Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Th_Numb+Combi (2).doc
Скачиваний:
171
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
2.43 Mб
Скачать

§ 11. Признаки делимости

Признак делимости на число m N – это такая процедура (алгоритм), которая сводит задачу о делимости данного большого числа на m к аналогичной равносильной задаче для гораздо меньшего числа. Например, признак делимости на 2 утверждает, что число делится на 2 тогда и только тогда, когда делится на 2 последняя (младшая) цифра этого числа. Таким образом, вместо самого многозначного числа признак делимости на 2 рекомендует делить на 2 только одну цифру.

Из школьного курса известны признаки делимости на 2, 4, 5, 25, 3, 9. Оказывается, что все они укладываются в одну схему.

Пусть даны натуральные число m , и число k = , записанное в десятичной системе счисления, b0 , … , bn – фиксированные целые числа, причём bi 10i (mod m) (0 i n). Целое число m(k) = anbn + … + a1b1 + a0b0 (mod m) назовём т-индикатором числа k .

Примеры: 1. Пусть m = 3, bi = 1 (0 i n). Тогда имеем 10i 1i = bi (mod 3). Поэтому выражение 3(k) = an + …+ a0 является 3-индикатором числа k = .

2. В предыдущем примере можно было бы взять и другие числа bi , например, bi = 4 (0 i n) также годятся, т.к. 4 1 (mod 3). Поэтому выражение 3(k) = 4an + …+ 4a0 тоже является 3-индикатором числа k = .

3. Проверьте самостоятельно, что 9(k) = an + …+ a0 является 9-индика­тором числа k = .

Приведённые примеры показывают, что т-индикаторы определены не однозначно – они зависят от конкретного выбора чисел bi (0 i n), в качестве которых всегда можно взять, например, остатки от деления чисел 10i на т.

Теорема (обобщённый признак делимости Паскаля). Пусть заданы произвольное натуральное число m и число k = в десятичной системе счисления. Тогдаk m(k) (mod m). В частности, k m тогда и только тогда, когда m(k) m.

Доказательство. Ввиду 10i bi (mod m) имеем

k = = an10n + an–110n–1 + … + a110 + a0

anbn + an–1bn–1 + … + a1b1 + a0b0 = m(k) (mod m).

В частности, k m k 0 (mod m) m(k) 0 (mod m) m(k) m.

Теорема доказана.

Следствие 1 (известные признаки делимости). Для числа k = справедливы следующие утверждения:

(1) для любого s (1 s n) верно k 2s 2s ,

(2) для любого s (1 s n) верно k 5s 5s ,

(3) k 3 (an + … + a0) 3,

(4) k 9 (an + … + a0) 9,

(5) k 11 (an(–1)n + … + ai(–1)i + … + a0) 11.

Доказательство. (1), (2) Обозначая через m числа 2s или 5s (в зависимости от доказываемого утверждения), имеем 10i 10i (mod m ) при i < s и 10i 0 (mod m) при i s. Поэтому, если в обобщённом признаке делимости Паскаля положить bi = , то

k т (an0 + … + as0 + as–110s–1 + … + a0100) т т.

(3), (4) Снова, обозначая через m числа 3 или 9 (в зависимости от доказываемого утверждения), получим 10i 1 (mod m), так что всё следует из признака делимости Паскаля.

(5) Легко видеть, что 10i (–1)i (mod 11), т.е. в качестве bi в признаке делимости Паскаля можно взять (–1)i.

Следствие 1 доказано.

Следствие 2 (признак делимости на 7). Для числа k = выполнены следующие утверждения:

(1) трёхзначное число k = делится на 7 тогда и только тогда, когда7(k) = a0 + 3a1 + 2a2 делится на 7,

(2) если число k разбито справа налево на грани gi = по три десятичных цифры в каждой (0 i + 1), то k 7 в том и только том случае, когда (g0 – g1 + … + (–1)igi + …) 7,

(3) в условиях утверждения (2) k 7 в том и только том случае, когда (7(g0) – 7(g1) + … + (–1)i7(gi) + …) 7.

Доказательство. (1) следует непосредственно из признака делимости Паскаля при b0 = 1 100, b1 = 3 101, b2 = 2 102 (mod 7).

(2) Ясно, что выполнено равенство k = g0 + g1103 + g2106 + … , причём, 103 = 7143 – 1 –1 (mod 7). Поэтому 103i (–1)i и, как и при доказатель­стве признака делимости Паскаля,

k = g0 + g1103 + g2106 + … g0 – g1 + … + (–1)igi + … (mod 7).

(3) Положим b6i = 1, b6i+1 = 3, b6i+2 = 2, b6i+3 = –1, b6i+4 = –3, b6i+5 = –2 (i N0). Тогда можно убедиться, что 10s bs (mod 7). Значит

7(k) = a0b0 + … + anbn =

= (a01 + a13 + a22)–(a31 + a43 + a52)+…+(–1)i(a3i1 + a3i+13 + a3i+22)+… = = 7(g0) – 7(g1) + … + (–1)i7(gi) + … .

Следствие 2 доказано.

Примеры: 1. Делится ли на 7 число 89653421567 ?

89.653.421.567 = 089.653.421.567 567 – 421 + 653 – 089

(17 + 36 + 25) – (11 + 32 + 24) + (13 + 35+ 26) – (19 + 38 + 20)

0 – 1 + 2 – 5 = –4 3 (mod 7).

Таким образом, число даёт остаток 3 при делении на 7, и не делится на 7.

  1. Делится ли на 7 число 82936455364728195106114 ?

gi

082

936

455

364

728

195

106

114

7(gi)

2

2

0

0

0

1

1

2

7(k)

(–2)+(–2)–0+0–0+(–1)–1+2 = 0

Итак, исходное число делится на 7.

Упражнение: Сформулируйте признаки деления на 13, 15, 27.

Замечание. Признаки делимости не всегда удобно формулировать, конструируя m-индикаторы. Хотя, как правило, удачно выбранный m-индикатор и минимизирует вычисления (что особенно важно при программировании на ЭВМ), но расплачиваться приходится трудностью запоминания получающихся признаков делимости, в чём читатель уже имел возможность убедиться, изучив признак делимости на 7. Следующая теорема показывает альтернативный путь – пусть менее короткий для вычислений, но зато более запоминающийся.

Теорема (признаки делимости на 7, 11, 13). Число k = с количеством цифрn 3 делится на 7, 11, 13 тогда и только тогда, когда на эти числа делится разность чисел, записанных его старшими (n – 3)-мя цифрами и младшими 3-мя цифрами соответственно.: если m {7, 11, 13}, то m () m .

Доказательство. Всё следует из a1000 + b a + b (mod m).

Теорема доказана.

Упражнение: Докажите, что 10a + b 11 ba 11, 10a + b 19 a + 2b 19.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]