Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Th_Numb+Combi (2).doc
Скачиваний:
171
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
2.43 Mб
Скачать

5709  Mmmmmdссiiiiiiiii,

5709 = МММММDCCIX (= 51000+500+ +2100 +(10–1)).

Разница между этими системами записи чисел заключается в том, что в первой значение каждой цифры изменяется в зависимости от её позиции – она может обозначать количество единиц, количество десятков, сотен, тысяч, и.т.д., – а во второй цифра сохраняет своё значение независимо от позиции. Системы записи первого типа называются позиционными системами счисления, а системы второго типа – непозиционными.

Как будет доказано ниже, каждое натуральное число можно однозначно разложить не только по степеням числа 10, но и по степеням любого наперёд заданного натурального числа q > 1. Этим оправдано следующее определение: говорят, что натуральное число k записано в виде систематического числа ()q в позиционной q-чной системе счисления (скобки и черта в конкретных случаях не ставятся), если

k = anqn + an–1qn–1 + … + a1q + a0 ,

где числа ai удовлетворяют условиям 0 ai < q (0 i n – 1), an > 0 и называются цифрами числа n в рассматриваемой q-чной системе счисления. Если q > 10, то для обозначения цифр, больших 9, используют круглые скобки или последовательные начальные буквы латинского алфавита: например, (10) или A обозначает цифру 10, (11) или B – цифру 11, (12) или С – цифру 12, а (17) или H – обозначает цифру 17.

Примеры: 1. 12310 = 1738 = 7B16 = 11110112 , т.к.

12310 = 1102 + 210 + 3 = 182 + 78 + 3 =

= 716 + 11 = 126 + 125 + 124 + 123 + 022 + 12 + 1.

2. 570910 = 131158 = 164(13)16 = 164D16 = 10110010011012 = 105709 .

Теорема (о q-чных позиционных системах счисления). Любое натуральное число обладает единственным представлением в виде систематического числа в позиционной системе счисления с произвольным натуральным основанием q > 1.

Доказательство. Необходимо доказать, что для любого натурального числа k найдутся однозначно определённые цифры a0 , … , an (0 ai < q , 0 i n – 1, an > 0) со свойством k = anqn + an–1qn–1 + … + a1q + a0 .

Ясно, что k = (anqn–1 + an–1qn–2 + … + a1)q + a0 и 0 a0 < q, т.е. a0остаток от деления числа k на q, а anqn–1 + an–1qn–2 + … + a1 = k0 – частное, которые определены однозначно.

Аналогично имеем: k0 = (anqn–2 + an–1qn–3 + … + a2)q + a1 = k1q+a1 и q-чная цифра a1это остаток от деления числа k0 на q. Продолжая этот процесс, находим:

При этом обязательно найдётся такое n N0 , что kn–1 < q: действительно, если ki q , то, по построению, k > k0 > k1 > … – бесконечная убывающая цепочка натуральных чисел, что невозможно. Итак, эти формулы однозначно определяют q-чные цифры a0 , … , an числа k.

Теорема доказана.

Позиционные системы счисления с основаниями, не равными 10, широко используются в различных областях человеческой деятельности. В частности, в информатике для представления чисел в ЭВМ применяется двоичная система счисления, а для визуализации дво­ичных чисел часто применяются более экономные 8-ричная и 16-ричная системы счисления.

Обилие систем счисления с различными основаниями требует умения переводить числа из одной системы счисления в другую.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]