Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Th_Numb+Combi (2).doc
Скачиваний:
171
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
2.43 Mб
Скачать

§ 5. Взаимно простые числа

Целые числа а1 , … , ап (n 2), не равные одновременно нулю, назовём взаимно простыми (в совокупности), если НОД(а1 , … , ап) = 1, и попарно взаимно простыми, если для любых i j (1 i, j n) выполнено условие НОД(аi , aj) = 1. В случае п = 2 эти понятия совпадают, но различны в общем случае, как показывает следующий пример:

Пример: Числа 2, 3, 4 взаимно просты в совокупности (т.к. (2, 3, 4) = = ((2, 3), 4) = (1, 4) = 1), но не попарно взаимно просты ((2, 4) = 2 1).

Простейшие свойства взаимно простых чисел

10. Если D = НОД(а1 , … , ап), то целые числа , … ,взаимно просты в совокупности.

В самом деле, если ai = Dbi (1 i n), то числа b1 , … , bn не могут иметь неединичного положительного общего делителя (?!), т.е. являются взаимно простыми в совокупности.

20. Целые числа а1 , … , ап взаимно просты в совокупности тогда и только тогда, когда существуют целые числа х1 , … , хп со свойством а1х1 + … + апхп = 1.

Действительно, если числа взаимно просты в совокупности, то можно записать линейное разложение НОД(а1 , … , ап) = 1 = а1х1 + … + апхп .

Обратно, если существуют целые числа х1 , … , хп с указанным свойством а1х1 + … + апхп = 1, то любой общий делитель а1 , … , ап очевидно делит 1, так что НОД(а1 , … , ап) = 1.

Из свойства 20 легко вывести следующие два свойства:

30. Целые числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числа х, у со свойством ах + by = 1.

40. Целые числа а1 , … , ап попарно взаимно просты тогда и только тогда, когда для любых i < j (1 i, j n) существуют целые числа x , y со свойствами аiх + ajy = 1.

50. Для целых чисел a, b, т следующие два условия эквивалентны:

  1. а взаимно просто с т и b взаимно просто с т,

  2. произведение аb взаимно просто с т.

(1) (2) По свойству 30 найдутся целые числа х, у, u, v со свойствами ax + my = 1, bu + mv = 1. Перемножая эти равенства получим:

1 = (ax+my)(bu+mv) = (ab)xu + m(axv + byu + myv),

что и требовалось.

(2) (1) Если abx + my = 1, то это равенства показывает ввиду свойства 30, что а взаимно просто с т и b взаимно просто с т.

60. Для целых чисел a1 , … , ап , т следующие два условия эквивалентны:

  1. каждое число аi взаимно просто с т (1 i n),

  2. произведение а1an взаимно просто с т.

Это доказывается индукцией по п. Базу индукции (п = 2) обеспечивает свойство 50. Предположим, что эквивалентность условий уже доказана для п = k 2 и докажем её для п = k + 1. Имеем

(каждое число аi взаимно просто c m (1 i k+1))

i взаимно просты с т (1 i k) и ak+1 взаимно просто с т)

1ak взаимно просто с т и ak+1 взаимно просто с т)

(произведение (а1ak)ak+1 взаимно просто с т),

что и требовалось доказать.

70. Если целые числа a и b взаимно просты, то

с Z a | bc a | c.

В самом деле, если bc = аd, то учитывая существование целых чисел х, у со свойством ах + by = 1, получим

с = аcx + bcy = аcx + ady = a(cx + dy).

Обратная импликация очевидна.

Это свойство часто используется в теоретико-числовых рассуждениях, с его помощью можно, например, сократить доказательства некоторых свойств делимости нацело. Поэтому будем его называть основным свойством взаимно простых чисел.

Упражнения: 1. Проанализируйте доказательства свойств делимости нацело и упростите некоторые из них, применив свойство 70.

2. Докажите, что если квадрат некоторого натурального числа раскладывается в произведение попарно взаимно простых множителей, то каждый из них является квадратом подходящего натурального числа.

3. Докажите, что если D = НОД(а, b), то п N Dn = НОД(аn, bn).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]