Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс

Равные векторы называют также свободными.

~Три вектора в пространстве называются комn.1tанарнъ~ми, если

они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли­

неарны, то такие векторы компланарны.

5.2. Линейные операции над векторами

liJ Под линейными операциями над векторами понимают операции

сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на

число.

Пусть а и Б - два произвольных вектора. Возьмем произволь­

ную точку О и построим вектор ОА = а. От точки А отложим вектор

АВ = Б. Вектор ОВ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммоi1 векторов а и Б: ОВ =а+ Б (см. рис. 2).

/~~

О а+Ь В

Рис. 2

Это правило сложения векторов называют правилом треугол:ьника. Сумму двух векторов можно построить также по правu.лу паралле­

лограмма (см. рис. 3).

у~

Рис.3

На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, Б и ё.

Б

·~о

Рис. 4

40

Под разностъю векторов а и Б понимается вектор ё = а - Б такой, что Б + ё =а (см. рис. 5).

Б~

оь

Рис. 5

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и

Б, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Б, а

другая - разностью (см. рис. 6).

Б

Рис. 6

Можно вычитать векторы по правилу: а - Б =а+ (-Ь), т. е. вычи­

тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо­

ложным вектору Б.

~Произведением вектора а на скал.яр (-ч.исJtо) ,\ называется

вектор,\· а (или а· Л), который имеет длину IЛI ·lal, коллинеарен

вектору а, имеет направление вектора а, если ,\ > О и противоположное

направление, если ,\ < О. Например, если дан вектор _lЖ_, то векторы

Из определения произведения вектора на число следуют свойства

этого произведения:

1)если Б = ,\ ·а, то Б 11 а. Наоборот, если Б 11 а, (а -:/- О), то при некотором ,\ верно равенство Б = Ла;

2)всегда а = lal ·cfJ, т. е. каждый вектор равен произведению его

модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свой­

ствами:

3. Л1 . (Л2 . а) = Л1 . Л2 . а,

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: ела-

41

гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за

скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

5.3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Пpoeкv,ueiJ, то'ЧКU М на ось l называется основание М1 перпенди­

куляра ММ1 , опущенного из точки на ось.

Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей

через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

111

Если точка М лежит на оси 'l, то проекция точки М на ось совпа­ дает с М.

Пусть АВ - произвольный вектор (АВ ::/:О). Обозначим через А1

иВ1 проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ

ирассмотрим вектор А1В1.

Пpoeкv,ueiJ, вектора АВ на ось l называется положительное число

IA1B1I, если вектор А1В1 и ось l одинаково направлены и отрицатель­ ное число -IA1B 11, если вектор А1В1 и ось l противоположно направле­

ны (см. рис. 8). Если точки А1 и В1 совпадают (А1В1 =О), то проекция

вектора АВ равна О.

Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр1 АВ. Если

АВ = О или АВ ..l l, то пр1 АВ = О.

Угол r..p между вектором а и осью l (или угол между двумя векто­ рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, О~ r..p ~ 7r.

Рис. 9

42

Рассмотрим некоторые основные своi1ства npoeкv,ui1.

Своi1ство 1. Проекция вектора ii на ось l равна произведению мо­

дуля вектора ii на косинус угла ер между вектором и осью, т. е. пр1 ii =

= liil . cos ер.

О Если ер = (ii, l) < ~' то пр1 ii =

= +lii1I = liil. cosep.

Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицатель­

на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,

если этот угол - прямой.

Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны

между собой.

Своi1ство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту

же ось равна сумме их проекций на эту ось.

О Пусть, например, d = ii+b+c. Имеем пр1 d = +ld1I = +lii1l+lb1l-lc1I,

т. е. ПP1(ii + Б +с) = ПР1 ii + ПР1 Б + ПР1 с (см. рис. 11). •

Своftство 3. При умножении вектора ii на число>. его проекция на

ось также умножается на это число, т. е.

ПР1 (,\ ·ii) = ,\ ·ПР1 ii.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со­

ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

43

5.4.Разложение вектора по ортам координатных осеи. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат

Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные век­

торы (орты), обозначаемые i, J, k соответственно (см. рис. 12).

z

Мз

у

х

Рис. 12

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на­

чало с началом координат: а= ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через

конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско­ стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответ­ ственно через М1 , М2 и М3• Получим прямоугольный: параллелепи­ пед, одной из диагоналей: которого является вектор 0Nf. Тогда прх а=

= IOM1I, пpyii = IOM2I, прz а= IOMзl· По определению суммы не­

скольких векторов находим а = ОМ1 + M 1 N + N М.

Обозначим проекции вектора а= ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен­

но через ах, ау и az, т. е. jOM1I =ах, IOM2I =ау, jOMзl = az. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной: в векторном исчислении и называ­

ется разлансением вектора по ортам координаmнwх oceii..

44

Числа ах, ау, az называются координатами вектора а, т. е. коор­

динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные

оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом ви­

де: а= (ax;ayiZz).

Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду­ ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного

параллелепипеда можно написать IOMl2= IOM112+ IOM212+ l0Mзl2 ,

~т. е. моду.ль вектора равен квадратному корню из сумми квадратов его nроекциiL на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны

а, /З, 'У· По свойству проекции вектора на ось, имеем

Числа coso:, cosfJ, COS"f называются наnрав.ляющими косtтусами век­

тора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

lal2 = lal2·cos2а+ liil2 • cos2 fJ + lal2 • cos2'У·

Сократив на liil2=/:-О, получим соотношение

1 cos2 а+ cos2 fЗ+ cos2 'У = 1, 1

~т. е. сумма квадратов наnрав.ляющих косинусов нену.лево­ го вектора равна единице.

~Легко заметить, что координатами единичного вектора е являются

числа cos а, cos /З, COS"f, т. е. е = (cos а; соs/З; cos 'У)·

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо­

дуль и направление, т. е. сам вектор.

5.5. Действия наА векторами, заданными проекциями

Пусть векторы а= (ax;ay;az) и Ь = (Ьх;Ьу;Ьz) заданы своими про­

екциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое

а = ах · z+ ау ·] + az · k, Ь = Ьх · z+ Ьу · ] + Ьz · k.

45

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству­

ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно

записать:

1. ii ± Ь = (ах± Ьх)z +(ау± Ьу)} + (az ± Ьz)k, или кратко ii ± Ь =

= (ах±Ьх; ау±Ьу; az±Ьz). То есть при слож:ении (вы'Ч,итании) векторов их одноименные координатъ~ складъtваются (въt'Ч,итаются}.

2. Лii = Лах·z+Лау.]+Лаz·k или короче Лii = (Лах; Лау; Лаz). То есть

при умножении вектора на скал.яр координаты вектора умнож:аются

на этот скал.яр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который мож­

но передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что

два вектора ii и Ь равнъt тогда и только тогда, когда выполняются ра­

венства: ах = Ьх, ау= Ьу, az = Ьz, т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов ii и Ь, заданных своими

координатами.

Так как ii 11 Ь, то можно записать ii = Л·Ь, где Л - некоторое число.

То есть

ах· z+ау· J+ az · k = Л(Ьх · f + Ьу · J+ Ьz · k) = ЛЬх · z+ ЛЬу · J+ ЛЬz · k.

liJ Таким образом, проекции коллинеарнъtх векторов проnорционалъ­

ны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-

нальные координаты, коллинеарны.

КооРдинаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко­

ординат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называют­

ся координатами то'Ч,ки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки М, обозначается f, т. е. ОМ = f. Следовательно, координаты

точки - это координаты ее радиус-вектора

f = (х; у; z) или f = х ·i +у· J+ z ·k.

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z).

46

Координаты вектора

Найдем координаты вектора ii = АВ, если известны координаты

точек A(x1;y1;z1) и B(x2;Y2;z2). Имеем (см. рис. 13):

АВ = ОВ - ОА = (х2 · z+ У2 · J+ z2 · k) - (х1 · z+ У1 · J+ z1 · k) =

= (х2 - x1)z + (У2 - Yi)J + (z2 - z1)k.

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству­

ющих координат его конца и на-чала: АВ = (х2 - х1; У2 - У1; z2 - z1).

А

в

§б. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ИЕГО СВОЙСТВА

б.1. Определение скалярного произведения

~Скалярным произведением двух ненулевых векторов ii и Б на­

зывается 'Чис.11.0, равное произведению длин этих векторов на ко­

синус угла между ними.

Обозначается iib, ii ·Б (или (ii, Ь)). Итак, по определению,

(6.1)

где ер= (а, Б).

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как liil cosc.p = пp;;-ii,

(см. рис. 14), а lbl cosc.p = праЬ, то получаем:

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из

них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер­

вым вектором.

47

б.2. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством:

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойст­

вом: а(Б + ё) = аБ + iiё.

рень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль liil, т. е.

п = liil сп=/:- ii).

Пример 6.1. Найти длину вектора ё = 3а-4Б, если lal = 2, iБi = 3,

(а, Б) = %·

Q Решение:

lёl = # = Jс3и-4Б)2 = Jgи2 - 24аБ+ 16Б2 =

=J9 . 4 - 24 . 2 . з. ~+ 16 . 9 = /108 = б-JЗ. •

5.Если векторы ii и Б (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то

их скалярное произведение равно нулю, т. е. если ii ..l Б, то iib = О.

Справедливо и обратное утверждение: если аБ = О и ii =/:- О =/:- Б, то ii ..l Б.

48

б.З. Выражение скалярного произведения

через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно­ гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве­

дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов l, ],

k:

т. е.

1 а· Ь= ахЬх + ауЬу + azbz.1

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведениti их одноименн'Ых координат.

Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, задан­

ного координатами вершин А(-4; -4; 4), В(-3; 2; 2), С(2; 5; 1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.

Q Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях д;=tн­

ного четырехугольника. Имеем: АС= (6; 9; -3) и BD = (6; -4; О). Най­

дем скалярное произведение этих векторов:

АС· BD = 36 - 36 - О = О.

Отсюда следует, что АС ..l BD. Диагонали четырехугольника ABCD

49