Если же понимать функцию f(t) как
f(t) = {t -1 приt~ 1,
Опри t < 1,
т. е. f(t) = (t - |
1) ·1(t - 1) |
(см. рис. 306, б), то, используя свойство |
запаздывания, находим f(t) |
= (t - |
1) ·1(t - |
1) ~ ~ ·е-Р = F(p). |
8 |
|
|
|
|
р |
|
|
f(t) |
f(t) |
|
|
f(t) |
|
|
о |
t |
|
|
1--- |
|
|
t |
|
|
t |
-1 |
о |
1 |
о |
3 |
а |
|
б |
|
|
|
|
|
Рис. 306 |
|
|
|
Рис. 307 |
|
Пример 78. 7. Найти изображение функции
О |
приt<О, |
f (t) = {1 |
при О ::::; t::::; 3, |
Опри t > 3.
ОРешение: Данная функция описывает единичный импульс (см.
рис. 307), который можно рассматривать как раЗность двух оригина
лов: единичной функции l(t) и обобщенной единичной функции l(t-3).
Поэтому f(t) |
= l(t) - 1(t - 3) ~ ~ - |
~ ·с3Р = F(p). |
|
8 |
Пример |
78. 8. |
Найти изображение |
|
|
|
функции |
|
|
|
f(t) |
|
|
|
/(t) = {~ |
при t < О, t ~ 4, |
2 |
|
|
|
при О::::; t::::; 2, |
|
|
|
|
|
|
4-t |
при 2 < t < 4. |
|
о |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
О Решение: Функция-оригинал |
изобра |
|
Рис. 308 |
жена на рис. 308. Запишем ее одним ана |
|
|
|
|
литическим выражением, используя функции Хевисайда 1(t) |
и 1 (t - т): |
f(t) =t. l(t) - |
t · 1(t - 2) + (4 - |
t) · l(t - 2) - |
(4 - |
t) · 1(t - 4), |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
J(t) = t · 1(t) - |
(t- 2 + 2) · l(t - 2) - |
(t- 2 - 2) · l(t - |
2) + (t- 4) · l(t- 4). |
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
|
|
! (t) |
= t. l(t) - |
2(t - 2) . l(t - |
2) + (t - |
4) . l(t - |
4). |
Изображение функции f(t) |
будет равно |
|
|
|
• |
|
|
|
f(t) |
~ -1 |
- |
2 · -1е-2Р + |
-1е-4Р = F(p). |
|
|
|
|
|
р2 |
|
р2 |
|
р2 |
|
|
|
|
Заме'Чания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т, |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
есть F(p) = |
1-Тр Jf (t)e-pt dt. |
|
|
|
|
|
|
|
1-е |
о |
|
|
|
|
т |
|
|
|
2. Свойство опережения f (t + т) ~ еРт( F(p) - Jf(t)e-pt dt) при- |
меняется значительно реже. |
|
|
о |
|
|
Дифференцирование оригинала |
|
|
|
|
|
iJ |
Если f(t) |
~ F(p) и функции f1(t), f"(t), .. " |
f(n)(t) являются ори |
|
гиналами, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J'(t) |
~ р ·F(p) - |
!(О), |
|
|
|
|
(78.11) |
|
|
f"(t) ~ р2 |
• F(p) - |
р ·/(О) - |
/'(О), |
|
|
(78.12) |
|
|
f 111 (t) |
~ р3 • F(p) - |
р2 ·/(О) - |
р ·J'(O) - |
!"(О), |
|
(78.13) |
|
|
|
......................... ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(78.14) |
Q По определению изображения находим |
|
|
|
, |
• |
/ 00 , |
-pt |
[ и = e-pt |
|
1 du = -pe-pt dt ] |
= |
f |
(t) 7 |
f |
(t)e |
dt = |
|
dv = f'(t)dt |
v = f(t) |
|
о
= f(t)e-ptl: +р J00 f(t)e-pt dt =-/(О)+pF(p).
о
Итак, f'(t) ~ p·F(p)-f(O). Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f"(t):
J"(t) = (!1 (t)) 1 ~ р(р · F(p) - /(О)) - J'(O) = р2 • F(p) - р ·/(О) - /'(О).
Аналогично найдем изображение третьей производной f 111 (t):
f 111 (t) ~ р(р2 · F(p) - р · f(O) - |
J'(O)) - J"(O) = |
= р3 . F(p) - р2 ·!(О) - р ·/'(О) - J"(O). |
Применяя формулу (78.11) (п - |
1) раз, получим формулу (78.14). • |
За.ме'Чание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых
начальных условиях: если /(О) |
= О, то f'(t) |
~ р ·F(p); если /(О) = |
= f'(O) = О, то f'1 (t) |
~ р2 • F(p), и, наконец, |
если /(О) = /1(0) = ... |
... = f(n-l)(O) = О, |
то f(n)(t) |
~ рп · F(p), т. е. дифференцированию |
оригинала соответствует умножение его изображения на р.
Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со
свойством линейности широко используется при решении линейных
дифференциальных уравнений.
Пример 78.9. |
|
Найти изображение выражения |
|
|
|
|
|
x 111 (t) |
- 2x11 (t) - |
3x1 (t) + 2x(t) + 2, |
|
|
если х(О) = 3, х1 (0) =О, х11 (0) = -2. |
|
|
|
Q Решение: Пусть |
x(t) |
~ |
|
Х(р) |
= Х. Тогда, |
согласно форму |
лам (78.11)-(78.13), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 (t)~p·X-3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 11 (t) |
~ р2 |
• Х - |
р · 3 - |
О, |
|
|
|
|
|
|
x 111 (t) |
~ р3 |
· |
Х - |
р2 · 3 - |
р ·О+ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2=2·1 = -. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'р |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x111 (t) - |
2x11 (t) - |
3x'(t) + 2x(t) + 2 ~ |
|
|
|
. |
|
3 |
·Х - |
3р |
2 |
+ 2 - 2(р |
2 |
· Х |
- 3р) - |
3(р ·Х - |
2 |
8 |
=:= р |
|
|
|
3) + 2Х + -. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
Дифференцирование изображения |
|
|
|
[i Если /(t) ~ F(p), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 1 (p) |
|
~ -t ·J(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 11 (p) |
|
~ (-1)2 • t 2 |
• f(t), |
|
|
............ '
т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его
оригинала на (-t).
О Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является
аналитической функцией в полуплоскости Rep = s > s0 • Следователь
но, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя ин
теграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции
С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем |
|
|
at |
|
• |
• |
2w(p - |
а) |
|
|
е |
|
· t |
·sшwt ::;= |
((р-а) 2 |
+w2 ) 2 |
, |
• |
|
at |
· t |
|
. |
(р - а)2 - w2 |
|
е |
|
·coswt ::;= |
((р-а) 2 |
+w2 ) 2 |
. |
Интегрирование оригинала |
|
|
|
|
|
!i Если f(t) ~ F(p), то jt |
f(т)dт ~ Fl), т. е. интегрированию ори |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
гинала от О до t соответствует деление его изображения на р.
О Функция cp(t) = jt f(т) dт является оригиналом (можно проверить).
о
Пусть cp(t) ~ Ф(р). Тогда по свойству дифференцирования оригинала
имеем
cp'(t) ~ р · Ф(р) - ср(О) =р · Ф(р)
(так как ср(О) = О). А так как
cp'(t) = (} J(т)dт)1 = J(t),
оt
то F(p) = р· Ф(р). Отсюда Ф(р) |
t |
|
|
= F(p), т. е. Jf(т)dт ~ F(p). |
8 |
|
р |
р |
|
|
о |
|
|
Интегрирование изображения |
|
|
|
|
00 |
00 |
|
Если f(t) ~ F(p) и интеграл JF(p) dp сходится, то |
JF(p) dp ~ |
рр
~f~t), т. е. интегрированию изображения от р до оо соответствует
деление его оригинала на t.
О Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (об
основание законности этой операции опускаем), получаем
Пример 78.11. Найти изображение функции si~t; найти изобра
|
|
|
t |
|
|
|
жение интегрального синуса Jsi~7 dт. |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
Q Решение: Так как sin t ~ р2 ~ 1 , то si~t |
~ / |
р2 ~ 1 dp = ~-arctgp, |
|
|
|
|
р |
|
|
т. е. si~t ~ |
~ - arctgp = arcctgp. Применяя свойство интегрирования |
|
|
t |
dт =.1L - arctgp_ |
|
• |
|
|
о |
|
оригинала |
, |
получаем Jsin 7 |
|
|
|
т |
. 2р |
р |
|
|
Умножение изображений |
|
|
|
|
Если fi (t) ~ F1 (р), /2(t) |
~ Fz(p), то |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
F1(p) · F2(p) ~ Jfi(т) · /2(t - |
т) dт. |
(78.17) |
о
t
О Можно показать, что функция Jf 1 ( т) · f2 ( t - т) dт является ориги
о
на.лом.
Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать
jf1(т)·f2(t-т)dт~ 1(1fi(т)·f2(t-т)dт)e-ptdt=
о |
|
о о |
|
|
|
|
00 |
t |
|
|
|
|
= Je-pt dt Jfi(т) · /2(t - т) dт. |
|
т |
|
о |
о |
|
|
|
Область D интегрирования полученного дву |
|
кратного интеграла определяется условиями О ~ t |
< |
t |
< оо, О~ т ~ t |
(см. рис. 309). |
|
|
|
Изменяя |
порядок |
интегрирования и полагая |
Рис. 309 |
t - т = ti, получим |
|
|
|
|
t |
|
00 |
00 |
|
|
Jfi(т) · /2(t - т) dт ~ |
Jfi(т) dт |
Je-pt · /2(t - |
т) dt = |
о |
|
о |
т |
|
|
00 |
00 |
|
= Jf~(т)е-рт dт |
Jf2(t1)e-pti dt1 = F1(p) · F2(p). |
• |
о |
о |
|
~Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверmко~
функцuu fi(t) и f2(t) и обозначается символом fi(t) * f2(t), т. е.
t
fi(t) * f2(t) = Jfi(т) · f2(t - т) dт.
о
Можно убедиться (положив t - т =и), что свертывание обладает
свойством переместительности, т. е. fi(t) * f2(t) = f2(t) * fi(t).
Умножение изображений соответствует свертыванию их оригина-
F1(p) · F2(P) ~ fi(t) * f2(t).
78.12.Найти оригинал функций
F(p) = (р2 |
1 |
и |
F(p) = (р2 |
р |
+ w2)2 |
+ w2)2 · |
Г\. р |
Т |
ак как |
F(p) |
= (р2 |
1 |
2 |
1 |
2 ), и |
2 |
1 |
2 |
. 1 |
· |
t |
, |
'..1 |
ешение: |
|
|
+ '·'2 ) · ( |
+с...1 |
+w |
::;= - |
·s1nw |
|
|
|
|
|
|
|
..., |
р |
|
р |
|
w |
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) ~ J..!:. ·sinc...1r · ..!:. ·sinw(t - т)dт = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
""' |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1t
=- 2 · j(cosw(2r - t) - cosc...1t) dт =
2w
о
= 2~2 С~.sinw(2r - |
t)I: - |
1(1.. |
|
) |
= - 2 |
-sшwt- tcosc...1t |
|
2w |
w |
|
|
coswt. тl:) = |
|
1(. |
) |
= -2с...13 sшwt-c...1t |
· cosc...1t, |
т. е. |
(р2 |
1 |
2)2 |
1 |
|
|
+w |
~ - |
3 (sinwt - wt · coswt). |
|
|
|
2w |
|
Аналогично получаем |
|
|
|
(р2 |
р |
. 1 |
. |
• |
+ w2)2 ::;= 2w . t. sшwt. |
|
Следствие 78.2. Если fi *!2 |
~ F1(p) · F2(p) и /{(t) также является |
оригиналом, то |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
р · F1(p) · F2(p) ~ Jf{(т) · f2(t - |
т) dт + fi(O) · f2(t). |
(78.18) |
о
Q Запишем произведение р · F1 (р) · F 2 (р) в виде
р · F1 (р) · F2 (р) =р · F1 (р) ·F2 (р) - /i (О) · F2 (р) + /i (О) · F2 (р),
или
р · F1 (р) ·F2(p) = (р · F1 (р) - fi (О)) · F2(p) + /i (О) · F2(p).
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот
ветствующих оригиналам fi (t) (f{(t) =';:p·F1 (р)- fi (О)) и /2(t). Поэтому
на основании свойства умножения изображений и линейности можно
записать р · F1 (р) · F2(p) =';:fi (t) * f2(t) + /i (О) · f2(t) или
t |
|
p·F1(p)·F2(p)=';= Jf{(т)·f2(t-т)dт+f1(0)·f2(t). |
• |
о
~Формула (78.18) называется формуло11. Дюамеля.
На основании свойства переместительности свертки формулу Дю
амеля можно записать в виде
t
р ·F1 (р) · F2(p) =';:Jf2(т) · !{ (t - т) dт + f2(t) · /i (О).
о
Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.
Пример 78.13. Найти оригинал, соответствующий изображению
2р2
F(p) = (р2 + 1)2.
Q Решение: |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2р2 |
- |
2 |
1 |
р |
и |
- |
|
1 . . |
|
р |
. |
t |
|
|
|
|
|
-- |
:::;=sшt, |
|
(р2 + 1)2 |
- |
р. р2 + 1 . р2 + 1 |
|
|
2 |
+ 1 |
|
- 2 -- |
:::;= cos' |
|
р |
|
|
р |
+ 1 |
|
|
то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем
2р· ~ · ~ =';:2/tсоsт· cos(t-т)dт+О=
|
р +1 |
р +1 |
о |
|
|
Умножение оригиналов |
ст |
|
|
|
Если fi(t) |
=';:F1(p) и /2(t) =';:F2(p), то |
|
|
|
l |
-,+ioo |
|
|
Л(t) · f2(t) =';: 27Гi |
J |
F1 (z) · F2(P - z)dz, |
|
|
|
|
-y-ioo |
|
|
|
где путь интегрирования - вертикальная пря- |
О |
|
мая Rez = 'У |
> s0 |
(см. рис. 310) (примем без |
|
доказательства).
t · cost + sint. 8
:-:-: .·.·.· ·.: ·.·. ·:-:-:-:- ·>:·:-y+ioo -:-:-:-:
. ._"::·:·:·:·:·:·::·: ·:·:
...............' . |
. .. , |
, |
.. . . ..... ... |
|
. . . |
|
. . . . .... ......... . |
..... ..·····. .. |
.. |
Рис. 310 |
|
Резюме
Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют
собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для
удобства пользования перечислим эти свойства.
1. |
Линейность: с1 · fi(t) + с2 · /2(t) ~ с1 · Fi(p) + с2 · F2(p). |
2. |
Подобие: f(Лt) ~ i. F(х),л >о. |
|
|
|
|
|
3. |
Смещение: eat · J(t) |
~ F(p - а). |
|
|
|
|
|
|
4. |
Запаздывание: f(t - |
т) ~ е-рт · F(p), т > О. |
|
|
5. |
Дифференцирование оригинала: |
|
|
|
|
|
|
J'(t) ~ р ·F(p) - |
/(О), |
|
|
|
|
|
|
|
J"(t) ~ р2 · F(p) - |
р ·/(О) - |
|
/'(О), |
|
|
|
|
/ 111 (t) ~ р3 • F(p) - |
р2 ·/(О) - |
р ·/'(О) - |
/"(О), |
6. |
Дифференцирование изображения |
|
|
|
|
|
F'(p) ~ -t ·/(t), |
|
|
|
|
|
|
Fu(p) ~ (-1)2. t2. /(t), |
|
|
|
7. |
Интегрирование оригинала: jt |
f(т)dт ~ Fl). |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
8. |
Интегрирование изображения: |
j00 |
F(p) dp ~ f~t). |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
9. |
Умножение изображений: F1 (р) · F2(p) ~ |
jt |
fi(т) · /2(t - т) dт = |
= fi * /2. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ioo |
10. Умножение оригиналов: fi(t)·/2 (t) ~ 2~i |
|
j |
F1 (z)·F2(p-z) dz. |
|
|
|
|
|
|
|
1-ioo |
78.3. |
Таблица оригиналов и изображений |
Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие ме
жду некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и
их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изобра
жений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному
исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).
