Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

§ 79. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 79.1. Теоремы разложения

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, по­

зволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствую­ щий ему оригинал f(t).

Теорема 79.1. Если функция F(p) в окрестности точки р = оо может

быть представлена в виде ряда Лорана

то функция

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

590

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Q Отметим, что дробь ~~~ должна быть правильной (степень мно­

гочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)); в противном случае

не выполняется необходимый признак существования изображения

lim F(p) =О (п. 78.1), т. е. F(p) = БА~) не может быть изображением.

~00 р

Разложим правильную рациональную дробь ~~~ на простейшие:

деления коэффициента с1 этого разложения умножим обе части этого

равенства почленно на р - Р1:

р-р1

591

Итак, с1 = :,([;;/).Аналогичным путем (умножая обе части равенства

(79.2) нар- Pi) найдем Ci = :1rP}) ,i = 2, ... , п.

Подставляя найденные значения с1 , с2, ••• , Сп в равенство (79.2),

За.ме'Чание. Легко заметить, что коэффициенты Ck (k = 1, 2, ... , п)

определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых по-

люсах (формула (77.4)): Ck = :,y;k)) = Res(~~~;pk).

Можно показать, что если F(p) = ~~~ - правильная дробь,

но корни (нули) Р1,Р2, ... ,Рп знаменателя В(р) имеют кратности

т1 , m2 , ••• , тп соответственно, то в этом случае оригинал изображе­ ния F(p) определяется формулой

полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображе­ нию F(p), определяется формулой

рk=l

592

79.2. Формула Римана-Меллина

li! Общий способ определения оригинала по изображению дает

обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана­

Меллина), имеющее вид

-y-ioo

где интеграл берется вдоль любой прямой Re р = 'У > S0 •

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по фор-

-y-ioo

li! Заме"tание. На практике отыскание функции-оригинала обычно

проводят по следующему плану: прежде всего следует по табли­ це оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изо­

бражения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простей­

ших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности,

найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство

умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример 79.2. Найти оригинал по его изображению F(p)= р~+-34_

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

593

Пример 79.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение

задано как F(p) = рэ(рl- l).

пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

о

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференци­ ального уравнения с постоянными коэффициентами

594

удовлетворяющее начальным условиям

где Со, с1, ..., Cn-1 - заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматри­

ваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами. Пусть y(t) ~ У(р) = У и f(t) ~ F(p) = F. Пользуясь свойствами

дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении

(80.1) от оригиналов к изображениям:

(Рny -рn-1 CQ-pn-2С1 -. · .-Сп-1 ) +а1 (рn-1y -рn-2 CQ-. · .-Сп-2) +. ··

... + an-1(pY - со)+ anY = F.

Полученное уравнение называют операторн:ым (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно У:

Y(pn + a1pn-l + ... + Un-1P + ап) = F + eo(pn-l + alpn- 2 + ... + ап-1)+

Полученное равенство называют операторным решением диффе­

ренциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все

начальные условия равны нулю, т. е. у(О) = у'(О) = ... = y(n-l)(O) =О.

= _!ip)_

В этом случае У(р) Qп(Р).

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению

(80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение

дифференциального уравнения (80.1).

Заме'Чание. Полученное решение y(t) во многих случаях оказыва­ ется справедливым при всех значениях t (а не только при t ~О).

Пример 80.1. Решить операционным методом дифференциаль­

ное уравнение у" - Зу'+ 2у = 12e3t при условиях у(О) = 2,у'(О) = 6.

Q Решение: Пусть y(t) ~ У(р) =У. Тогда

y'(t) ~ рУ -у(О) = рУ - 2,

у"(t) ~ р2У - ру(О) - у'(О) = р2У - 2р - 6,

и e3t == _1_

. р-3'

595

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем

Q Решение: График данной функции имеет вид, изображенный на ри­

сунке 311. С помощью единичной функции правую часть данного диф­

ференциального уравнения можно записать одним аналитическим вы­

ражением:

11

=2t · l(t) - 2(t - 2) · l(t - 2) - 1(t - 2) - (t - 2). 1(t - 2)+

13

+l(t-2) + (t-3) · l(t-3) = 2t ·l(t)- 2(t-2) · l(t-2) + (t-3) · l(t-3).

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет

596

Отсюда

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен­

тами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример 80.3. Решить систему дифференциальных уравнений

{х' =у- z,

у' = х +у, х(О) = 1, у(О) = 2, z(O) = 3.

z' = х + z;

Q Решение: Пусть

х = x(t) ~ Х(р) = Х; у= y(t) ~ У(р) =У; z = z(t) ~ Z(p) = Z.

Находим, что

х' ~ рХ - 1; у' ~ рУ - 2; z' ~ pZ - 3.

Система операторных уравнений принимает вид

{рХ-У +Z= 1,

Х- (р - l)Y = -2,

Х+ (1 - p)Z = -3.

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

р-2

х(р) = р(р - 1) '

2р2 - р- 2

У(р) = р(р - 1)2 '

Z(p) = 3р2 - 2р- 2

р(р- 1)2

597

ПРИЛОЖЕНИЯ

Правила дифференцирования

1. (и± v)' =и'± v';

2. (и· v)' = и'v + uv', в частности, (си)'= с· и';

3. ( ; ) , =и1v;; uv/ , в частности, ( ~)' = -~;1

4.у~ =у~· и~, если у= f(u), и= ср(х);

5.у~ = J,-, если у= f(x) их= ср(у).

Ху

Формулы дифференцирования

1. (с)' =О;

14. (ch и)'= sh и· и';

15. (thu)' =~·и'; ch и

16. (cthu)' =-~·и'. sh и

599