть у= f(x) их= rp(y) -

взаимно обратные функции.

Теорема 20.6. Если функция у = f(x) строго монотонна на интер­ вале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = rp(y) также име­ ет производную rp'(y) в соответствующей точке, определяемую равен-

ством rp'(y) = !'Сх) или х~ = :~.

О Рассмотрим обратную функцию х = rp(y). Дадим аргументу у при­

ращение ду =f. О. Ему соответствует приращение дх обратной функции,

причем дх =/:-О в силу строгой монотонности функции у= f(x). Поэта-

му можно записать

дх

1

 

 

(20.7)

 

ду -

!;ш.

дх

Если ду -+ О, то в силу непрерывности обратной функции прира-

щение дх -+ О. И так как lim ~дд = f'(x) =f. О, то из (20.7)

Лх-+0 Х

равенства lim

ддх =

1

д

= f'(l

х

) , т.е. rp'(y) = 1,(

х

) .

ду-+О

У

lim

~

 

 

 

дх-+0 Лх

!il Таким образом, производная oбpamнoit функции обратноit величине производноit данноit функции.

следуют

равна

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

1 1

 

dy 1

Ух=/

ИЛИ

dx = ([Х·

Ху

 

 

dy

 

 

Пример 20.3. Найти производную функции у= log~tgx4 .

Q Решение: Данная функция является сложной. Ее можно предста­ вить в виде цепочки «простых» функций: у = и3, где и = log2 z, где z = tg q, где q = х4 • По правилу дифференцирования сложной функ­

ции (у~ =у~· и~· z~ · q~) получаем:

у~= 3 · log~tgx4

1

1

4

х

3

· -~-­

-~~·

 

 

tgx4 · ln2

cos2

х4

 

·

170

Пример 20.4. Пользуясь правилом дифференцирования обрат­

ной функции, найти производную у~ для функции у= Vx - 1.

Q Решение: Обратная функция х = у3 +1 имеет производную х~ = Зу2.

Следовательно,

1

1

1

1

Ух=

х~

= Зу2

= 3 · \,/(х - 1)2 ·

20.б. Производные основных элементарных функций

Степенная функция у = xn, n Е N

Дадим аргументу х приращение дх. Функция у= xn получит при­

ращение ду = + дх)n - xn. По формуле бинома Ньютона имеем

ду = (xn + п. xn-1 . дх + n(n2~ 1) xn-2 . дх2 + ... + (дх)n) - Xn =

 

= п. xn-1. дх +

п(п -1)

хn-2дх2 + ... + (дх)n

.

 

 

2!

 

Тогда

 

 

 

 

ду

п. xn-1. дх + n(n~l)xn-2дx2 +. + (дх)n

 

--

2.

 

-

 

дх

дх

 

 

 

= п. xn-1 + п(п - 1) . xn-2. дх + ... + (дх)п-1.

2!

Находим предел составленного отношения при дх --+ О:

lim ду =

lim (n·xn-1+!n·(n-l)·xn-2дx+·· ·+(Лх)п-1) = п·хп-1.

Лх-+0 Лх

Лх-+0

2

Таким образом,

(xn)' = п. xn-1.

 

 

Например, (х3 )'

= Зх2 , (х2)' = 2х, х' = 1.

Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула произ­

водной степенной функции справедлива при любом п Е IR (а не только

натуральном).

Показательная функция у =аж, а > О, а # 1

Найдем сначала производную функции у = ех. Придав аргументу

х приращение дх, находим приращение функции ду: ду = ех+дх-ех =

= ех(е

д

х -

Д11

е2 (ед2 1)

и

 

1). Стало быть, ДХ =

дх-

l. ду

l" х

едх - 1

х l"

едх - 1

х l" дх х 1

х

im - =

~те·

дх

=e·im

Лх

=e·im - =e·

=е.

дх-+ОЛх

Лх-+0

Лх-+0

Лх-+ОЛх

 

171

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ех - 1 "" х при х ~ О.

Итак, у' = ех, т. е.

(ех)' = ех.

Теперь рассмотрим функцию у = ах, х Е Ж. Так как ах = ех ln а,

то по формуле производной сложной функции находим:

(ах)'= (exlna)' = exlna. · lna)' = ex\na · lna =ах· 1na.

Таким образом, (ах)'= ах lna.

Пример 20.5. Найти производную функции у= 7х2-4х.

Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и

формулу производной показательной функции, находим

у'= (7х2 -4х)' = 2-4х · ln 7 · 2 - 4х)' = 2-4х · ln 7 · (2х - 4). 8

Логарифмическая функция у = lo&. х, а > О, а =l 1

Найдем сначала производную функции у= lnx. Для нее

ду _

ln(x + дх) - lnx _

ln(~) _

ln(l + ~)

 

дх

 

дх

 

дх

 

дх

 

Переходя к пределу при дх ~ О и воспользовавшись эквивалент-

ностью ln ( 1 + ~) "" ~х при дх ~ О, получаем:

-=-,

дх-+0

-=

ln(l+

 

=

 

 

 

Ду

 

дх)

 

дх

 

1

1

lim

Лх

 

lim

х

lim ~= lim

 

Х

 

 

дх-+0 дх

 

дх-+0 Дх

дх-+0 Х

т. е. у'= 1 или (lnx)' = 1.

хх

Теперь рассмотрим функцию у= loga х.

Так как log

а

х = lnx

то

 

 

 

 

 

 

 

1na'

 

 

 

 

 

 

(logax)' =с::)'= 1:а.(lnx)' =l:a. ~-

 

 

 

Таким образом, (loga х)' = -

- .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

х ·

1

 

 

 

 

 

 

 

 

na

 

 

 

 

Пример 20. 6.

Найти производную функции у = ln(x4 -

2 + 6).

Q Решение: у'=

х4

1

. (х4 - 2х2 + 6)' =

4хз -

.

8

 

 

- 2

+ 6

 

х4 - 2

+ 6

 

 

Производную логарифмической функции у = loga х можно найти

иначе. Так как обратной для нее функцией является х

=

аУ,

то по

формуле производной обратной функции имеем:

(log

х)' = _1_ =

1

= 1

а

(аУ)'

aY·lna

x·lna·

172

Тригонометрические функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у= ctgx

Для функции у = sin х имеем:

 

 

 

 

 

ду _

sin(x + дх) -

sin х _

2 sin ~ cos(x +

~) _

sin .:;х

( дх)

дх -

дх

 

-

дх

 

 

-

дх cos

х+ 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Переходя к пределу при дх -t О и воспользовавшись первым за­

мечательным пределом

lim

sinддx = 1, получаем

 

 

 

 

 

дх-+0 Х

 

 

 

 

 

 

lim

ду

 

lim

sin дх

(

 

дх)

= 1 ·cos х,

 

 

=

---д--1- ·cos

 

х + -

 

 

дх-+0

Х

дх-+0

--.}

 

 

2

 

 

т. е. у'= cosx или (sinx)' = cosx.

Найдем производную функции y=cosx, воспользовавшись форму­ лой производной сложной функции:

(cosx)' = (sin(~-х))1 =cos(~-х)·(~-х)1 =cos(~-х)·(-1)=- sinx,

т. е. (cosx)'=-sinx.

Для нахождения производных функций y=tgx и y=ctgx восполь­ зуемся формулой производной частного:

(t

х)'= ( sin х)'= (sin х)' cosx-sin x(cos х)'

cos2 x+sin2 х

1

g

cos х

cos2х

cos2 х

cos2х'

т. е. (tgx)'=~.

 

 

 

cos

х

 

 

Проделав аналогичные операции, получим формулу

 

 

 

(ctgx)' = -s+ш х.

 

 

Этот результат можно получить иначе:

 

 

 

(ctgx)'=

(tg(~-x))'= cos2(~-x) ·(-l)=--sin-\-x.

Пример 20. 7. Найти производную функции у= cos2x.

Q Решение: (cos2x)' = -sin2x · (2х)' = -2sin2x.

 

Обратные тригонометрические функции у= arcsinx, у= arccosx,

у= arctgx, у= arcctgx

 

 

Пусть у =

arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х

= siny,

у Е [-~;~].На интервале (-~; ~) верно равенство х' = cosy-:/:- О.

По правилу дифференцирования обратных функций

 

(

.

)'

1

1

1

у -

1

х2'

 

arcsшx

=

(siny)' =

cosy =

J1 - sin2

J1 -

173

rде перед корнем взят знак плюс, так как cos у > О при у Е (- ~; ~).

Итак, (arcsinx)' =

J11-x2 .

 

 

Аналогично получаем, что (arccosx)' = - J 1

. Эту формулу

 

 

1-х2

можно получить проще: так как arccos х + arcsin х =

i, т. е. arccos х =

2

2

 

1 .

= ZL - arcsinx, то

(arccosx)' = - arcsinx)' = -

 

 

 

Vl-x2

Найдем производную функции у= arctgx.

Она является обратной к функции х = tg у, rде у Е ( -i; ~).

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, по-

лучаем, что

 

(arctgx)' = -

1

 

 

2

у=

1

2

 

=

-

1

 

 

- =---}.- = cos

 

1 + tg

у

- .

 

(tgy)'

::::::г.:

 

 

 

 

1 + х

2

 

 

 

cos

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, (arctgx)' = ~l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции arctg х и arcctg х связаны отношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- arctg х.

 

 

arctg х + arcctg х =

"2,

т. е.

arcctg х = 2

 

Дифференцируя это равенство, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcctgx)' =

(i-arctgx)' = -(arctgx)' = -12'

 

т. е.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcctgx)' = -~1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 20.8. Найти производные функций: 1) y=arccosx2 ; 2) у=

=x·arctgx; 3) у=(1+5х-3х3)4; 4) y=arccosy'X; 5) y=log~(З+2-x).

Q Решение: 1) (arccosx2 )' = -

1

·

2

)'= -

J1 - 2)2

 

~;

 

 

 

 

 

1 - х4

 

 

 

 

 

 

х

2) · arctgx)' = х' · arctgx + х · (arctgx)' = arctgx + --2 ;

 

 

 

 

 

 

1+х

3) ((1+5х - Зх3)4)' = 4(1+5х - 3)3

(5 - 2);

 

4) (arccos у'Х)' =

1

1

 

 

 

 

J1 - (у'Х)2 . 2у'Х;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) (log~(З+2-х))' = Зlоg~(З+2-х) · + 2_1х) ln 3 · 2-х · ln 2 · (-1). 8

174

Заме'Чание: Найдем производную степенной функции у = х°' с лю­ бым показателем а Е Ilt В этом случае функция рассматривается для

х >о.

Можно записать х°' = ea·In х. По правилу дифференцирования

сложной функции находим

1

х°'

=а. х°'-1,

(х°')' = (ea:·lnx)' = eo"Inx. (а· lnx)' =а. ea·lnx. -

=а. -

х

х

 

т. е. (х°')' = а· х°'-1 .

Формула остается справедливой и для х <О, если функция у= х°'

существует:

при всех х # О.

Пример 20.9. Показать, что функция у= ~2 + 2~2 +С удовле­

творяет уравнению х3 · у' + 1 = х4 .

Q Решение:

Находим у':

 

 

 

 

 

'

1

1 (

) -3

+О,

 

у =

2" ·+ 2" · -2

х

т. е. у' = х -

-:5r. Подставляем значение у' в данное уравнение:

 

х

 

 

 

 

х3 · ( х - : 3 ) + 1 = х4, т. е. х4 - 1+1 = х4, О= О.

Функция удовлетворяет данному уравнению.

 

20.7.Гиперболические функции и их производные

Вматематике, механике, электротехнике и некоторых других дис­

циплинах встречаются гиперболи'Ческие функции, определяемые следу­ ющими формулами:

~ sh х =

ех

-2е

-

гиперболический синус;

 

 

 

 

ch х = ех +

е

-

гиперболический косинус («цепная линия»);

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

х +

 

 

 

 

th х =

h

 

= е

х

- е

и cth х

h

е

е

-

гиперболиче-

~

 

 

= ~ =

 

 

 

сh х

ех

+ е-х

 

shx

ех -

е-х

 

 

ский тангенс и котангенс, где е -

неперово число.

 

 

 

На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ­

ций.

Между гиперболическими функциями существуют следующие ос­

новные зависимости:

175

 

х

 

 

о

х

Рис. 132

Рис. 133

 

у

---------~-\:::_

1

 

о

х

 

 

 

Рис. 134

Рис. 135

ch2 х -

sh2 х = 1;

 

sh(x ±у)= shx · chy ± chx · shy;

ch(x ±у)= chx · chy ± shx · shy;

(

у

) -

th х ± th у .

th х ±

-

1 ± th х . th

у'

sh2x = 2shx · chx;

ch2x = ch2 х + sh2 х.

Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.

Например,

 

 

 

 

 

 

сh2 x-sh2 х= ( ех + е )2

-

(ех )2

=

 

 

2

 

 

2

 

 

 

=

1

 

 

1

= 1

 

-(е2х

+ 2 + е-2х - е2х + 2 - е-2х) = - . 4

.

 

4

 

 

4

 

176

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см.

рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см.

рис. 136).

у

у

1

о

вх

о

х

 

 

Рис.

 

 

136.

Параметрические

Рис. 137. Параметрические уравнения

 

 

уравнения

х =

cos t

и

у =

х = ch t

и у = sh t

определяют гипер­

 

 

= sin t

определяют окружность

болу х2

- у2

= 1,

причем ОА = ch t,

 

 

х2 2

= 1, причем ОА = cost,

АМ = sht

 

 

 

 

 

АМ =sint

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем производные гиперболических функций:

 

 

(shx)' =

( ех - 2е-х)' = ех i

е-х

= chx, т. е. (shx)' = chx;

 

 

(chx)' =

(ех "1е-х)' = ех -2е-х

= shx, т. е. (chx)' = shx;

 

 

(thx)' =

( shx )'

=

 

(shx)' chx - shx(chx)'

ch2 х - sh2 х

 

 

 

 

 

 

chx

 

 

 

 

ch2 х

 

 

 

ch х

 

=

1

х

, т. е. (th х)'

=

1

х

;

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2

 

 

 

 

ch2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(cthx)'=(chx)'=sh2x-ch2x=- 1

х

,т.e.(cthx)'=- 1 .

 

 

 

 

 

sh х

 

 

sh

х

 

sh2

 

sh2

х

20.8. Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «Х» заменен на промежуточный аргу­

мент «U».

Правила дифференцирования

1.(и± v)' =и'± v';

2.(и· v)' = u'v + uv', в частности, (си)'= с· и';

177

3.(~)' = и'v; иv', в частности,(~)'=_,_;

4.у~ =у~· и~, если у= f(u), и= rp(x);

5.у~= J,., если у= f(x) их= rp(y).

 

 

Ху

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы дифференцирования

 

 

 

 

 

 

 

 

1. (с)'

= О;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

(и°')' = а · и°'-

1

·и', в частности, (.jU)' =

 

1

 

·и';

 

 

 

 

;::

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2vи

 

 

 

3.

(аи)' =аи· ln а· и', в частности, (еи)' = еи ·и';

 

 

 

4.

(log

 

и)' =

-

-

 

· и'

 

в частности (ln и)' =

1 ·и'·

 

 

 

 

 

 

1

 

 

'

 

 

'

 

 

 

 

'

 

 

 

а

 

и· lпа

 

 

 

и

 

 

 

5.

(sinu)' = соsи·и';

 

 

6.

(cosu)' =

-sinu·u';

 

7.

(tgu)' =

1

 

 

 

·и';

 

 

8.

(ctgu)' =

-

.

1

 

·и';

 

 

 

 

cos2 и

 

 

 

 

 

 

 

2 и

 

 

9.

(arcsinu)' =

 

 

 

1

 

·и';

10.

(arccosu)' =

-

 

 

1

·и';

 

 

 

 

 

J1-u2

 

 

 

 

 

 

~

 

11.

(arctgu)' =

 

 

1

 

 

 

12.

(arcctgu)' = -~1 . и';

~l ·и';

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. (sh и)'= ch и· и';

 

 

14.

(ch и)'= sh и· и';

 

 

15. (th и)' =

1

и

 

· и';

 

 

16.

(cth и)' =

-

1

и

· и'.

 

 

 

 

ch2

 

 

 

 

 

 

 

 

sh2

 

 

Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе­ ренцирования и формулы производных основных элементарных функ­ ций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

При.мер 20.10. Найти производную функции у= х4 -3х3 +2х-1.

Q Решение:

 

у'= (х4 - 3 + - 1)' = 4)' - (3х3)' + (2х)' - (1)' =

 

= 3 - 3(х3)' + 2(х)' - О= 4х3 - 2 + 2.

8

Надо стараться обходиться без лишних записей.

 

При.мер 20.11. Найти производную функции у= 2tx3 .

 

 

 

gx

 

 

Q Решение:

 

 

 

у' = ( 3 )' = 2 . 3)' · tg х - х3 · (tg х)'

= 2 . 2 · tg х - х3

· со;2ж

tgx

(tgx) 2

(tgx) 2

 

Производная найдена. В процессе решения использованы правила

2, 3 и формулы 2,

7.

 

 

 

При.мер 20.12. Найти производную функции у= cos(ln12 2х).

178

Q Решение: Коротко: у' = - sin(ln12 2х) · 12 ln11 · 2~ · 2.

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле­

дующим образом: у = cosu, и = t12 , t = lnz, z = 2х. Производную

сложной функции найдем по правилу у~ = у~ · и~ · t~ ·z~ (здесь проме­ жуточных аргументов три):

 

 

 

у

1

 

 

.

12

. t

11

 

 

1

 

2

,

 

 

 

 

 

 

= - sш и

 

 

 

 

. - .

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

т. е.

 

 

 

 

sш t 12 ·12 ·(1n z)11 ·

21х · 2,

 

 

Ух1

 

=

-

 

т. е.

 

 

 

 

 

(1

 

)12

 

12

 

l

 

11

 

 

 

1

 

 

у

1

 

 

nz

·

·

n

 

 

 

 

 

х

=-s1n

 

 

 

 

 

 

 

z·-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

т. е.

у~ =

 

sin(ln12 2х) · 12 · ln11

· .!:..

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

Окончательно

у'

 

 

-12 · sin(ln12 2х) · ln11

· .!:..

 

 

=

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ

ИПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

21.1. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у= f(x), разрешенным относи­

тельно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

~Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y) =О, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как

неявно заданную уравнением f(x) - у= О, но не наоборот.

 

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от­

носительно у (например, у+ 2х + cosy - 1 =О или 2У - х +у= О).

li

Если неявная функция задана уравнением F(x; у) =О, то для нахо-

ждения производной от у по х нет необходимости разрешать урав­

нение относительно у: досmаmично nродифферен:цироваmь это уравнение no х, рассматривая nри этом у как функцию х,

и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравне­

нием х3 + у3 - 3ху = О.

179