- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Азы теории чисел
- •§ 1. Деление целых чисел с остатком
- •5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- •Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- •Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- •Перевод числа из одной системы счисления в другую
- •Арифметические действия в позиционных системах счисления
- •§ 2. Деление целых чисел нацело
- •Свойства делимости нацело
- •§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- •Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- •§ 4. Алгоритм Евклида
- •Расширенный алгоритм Евклида
- •§ 5. Взаимно простые числа
- •Простейшие свойства взаимно простых чисел
- •§ 6. Простые числа
- •Простейшие свойства простых чисел
- •§ 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- •О распределении простых чисел
- •§ 8. Язык сравнений
- •Свойства сравнений
- •§ 9. Функция Эйлера
- •§ 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 11. Признаки делимости
- •§ 12. Принцип Дирихле
- •Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- •§ 1. Линейные диофантовы уравнения
- •§ 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- •§ 5. Пифагоровы тройки
- •§ 6. Уравнение Ферма-Пелля
- •Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- •§ 1. Великая теорема Ферма
- •§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- •§ 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- •§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- •§ 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- •§ 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- •Глава IV. Задача о счастливых билетах
- •§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
Арифметические действия в позиционных системах счисления
Сложение, вычитание, умножение и деление систематических чисел в позиционных системах счисления по любому основанию производятся точно так же, как и в десятичной системе: соответствующие операции выполняются над цифрами с соблюдением правила переноса избыточного разряда. Для того, чтобы не запутаться при переносах разрядов в необычных системах счисления, удобно иметь перед собой таблицы Пифагора для сложения и умножения цифр в используемой системе счисления.
Примеры: 1. Действия в двоичной системе счисления. Таблицы Пифгора для неё выглядят так:
+ |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 | |
1 |
1 |
10 |
1 |
0 |
1 |
П
+10110111
_1111000101010 1001101
100000100 1000111111
оэтому, например,
1011101
-
1011100
|111
111
111
1101 1011101
-
1001 +1011101
111 1011101
-
1000 10001011
111
1
2. Те же действия в шестнадцатиричной системе счисления:
+B7
–
1E2A
5D
–
5С
|7
4D
104 23E 28B 1
3. Действия в троичной системе счисления. Таблицы Пифагора:
+ |
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
1 |
1 |
2 |
10 |
1 |
0 |
1 |
2 | |
2 |
2 |
10 |
11 |
2 |
0 |
2 |
11 |
+1221212
–
22211101201
212121 –
2121002 |222 221212
122222022
212
1221
2200 2220201
22011102102 1202012 –
2000
+212121
1221
1202012
202
202002122
Упражнения: 1. Записать таблицы Пифагора для шестнадцатиричной системы счисления и вычислить АB9F + DDDDD, 123DEF – AABBEE, 991FECD 99912.
Найти все основания систем счисления q, для которых справедливы равенства: а) 321q + 13q = 4xyq , б) 1111q 111q = 1x1y1q (x, y – некоторые q-ичные цифры).
§ 2. Деление целых чисел нацело
Случай делимости нацело особенно важен для теории чисел и будет основным предметом нашего дальнейшего изучения. Напомним, что целое число а нацело делится на целое число b 0, если существует такое целое число q, называемое частным от деления a на b, что a = bq. В этом случае говорят также, что а кратно b (число a – кратное числа b) или что b делит а (число b – делитель числа а). Таким образом, на множестве ненулевых целых чисел определено отношение a b (или b | a) делимости нацело числа a на число b.