- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Азы теории чисел
- •§ 1. Деление целых чисел с остатком
- •5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- •Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- •Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- •Перевод числа из одной системы счисления в другую
- •Арифметические действия в позиционных системах счисления
- •§ 2. Деление целых чисел нацело
- •Свойства делимости нацело
- •§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- •Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- •§ 4. Алгоритм Евклида
- •Расширенный алгоритм Евклида
- •§ 5. Взаимно простые числа
- •Простейшие свойства взаимно простых чисел
- •§ 6. Простые числа
- •Простейшие свойства простых чисел
- •§ 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- •О распределении простых чисел
- •§ 8. Язык сравнений
- •Свойства сравнений
- •§ 9. Функция Эйлера
- •§ 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 11. Признаки делимости
- •§ 12. Принцип Дирихле
- •Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- •§ 1. Линейные диофантовы уравнения
- •§ 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- •§ 5. Пифагоровы тройки
- •§ 6. Уравнение Ферма-Пелля
- •Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- •§ 1. Великая теорема Ферма
- •§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- •§ 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- •§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- •§ 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- •§ 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- •Глава IV. Задача о счастливых билетах
- •§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
Описанный выше алгоритм нахождения q-чных цифр на практике реализуют в виде последовательного деления в столбик.
П
_5709 |9
54 _634|9
_ 30 63 – 70
|9
27 4 63
7
_ 39 7
36
3
Оформим вышеописанный процесс в виде деления в столбик: 5709 = 77439 .
Перевод числа из десятичной системы счисления в произвольную q-чную легко программируется: все вычисления осуществляются в одном цикле.
Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
Если k = ()q , то k = anqn + an–1qn–1 + … + a1q + a0 = = ((…((anq + an–1)q + an–2)q … )q + a1)q + a0 . Таким образом, процесс нахождения десятичной записи числа k можно организовать рекуррентно, полагая (n–1 i 0). Записывая каждое si в десятичной системе счисления, в результате получим десятичную запись числа k = s0 . Описанный выше процесс вычислений называется схемой Горнера.
Пример: Найти десятичную запись числа 1С8D16 . Оформим процесс вычислений по схеме Горнера в виде таблицы:
i |
3 |
2 |
1 |
0 |
ai |
1 |
12 |
8 |
13 |
si |
1 |
28 = 116+12 |
456 = 2816+8 |
7309 = 45616+13 |
Таким образом, 1С8D16 = 730910 .
Следует отметить, что схему Горнера можно применять для вычисления любых полиномиальных выражений вида anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 , где ai (0 i n) и x – числа, матрицы и другие математические объекты, которые можно складывать и умножать.
Перевод числа из одной системы счисления в другую
В общем случае, для перевода числа из p-ичной системы счисления в q-чную вначале переводят его из p-чной системы в десятичную, а полученный результат затем переводят в q-чную систему счисления.
Вычисления упрощаются, если основание одной системы счисления равно некоторой степени основания другой системы. Так, если p = qs, то для перевода числа k = anqsn + an–1qsn–1 + … + a1qs + a0 в q-ичную систему достаточно перевести в эту систему каждую цифру ai , найдя её разложение ai = bi s–1qs–1 + … + bi 1q + bi 0 по степеням q, и записать искомый результат k = , отбросив незначащие нули в старших разрядах.
Примеры: 1. (24)527 = 2427 + 5 = (232 + 23 + 0)33 + (032 + 13 + 2) = = 235+234+033+032+13+2 = 2200123 .
2. AC0F16 = (24 + 2)46 + (34)44 + (34 + 3) = 247 + 246 + 345 + 044 + + 043 + 042 + 34 + 3 = 223000334 = (10)(10)(11)(00)(00)(00)(11)(11)2 = = 10101100000011112 .
Если же q = ps , то цифры числа k = нужно разбить, двигаясь справа налево, на группы поs цифр в каждой и полученные p-чные числа рассматривать в качестве цифр данного числа в q-чной системе счисления.
Пример: 101011100102 = 010.101.110.0102 = 25628 = 0101.0111.00102 = = 57216 = (01)(01)(01)(11)(00)(10)2 = 1113024 .