Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
vse_otvety_33__33__33.doc
Скачиваний:
299
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
5.48 Mб
Скачать

Билет № 1.V+

Билет № 2.V+

Билет № 3.V-

Билет № 4.V+

Билет № 5.V+

Билет № 6.V+

Билет № 7.V+

Билет № 8.

Билет № 9.

Билет № 10.

Билет № 11.

Билет № 12.

Билет № 13.

Билет № 14.

Билет № 15.

Билет № 16.

Билет № 17.

Билет № 18.

Билет № 19.

Билет № 20.

Билет № 21.V

Билет № 22.V

Билет № 23.V

Билет № 24.применение!

Билет № 25.докозательство

Билет № 26.Допечатать обратную теорему

Билет № 27.V

Билет № 28.V?

Билет № 29.V?

Билет № 30.определение

Билет № 1. «Последовательности».

Последовательность– функция натурального аргумента (f(n)) гдеnN. (f(n))= х12,…,хn,…

Если каждому натуральному числу nпоставлено в соответствие одно определенное значение хn, то говорят, что заданапоследовательностьс общим членом хn, пишут (хn).

Послед-ть (хn) наз.возрастающей, если большему номеру соответствует больший член послед-ти, т.еxn+1>xn. Пр: (n)=1,2,3,…,n,…; (n2)=1,4,9,…,n2,…

Послед-ть (хn) наз.убывающей, если большему номеру соответствует меньший член послед-ти, т.е.xn+1<xn. Пр: (1/n)=1,1/2,1/3,…,1/n,…

Послед-ть (хn) наз. стационарной, если все ее члены одинаковые. Пр: (5)=5,5,5,…,5,…

n) наз. колеблющейся, если ее члены колеблются около какого-нибудь числа. пр: 1,-1,2,-2,…,n,-n,…

Числовая послед-ть (хn) наз.ограниченной, если найдётся такое положительное число с, что для всехn-членов послед-ти выполняется неравенство: /xn/c.

Числовая послед-ть (хn) наз.ограниченной сверху, если найдётся такое число М, что для всех членов послед-ти выполняется неравенство:xnМ.

Пр: (-n)=-1,-2,…,-n,…sup=-1

Числовая послед-ть (хn) наз.ограниченной снизу, если найдётся такое числоm, что для всех членов послед-ти выполняется неравенство:xn≥m.

Пр: (n)=1,2,3,…,n,…inf=1

Числовая послед-ть (хn) наз.ограниченной, если сущ-ютm,M, что для всех членов послед-ти :mxnМ.

Пр: (1/n)=1,1/2,…,1/n,… sup=1 inf=0

Число а наз. пределом числовой послед-ти с общим членом хn, если для любого положительного, наперёд заданного и сколь угодно малого числа, найдется такое натуральное числоn0, что для всех членов послед-ти с номерамиn>n0выполняется неравенство:, т.е.

Геометрический смысл числовой послед-ти:

Геометрический смыслзакл-ся в том, что внутри окрестности (а -;а + ) находится бесконечное число членов этой последовательности, а за ее пределами – конечное (х12,…,хn)

Если число а явл-ся пределом числовой послед-ти, то говорят, что послед-ть сходится к а, а если предела не существует то посл-ть наз-сярасходящейся.

Пр: Доказать, что

Выберем произвольную и составим модуль разности

Мы нашлиn0=(целое), т.ебудет выполняться данное неравенство.

Послед-ть (αn) наз.бесконечно малой, если. Послед-ть (хn) наз.бесконечно большой, если.

Т(о единственности предела числ. посл-ти):Если посл-ть (хn) имеет предел, то он единственный.

Док-во:(от противного) предположим, что посл-ть (хn) имеет два разных пределаи,ab, b>a. Т.к. , то по опр.ε>0n1,n>n1: |xn-a|<ε (1). Т.к., то для выбр. ε>0n2,n>n2: |xn-b|<ε (2). Обозначим черезn0=max{n1;n2}, тогда для люб.n>n0: (1),(2). Составим разностьb-a=|b-a|=|b-ann |=|(хna)-(хnb)| ≤| хn-a|+| хn-b|<ε+ε=2ε (|xy|≤|x||y|)

Т.о. b-a<2ε. Т.к.ε-произвольное, пусть =,b-a<2*,b-a не< b-a получили противоречие, оно говорит о том, что наше предположение неверно. Т.о.,- единственный

Т:Еслии, то

1) ; 2)

3) , если;

4) , гдеC=const; 5).

МЕТОДИКА 1.

Урок алгебры по теме "Арифметическая прогрессия" для 9 класса

Цели

Обучающие: - формировать понятие арифметической прогрессии, ознакомить учащихся с формулой нахождения n-го члена арифметической прогрессии;

- формировать навыки нахождения n-ого члена арифметической прогрессии; сформировать навыки использования формулы n-ого члена арифметической прогрессии при решении задач;

Развивающие: развивать умение делать выводы, обобщать и конкретизировать, логическое мышление, память; развивать навыки самоконтроля, самообразования; развивать умения: работать индивидуально, работать на результат.

Воспитательные:воспитать трудолюбие, усидчивость, самостоятельность, последовательность и аккуратность ведения записей, повысить интерес к изучаемому материалу.

Тип урока: Изложение нового материала

Структура урока:

  1. Сообщение темы, цели урока, мотивация учебной деятельности (орг.момент);

  2. Подготовительный этап через повторение и актуализацию опорных знаний;

  3. Ознакомление с новым материалом;

  4. Первичное осмысление;

  5. Постановка задания на дом;

  6. Итог.

Для создания положительной мотивации можно использовать историческую задачу. Ее не обязательно решать до конца, достаточно только с ее помощью ввести определение последовательности. А на этапе первичного закрепления вернуться к задаче и дорешать ее.

Историческая задача.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Вот одна из них:

«Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?»

Решение. Обозначим долю первого за x, разница -y. Тогда:

Доля первого - x,

Доля второго - x+y,

Доля третьего - x+2y,

Доля четвертого - x+3y,

Доля пятого - x+4y.

Мы получили последовательность, которая называется арифметической пргрессией.

Рассмотрим определение арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

То есть, последовательность (an) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального выполняется условиеan +1 = an+d, гдеd- некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна, т.е. при любом натуральном верно равенство a n+1an= d.

Число dназываетсяразностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно узнать ее первый член и разность. Например:

1. Еслиa1=1 иd=1, то получим арифметическую прогрессию

1; 2; 3; 4; 5;…, члены которой – последовательные натуральным числа.

2. Еслиa1=1 иd=2, то получим арифметическую прогрессию

1; 3; 5; 7; 9;…, которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

3. Еслиa1=-2 иd=-2, то получим арифметическую прогрессию

-2; -4; -6; -8; -10;…, которая является последовательностью отрицательных четных чисел.

4. Еслиa1=7 иd=0, то имеем арифметическую прогрессию

7; 7; 7; 7; 7;…, все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

Зная, определение арифметической прогрессии можно вывести формулу n-го члена прогрессии

Исходя из определения арифметической прогрессии:

a2=a1+d,

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,

a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d.

Точно так же находим, что a6= a1+5d, и вообще, чтобы найтиan, нужно кa1 прибавить(n-1)d, т.е.

an=a1+(n-1)d.

Получили формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессииan=a1+(n-1)d можно записать иначе:

an=dn+(a1-d).

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an=kn+b,

где k и b - некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность (an), заданная формулой вида an=kn+b,

где k и b - некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Закрепление материала

Изучив новый материал его необходимо закрепить

Задача 1. Проверить, какие из следующих конечных последовательностей являются арифметическими прогрессиями, и найти иха1иd. а) 1, 4, 7, 10; б) 1, 4, 15, 18; в) 1, -2, -5, -6; г) 1, -1, -3, -5.

Ответ:а, г.

Задача 2. В арифметической прогрессии (an), известно, чтоa1=2 иa11=-11. Найти разность арифметической прогрессииd.

Ответ: d=-1,3.

Задача 3. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, у которойа1=3,d=2.

Ответ: 3, 5, 7, 9, 11.

Задача 4. Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (an): 6,8; 8; ..?

Ответ: число 22,5 не является членом данной арифметической прогрессии.

Задача 5. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Ответ: 10 дней следует принимать ванны

Билет № 2. «Функция».

Пусть даны два числовых мн-ваXи У, и задано некоторое отобр-иеf. Если каждому элементусоответствует единственное значениеи при этом каждому значению у поставлено в соответствие единственное зн-ие х, то говорят, что между мн-вами Х и У установлено ВОС, кот-ое и наз-сяфункцией.

Х– область опр-ия ф-ции.

у=f(x) возраст., если большему значению аргумента соотв-ет большее зн-ие ф-ции

у=f(x) убыв., если большему значению аргумента соотв-ет меньшее значение ф-ции

у=f(x)-периодическая с периодом Т, еслиf(x+Т)=f(x)

у=f(x)-четнаяна симметричном отн-но т.0 (начала координат) промежутке, еслиf(-x)=f(x).

у=f(x)-нечетнаяна симметричном отн-но т.0 (начала координат) промежутке, еслиf(-x)=-f(x).

у=f(x)-ограничена сверху, если М,хХ:f(x)≤M

у=f(x)-ограничена снизу, если m, хХ:f(x)≥m

у=f(x)-ограниченная, если К>0,xХ:|f(x)|≤К

у=f(x)-явная

у=F(x,y)-неявная

Число а наз. пределом ф-цииf(x) в точке х0, еслиε>0, найдётся δ>0 зависящее от ε, то дляудовлетворяющих неравенству:, т.е.

Геометрический смысл:

, т.е.

Когда х попадает в δ-окрестность точки х0, хсоответствующее значение ф-ции попадает в ε-окрестность точки а

Т: Пустьи, то

1) , 2)

3),,4),5)

Док-во:1) На основании теоремы, что если ф-ция имеет своим пределом число а, то она может быть представлена в виде суммы своего предела и бесконечно малойf(x)=a+ α(х) при х→х0, т.е.f(x)=a+α(х), где α(x)-бесконечно малая при х→х0, аg(x)=a+β(х), где β(х)-бесконечно малая при х→х0f(x)+g(x)=(a+b)+ (α(х)+β(х)), то по обратной теореме: если ф-ция м/б представлена в виде суммы числа и бесконечно малого, то это число явл-ся пределом для данной ф-ции.

2) Тоже самое, только : f(x)*g(x)=(a*b)+ (b*α(х) +a*β(х) + α(х)*β(х)), то по обр. теореме доказано.

3)α(x),β(х)-бесконечно малые, при х→х0.-бесконечно малое, при х→х0 , то по обр. теореме доказано.

- 1-ый зам. предел- 2-ой зам. предел

Пусть ф-ция f(x) определена на мн-ве Х, а (.)х0Х, то ф-цияf(x)непрерывнав (.)х0:

(по Коши)Ф-цияf(x)непрерывнав (.)х0.

(по Гейне) Ф-цияf(x)непрерывнав (.)х0, если какую бы послед-ть различных точек х12,…,хn,… сходящихся к х0не взять, послед-ть соответствующих значений ф-цийf(х1),f(х2),…,f(хn),… сходится кf(х0).

(на яз.приращ)Ф-цияf(x)непрерывнав (.)х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращению ф-ции.

Точка х0наз.точкой разрываф-цииf(x), если в ней нарушено какое-либо условие непрерывности, а именно:

  1. f(x) м/б неопределенна в (.)х0(не существовать);

  2. м/б не существует предел ф-ции f(x) при х→х0;

Точка х0наз.точкой устранимого разрыва, если предел в этой точке существует но не равенf(x0)- значению ф-ции или предел в этой точке существует, но сама ф-ция в (.)х0не определена.

Точка х0наз.точкой разрыва I рода, если односторонние пределы существуют, но не равны между собой.

Точка х0наз.точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существуют или равен.

Т(1-ая Т.Больцано-Коши):Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдётся хотя бы одна (.)с є [a,b], в которой ф-ция обращается в 0, т.е.f(с)=0.

Т(2-ая Т. Б-К):Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах разные значения, то какое бы число М мы не взяли, лежащее междуf(a) иf(b), то внутри отрезка [a,b] найдётся такая (.)С, в которойf(С)=М.

Док-во:

Пусть f(a)<f(b),f(a)<М<f(b).

Рассм. φ(х)=f(x)-Mи найдем ее значение на концах отрезка:φ(a)=f(a)-M<0; φ(b)=f(b)-M>0; φ(x)-непр. как разность непр. ф-ции и константы (1Т.Б-К). Значит внутри отрезка [a,b] найдется такая т.С, в которой ф-ция

φ(с)=0f(c)-M=0f(c)=M

Т(1-ая Т.Вейерштрасса):Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она на нем ограничена .

Т(2-ая Т.В): Если ф-ция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наибольших и наименьших значений.

МЕТОДИКА 2. «Понятие функции и способы задания функции»

Основные понятия темы:независимая и зависимая переменные, функция, область определения, область значений ф-ии, графики ф-ии.

Основные предложения темы:

- свойства функции (область определения, область значения, монотонность, периодичность, четность, нечетность, нули функции, промежутки знакопостоянства, экстремумы, непрерывность).

- способы задания функции (аналитический, табличный, графический, описание).

Фрагмент урока: «Понятие ф-ии» 7 класс

Тип урока: изучения нового материала

Цели:

Обучающие:- изучить основные функциональные понятия;

Развивающие:- развитие операционное мышление: умение анализировать, сравнивать, обобщать;

- развитие мировоззрения, речи, памяти;

Воспитательные:- воспитание интереса к математике;

- эстетическое воспитание.

Содержание урока:

  1. Организационный момент (2-3 мин)

  2. Актуализация знаний (6-7 мин)

  3. Изучение нового материала (13-14 мин)

  4. Усвоение нового материала (17-18 мин)

  5. Домашнее задание (2-3 мин)

  6. Итоги урока (2-3 мин)

Мотивация к изучению темы: «Понятие функции».

В зависимости от возрастных особенностей выделяют следующие методы мотивации: 1. проблемный способ изложения материала, 2. эмоциональный характер, 3. связь с практикой, с жизнью, 4. связь с прошлым материалом, 5. научно-факторная содержательность материала, 6. коллективная работа.

С учетом возрастных особенностей учащихся воспользуемся одним из методов мотивации – связь с жизнью – и подведем их к понятию функция, показав зависимость одной величины от другой, решив следующие задачи.

Задача 1.Из пункта А в пункт В отправился пешеход. Траектория пути изображена на графике. Расстояние от пункта А до пункта В 20 верст. Сколько верст прошел пешеход спустя 2 часа, 4 часа, 8 часов, 18 часов.

(для наглядности используется плакат с изображением графика зависимости)

Задача 2. На окраине леса шириной 100м запыленность воздуха составляет 65% от запыленности на открытом месте, на расстоянии 400м от края леса она снижается до 38%, 1000м – до 25%, 3км – до 5%. Постройте график зависимости уменьшения запыленности по мере удаления в лес.

Рис.1

Таким образом, ребята, зависимость переменной yот переменнойx называетсяфункцией, если каждому значениюxсоответствует единственное значение у

Билет № 3.«Дифференциальныеуравнения».

Уравнение, содержащее независимую переменную x, функциюу и ее производнуюу',(не разрешимое) наз.дифференциальным уравнение I порядка(д/у) и обозначается:.

Интегралом диф-го урав-я наз. соотношение, связывающее независимые переменные и искомую ф-цию, т.е.- интеграл диф-го урав-я- решение.

Условие приназ.начальным условием. (или, или)

Общим решением д/уI порядка наз. ф-ция, где с- произвольная постоянная, удовлетворяющая двум условиям:

1) она удовлетворяет данному д/у при любом конкретном значении с;

2) каково бы ни было начальное условие можно найти такое значение, что ф-цияб/т удовлетворять начальным условиям.

Д/у устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х;y) и угловым коэффициентом y'касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, д/уy'=ƒ(х;y) дает совокупность направлений (семейство кривых) на плоскости Охy. Таково геометрическое истолкование д/уIпорядка

Частным решением д/уI порядканаз. любая ф-ция, которая получается из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной.

Т(о существовании и единственности решения д/у I порядка):Если в д/управая частьи частная производнаяявл-ся непрерывной вD, содержащую искомую (.)М(х00)D, то, и при том единственное решение этого урав-я, которое удовлетворяет начальному условию:при.

Виды уравнений:

1) Уравнения с разделёнными переменными. Уравнения видаP(x) dx + Q(y) dy = 0.

P(x) dx +Q(y) dy = c- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пр:- уравнение с разделяющимися коэффициентами

- общий интеграл.

С точки зрения геометрии получим мн-во окружностей.

2) Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида

, общий интеграл.

Пр:

При такой форме записи общего интеграла решение y= 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постояннуюCкак ln|C1|:Вернёмся к обозначению постоянной интегрированияC; общее решениесодержит частное решениеy= 1 приC= 0.

3) Однородное дифференциальное уравнение I порядка

Ф-ция f(x,y) наз.однородной ф-циейстепени однородностиnотносительно переменныхx,y, если длясправедливо тождество:.

Уравнением наз.однородным д/у, если его правая часть, ф-цияf(x,y) явл-ся однородной ф-цией нулевой степени однородности относительноx,y.

Уравнение наз.однородным д/у I порядка, если ф-цияP(x,y),Q(x,y) – однородные ф-ции одной и той же степени однородности.

Произведём дополнительное преобразование д/у. f(x,y) явл-ся однородной ф-цией нулевой степени однородности, т.к.- любое, возьмём.

Уравнение наз.однородным д/у I порядка, если его правая часть м/б представлена как ф-ция т/о отношения переменныхм/д решения: подстановка,- новая искомая ф-ция.

- ур-ие с раздел. перем.

/

Проинтегрировав, получим общий интеграл содержащий x,t и возвращаемся к прежним переменным.

Пр: 1) ;

Замена:

3) Линейное дифференциальное уравнение I порядка (ур-ия Бернулли)

Линейное д/у I порядканаз. уравнение, где- данные известные ф-ции. Искомая ф-ция у и её производнаяне должны умножаться друг на друга и делится.

Линейное дифференциальное уравнение интегрируется несколькими способами: метод Бернулли и метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение данного урав-я ищется в виде произведения двух ф-ций , пока неизвестных:или. Подставим значения для у ив данное уравнение:

Пр: Приведём данное уравнение к стандартному виду, т.е. разделим на х:

- линейное д/уIпорядка. Ищем общее решение:,

/

/

Ответ:

3. Тема: «Простейшие дифференциальные уравнения».Тип урока: изучение нового материала (урок-практикум).Класс: 11 класс (математического профиля). Учебник: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров. Алгебра и начала анализа.Обучающие:формировать умение решать задачи на дифференцирование и интегрирование;выделить разные виды решения задач, расширить кругозор учащихся.Воспитательные: воспитание внимательности, аккуратности, трудолюбия;воспитание интереса к предмету.Развивающие:развивать коммуникативные способности;развивать креативность мышления; расширить кругозор учащихся.Структура урока:Организационный момент;Сообщение темы урока, постановка целей урока;Объяснение нового материала;Закрепление нового материала (решение практических задач);Подведение итогов урока;Домашнее задание.Психологическая характеристика юношеского возрастаСтабилизация многих физиологических функций, формирование телесной конституции, свойственной взрослому человеку, позволяет юношам и девушкам учувствовать в различных видах производственного труда. Трудовая деятельность способствует обогащению теоретических знаний, полученных во время учебы, расширению кругозора, а главное – формированию качеств необходимых для будущей профессиональной деятельности, для самореализации. Необходимость выбора дальнейшего жизненного пути, избрание той или иной профессии является наиболее важной особенностью этого возраста.Черты личности в юношеском возрасте определяются теми психологическими новообразованиями, которые зарождаются еще в подростковом возрасте: усиление интереса к своей собственной личности, стремление к самостоятельности взрослости; проявление критичности и т.д., но они несколько видоизменятся. У человека основным содержанием деятельности является труд, создание материальных и духовных ценностей. Отношение индивида к виду опосредуется теперь его отношением к обществу и культуре. Отсюда – качественно иное, чем у животных, содержание понятий созревание и подготовка к жизни. Созревание предполагает, таким образом, социализацию, и не может осуществляться вне её и помимо её. Поэтому и переходный возраст это этап развития личности, процесс перехода от зависимого, опекаемого детства, когда ребенок живет по правилам взрослых, к самостоятельной и ответственной деятельности взрослого человека.В психолого-педагогической литературе акцент делается не на физическом развитии, а на смене ведущих форм деятельности. Божович Л.И. определяет старший школьный возраст как юношеский, сосредоточив свое внимание на: развитии мотивационной сферы личности; определение старшеклассников своего места в жизни и внутренней позиции; формировании мировоззрения и его влияния на познавательную деятельность; самосознания и морального сознания.Методический материал:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Дифференциальные уравнения являются одним из самых мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественнонаучного цикла: механики, физики, химии и биологии. Во многих задачах геометрической оптики, геодезии, картографии и других областей естествознания возникает необходимость нахождения кривых по заданным свойствам проведенных к ним касательным. Обычно такие геометрические задачи решаются так же с помощью дифференциальных уравнений.

Билет № 4. Показательная функция.

  • Показательной функцией называется функция у = ах, где а – заданное число, а > 0, а ≠ 1;

  • Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах= аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное.

Основные свойства степени. Пусть a > 0, b > 0, x, x1и x2– любые действительные числа. Тогда

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Свойства показательной функции:

  1. Область определения показательной функции – множество Rвсех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень , где, определена для всех.

  1. Множество значений показательной функции – множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение , гдеа ≠ 1, не имеет корней при любом. По свойству степениэто уравнение не имеет корней, если. То, что это уравнение имеет корень при любомЭто означает, что любая прямая, где, пересекается с графиком показательной функции.

  1. Показательная функция y = axявляется возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.

Разложение в степенной ряд показательной функции

МЕТОДИКА 4. Формы, виды и средства контроля знаний и умений.

Формы контроля знаний и уменийучащихся выделяются в соответствии с формами обучения:

  • массовая (групповая, фронтальная);

  • индивидуальная: фронтальный и индивидуальный опрос, контрольная работа, зачет, экзамен, диктант, сочинение.

Виды контроля:

  1. По конечному результату:

  • пошаговый контроль (за операциями);

  • контроль, связанный с установлением определенных параметров деятельности.

  1. По месту в процессе обучения:

  • текущий (в ходе учения):

  • предварительный;

  • ежедневный;

  • периодический;

  • итоговый по теме;

  • итоговый по курсу обучения.

  1. В новых педагогических технологиях рассматриваются следующие виды контроля усвоения знания и способов деятельности:

  • входной;

  • текущий, или промежуточный;

  • итоговый.

Средства контроля:математический диктант, дидактические материалы, карточки, тесты, перфокарты, таблицы, опорные схемы, задания с печатной основой; кодоскоп, модели и приборы и т.д.

Задания для организации контроля на основе технологического подхода.

Входной контроль

Вариант №1

Инструкция: подчеркните ответ «да», если вы согласны с данным утверждением; если не согласны – «нет».

Текст задания.

  1. Показательное уравнение имеет вид: ах= b. (да, нет)

  2. Область значения функции y = ax– множество натуральных чисел. (да, нет)

  3. При любых действительных значениях x и y справедливо равенство: (ax)y= ax+y (да, нет)

  4. Функция y = axвозрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. (да, нет)

  5. Уравнение ах= b не имеет решений в случае b > 0 или b ≠ 0. (да, нет)

Эталон ответа: да, нет, нет, да, нет.

Вариант №2

Инструкция:заполните пропуски так, чтобы получилось верное утверждение.

Текст задания.

  1. Функция, заданная формулой y = ax(где a > 0, a ≠ 1), называется показательной функцией с _________________ а.

  2. Область определения показательной функции – множество ___________________ чисел.

  3. Уравнение ах= b при любом положительном a, отличном от 1, и b > 0 имеет _______________________корень.

  4. = …

  5. Показательная функция пересекает ось OY в точке с координатами _____.

Эталон ответа: 1 - основанием а; 2 – действительных; 3 – единственный; 4 - ; 5 - (0; 1).

Текущий контрольпо теме «Показательные уравнения»

Решите уравнения:

  1. 9х– 43х+ 3 = 0;

Итоговый контрольиспользован для проведения контрольной работы. (см. фрагмент урока)

Фрагмент урока на этапе контроля.

Тема: «Показательная функция».

Цели урока: Обучающая – выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме «Показательная функция»;

Развивающая – развитие памяти, мышления;

Воспитательная – воспитывать интерес к математике.

Тип урока: урок проверки и контроля знаний и умений.

Структура урока

  1. Организационный момент (1 мин)

  2. Подготовка к контрольной работе (3 мин)

  3. Контрольная работа (35 мин)

IV.Подведение итогов урока (1 мин)

Ход урока

III. Контрольная работа.

Контрольная работа является итоговым контролем по теме «Показательная функция». Работа состоит из 2 вариантов. Задания записаны на доске.

Вариант 1

Вариант 2

1.

Постройте график функции:

y = 3x– 1

y = 2 – 5x

2.

Решите графически уравнение:

2= 3х + 10

31-х= 2х – 1

3.

Решите уравнение:

42х-6– 17 · 4х-3+ 16 = 0

52х+10– 6 · 5х+5+ 5 = 0

4.

Решите неравенство:

5.

Решите систему уравнений:

6.

Решите уравнение:

24х- 310х- 525х= 0

49х+ 12х- 316х= 0


Билет № 5.«Логарифмическая функция».

Пусть даны два числовых мн-ва Xи У, и задано некоторое отобр-иеf. Если каждому элементусоответствует единственное значениеи при этом каждому значению у поставлено в соответствие единственное зн-ие х, то говорят, что между мн-вами Х и У установлено ВОС, кот-ое и наз-сяфункцией.

Ф-ция, заданная формулой у=(a>0,a≠1,x>0), называетсялогарифмической ф-циейс основанием а.

Основные св-ва логарифмической ф-ции:

10. Обл. определения – множествоR+положительных чисел. (0; +∞)

20.Обл. значений – мн-во всех действительных чисел.(-∞; +∞)

30.Приa>1ф-ция возрастает на всей обл. определения; при 0<a<1 ф-ция убывает.

Док-во:

Рассмотрим, a>1 - ф-ция возрастает. Пусть х1и х2– произвольные положительные числа и х1< х2. Надо доказать, чтоПредположим противное, что(*) Т.к. показательная ф-ция у=ахвозрастает приa>1, то из неравенства (*) →(**) , но по опр. логарифмат.е. неравенство (**) означает, что х1≥ х2, а это противоречит предположению. Аналогично для убывающей.

40.График лог. ф-ции проходит ч/з точку (1; 0).

у=, a>1 у=, 0<a<1

50. Знакопостоянство: еслиa>1, то у>0, х(1; +∞) и у<0,x(0; 1);

если 0<a<1, то у>0, х(0; 1) и у<0,x(1; +∞).

60. Логарифмическая ф-ция у=и показательная ф-ция у=ах, гдеa>0,a≠1, взаимно обратны. Их графики, имеющие одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х.

Основные св-ва логарифмов:

10.

20.

30.

40.

Док-во: (логарифм произведения равен сумме логарифмов)

Воспользуемся основным лог. тождеством: . Перемножая почленно эти равенства, получаем:следовательно, по опр. логарифма

50.

60.- формула перехода от одного основания к другому

70.(b>0,a>0,a≠1)- основное лог. тождество.

Логарифмическая ф-ция непрерывна и является дифференцируемой, т.е. её можно разложить в степенной ряд. Т.к. ф-ция непрерывна в точке х=0 и её произведения в этой точке не существует, то рассмотрим ф-цию. Рассмотрим ряд Тейлора:, это частный случай, когда х0=0 (ряд Макларена).

;

МЕТОДИКА 5. Методы мотивации изучения темы:

Необходимое условие для создания у учащихся интереса к содержанию обучения и к самой учебной деятельности — возможность проявить в учении умственную самостоятельность и инициативность. Чем активнее методы обучения, тем легче заинтересовать ими учащихся. Основное средство воспитания устойчивого интереса к учению — использование таких вопросов и заданий, решение которых требует от учащихся активной поисковой деятельности.

•Большую роль в формировании интереса к учению играет создание проблемной ситуации, столкновение учащихся с трудностью, которую они не могут разрешить при помощи имеющегося у них запаса знаний; сталкиваясь с трудностью, они убеждаются в необходимости получения новых знаний или применения старых в новой ситуации.. Интересна только та работа, которая требует постоянного напряжения. Легкий материал, не требующий умственного напряжения, не вызывает интереса. Преодоление трудностей в учебной деятельности — важнейшее условие возникновения интереса к ней. Трудность учебного материала и учебной задачи приводит к повышению интереса только тогда, когда эта трудность посильна, преодолима, в противном случае интерес быстро падает.

Учебный материал и приемы учебной работы должны быть достаточно (но не чрезмерно) разнообразны. Разнообразие обеспечивается не только столкновением учащихся с различными объектами в ходе обучения, но и тем, что в одном и том же объекте можно открывать новые стороны. Один из приемов возбуждения у учащихся познавательного интереса — «отстранение», т. e. показ учащимся нового, неожиданного, важного в привычном и обыденном. Новизна материала — важнейшая предпосылка возникновения интереса к нему. Однако познание нового должно опираться на уже имеющиеся у школьника знания. Использование прежде усвоенных знаний — одно из основных условий появления интереса. Существенный фактор возникновения интереса к учебному материалу - его эмоциональная окраска, живое слово учителя.

Эти положения, сформулированные С. М. Бондаренко, могут служит определенной программой организации учебного процесса, специально направленной на формирование интереса.

Основные типы математических задач по теме

- найти область определения функции;

- построить график функции;

- найти область значения функции;

- найти промежутки знакопостоянства функции;

- исследовать функцию и построить ее график;

- найти наибольшее и наименьшее значение функции;

- найти значение выражения.

Типичные ошибки и затруднения изучения темы

Математические ошибки:

  • вычислительные ошибки: при решении уравнений и неравенств, при нахождении значений функции, при действиях со степенями;

  • логические ошибки: в выполнении тождественных преобразований, в использовании свойств логарифмов, при определении понятий, при выводе формул;

  • графические ошибки: при построении графиков функций (не учитывают свойства функций); неправильно применяют преобразование графиков.

3. методы и приемы работы учащихся с учебником математики в соответствии с возрастными особенностями учащихся.

В 5-6 классах используют следующие методы работы с учебником:

1. чтение правил, определений, формулировок теорем учащимися после объяснения учителя

2. чтение вслух учителя ученикам с выделением главного и существенного

3. работа с формулами и иллюстрациями на обложке учебника

4. чтение учебника учащимися и ответы на вопросы учителя

В 7-8 классах добавляются следующие методы работы с учебником:

1. чтение текстов после их объяснения учителем

2. чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы

3. чтение текста из учебника учащимися и запись основных предложений темы по плану, предложенному учителем

В 9 – 11 классах ко всему предложенному добавляется:

1. разбор примеров учащимися в учебнике, после объяснения темы учителем

2. чтение текста учащимися и запись опорного конспекта по данному тексту

3. чтение текста учебника и самостоятельное составление учащимися плана по данному тексту.

4. чтение текста учебника и ответ учащегося по самостоятельно составленному плану

Фрагмент урока изучения новой темы: «Логарифмическая функция».

Цели урока:

Образовательные: обеспечить в ходе урока усвоения понятия логарифмическая функция, формировать умения определять свойства логарифмических функций, формировать умение изображать графики логарифмической функции.

Развивающие: способствовать развитию мышления, восприятия, памяти, воображению, внимания.

Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: аккуратность, настойчивость, трудолюбие.

Тип урока: изучение нового материала

Структура урока:

  1. организационный момент

  2. постановка целей урока

  3. проверка домашнего задания

  4. подготовка к изучению нового материала

  5. изучение нового материала

  6. первичное закрепление и осмысление нового материала

  7. постановка домашнего задания

  8. подведение итогов урока.

Действия учителя

Действия учеников

ответьте на вопрос

1. что называется функцией?

2. какие функции вы узнали в этом году?

3. какие свойства функций вы знаете?

4. что называется графиком функции?

Сегодня мы изучим новую функцию логарифмическую. Когда мы изучали показательную функцию, мы оформляли ее свойства в таблицу. Сейчас я предлагаю открыть вам страницу 98 в ваших учебниках прочитать параграф 18 и записать в тетрадях опорный конспект по плану предложенному на доске. Опорный конспект вы будите оформлять так же, как оформляли при изучении показательной функции.

План опорного конспекта.

  1. определение логарифмической функции

  2. свойства логарифмической функции оформите в таблицу.

0 < a< 1

a> 1

Область определения

Область значений

Непрерывность

Возрастание и убывание функции

А теперь к доске я приглашаю одного человека который оформит правильно конспект на доске.

  1. Числовой функцией с областью определении Dназывается соответствие, при котором каждому числу х из множестваDсопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

  2. степенная, показательная.

  3. Область определения, область значений, непрерывность, возрастание, убывание функции.

  4. Графиком функции fназывают множество всех точек (х; у) координатной плоскости, гдеy=f(x), а х «пробегает» всю область определения функцииf.

Ответы: Функцию, заданную формулой у=logах, где а>0, а≠0 называют логарифмической функцией с основанием а.

0 < a < 1

a > 1

Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R+, т.е.D(log)=R+.

Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел

Непрерывна на все области определения

убывает (при 0<а<1).

возрастает

Билет № 6.«Тригонометрические функции».

Синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями.

Опр. Ф-ции, заданные формуламиy=sinxиy=cos x, называются соответственносинусомикосинусом.

Св-ва синуса и косинуса:

  1. D(y)=(-∞;+∞).

  2. E(y)=[-1;1].

  3. y=cosx– чётная ф-ция, т.е.cos(-x)=cosx

y=sinx– нечётная ф-ция, т.е.sin(-x)= -sinx

  1. y=sinxиy=cosxявл-ся периодическими и наименьший положительный период равен.

cos (x+)= cos x, sin (x+)= sin x (nz).

Док-во:

Пусть Т – произвольный положительный период косинуса, то при любом α.

Полагая, что , находимНаименьшее положительное число Т, для которогоcosx=1, есть.

Пусть Т – произвольный положительный период синуса, то

Полагая, что , находимНоsinx=1 только при. Поэтому Т=2. Наименьшее положительное число 2есть.

5)y=sinxвозрастает наи убывает на

y=cosxвозрастает наи убывает на

6)графики:

y=sin x y=cos x

Опр. Ф-ции, заданные формуламиy=tgxиy=ctg x, называются соответственнотангенсомикотангенсом.

Св-ва тангенса и котангенса:

1.)D(tg) все числа х для которыхcosx≠0, т.е. х≠(nz).

D(сtg) все числа х для которыхsinx≠0, т.е. х≠(nz).

2.)E(y) – вся числовая прямая.

3.)y=tgxиy=сtgx– нечётные ф-ции, т.е.tg(-x)= -tgх; сtg(-x)= - сtgх;

4.)y=tgxиy=сtgxявл-ся периодическими и наименьший положительный период равен.

tg (x+)= tg x, сtg (x+)= сtg x (nz).

Док-во:

Пусть Т – произвольный положительный период тангенса, то . Т.к. на интервалетангенс нулей не имеет,. А- это период ф-ции тангенс и значит- это наименьший положительный период тангенса. Дляy=сtgxдок-во аналогичное.

5.)y=tgxвозрастает на, аy=сtgxубывает на.

6.)графики:

y=tgxy=сtgx

Ф-ции синус и косинус непрерывны на всей обл. определения, а значит дифференцируемы. Рассмотрим разложения функций в степенной ряд.

f(x)=sinx

Рассмотрим ряд Тейлора: , это частный случай, когда х0=0 (ряд Маклорена).

y=cosxразлаживается аналогично:

МЕТОДИКА 6. Фрагмент урока изучения нового материала

Цели урока:

Обучающая– ввести определения тригонометрических функций и научить строить их графики;

Развивающая – развитие познавательных процессов, общеучебных умений;

Воспитательная– воспитание интереса к математике, аккуратность.

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.«Давайте вспомним:

Что такое функции? (из курса алгебры 9 кл)

Будет ли функцией y=sinx и y=cosx ?

2. Тема урока: Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx.

Кратко рассказывает о работе на данном уроке.

3. Объяснение нового материала, а именно:

- определение единичной окружности;

- определение функций синус и косинус;

- область определения функций y=sinx, y=cosx;

- область значений функций синус и косинус;

- чётность и нечётность функций;

- периодические функции;

- промежутки, на которых функция принимает положительные значения;

- промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения;

- наибольшее значение, равное 1;

- наименьшее значение равное -1.

4. Строим график функции синус на отрезке [0;2п].

График синуса называется синусоидой.

Строим график функции косинус, используя

cosx = sin(x+п/2). (параллельный перенос графика синус на расстояние п/2 в отрицательном направлении оси ОХ, рис.9).

5. Построить график функции:

1) y=3sinx

2) y=(1/2) sinx

Слушают, отвечают на вопросы, работают с учителем.

Слушают учителя.

Слушают, делают записи в тетрадях, работают с учителем по учебнику.

Строят графики в тетрадях с помощью линейки и карандаша.

Занимаются решением и построением графика.

Средства наглядности: таблицы, мультимедийный проектор, компьютер.

Создание проблемной ситуации (например: Как построить функцию?).

Билет № 7. «Производная».

Рассмотрим на мн-ве Х ф-цию у=f(x), выберем внутреннею (.)х0этого мн-ва (т.е. еслитакая окрестность (.)х0, которая целикоммн-ву Х) и найдём. Дадим х0приращение, получим новое значение аргумента, вычислим. Составим разность, которую назовём приращением ф-ции и обозначим:.Составим отношение приращения ф-ции к приращению аргумента и вычислим предел отношенияпри

Производной ф-цииу=f(x)в (.) х0наз. конечный предел отношения приращения ф-ции к вызвавшему его приращению аргумента, приТ.е..

Если приращение ф-ции в (.)х0м/б представлено в виде, то ф-циюу=f(x)наз. дифференцируемойв (.) х0, где- это число не зависящее от(производная),- это бесконечно малая величинапри

Выражение наз.дифференциалом ф-цииу=f(x)в (.) х0. или, где- приращение независимой переменной.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]