Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Th_Numb+Combi (2).doc
Скачиваний:
171
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
2.43 Mб
Скачать

§ 6. Простые числа

Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два различных между собой натуральных делителя: 1 и p. Натуральное число, большее единицы, называется составным, если оно не является простым.

Примеры: 1. 2, 3, 5, 37, 101 – простые числа,

2. 4, 6, 8, 9, 123, 1024 – составные числа,

3. числа –7, –128, –1024 – не являются ни простыми, ни составными,

4. числа 0, +1, –1 – не являются ни простыми, ни составными.

Таким образом, любое натуральное число либо равно единице, либо является простым, либо – составным. Аналогично, множество всех целых чисел разбивается на пять непересекающихся подмножеств – множество всех простых чисел, множество всех составных чисел, множество чисел противоположных простым, множество чисел противоположных составным и множество {–1, 0, +1}.

П

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 2, …

1, 2, 2, …

1, 0, …

1, …

ростые числа обладают многими удивительными и загадочными свойствами. В качестве примера упомянем следующую, ещё не решённую задачу.Рассмотрим бесконечную таблицу чисел слева.В ней первая строка состоит из последовательных простых чисел, а числа остальных строк получены из стоящих непосредственно слева и справа над ними взятием модуля разности. Верно ли, что в начале каждой строки первой будет стоять единица ?

Простейшие свойства простых чисел

10. Если р простое число, то

а Z НОД(p, а) > 1 НОД(p, а) = p p | a.

Действительно, если D = НОД(p, а) > 1, то D {1, p} \ {1} = {p}, т.е. D = p. Остальные импликации очевидны.

Из свойства 10 непосредственно вытекают следующие три свойства:

20. Если р простое число, то а Z НОД(p, а) = 1 p a.

30. Если р и q – два простых числа, то НОД(p, q) > 1 p = q p | q.

40. Различные простые числа взаимно просты.

50. Простое число делит произведение двух целых чисел в том и только том случае, когда оно делит один из сомножителей.

Действительно, сформулированное утверждение эквивалентно (?!) следующему: простое число не делит произведение двух целых чисел в том и только том случае, когда оно не делит ни один из сомножителей. Для его доказательства используем доказанные ранее свойства простых и взаимно простых чисел:

pab (p, ab)=1 ((p, a) = 1) ((p, b) = 1) (p a) (p b).

60. Натуральное число п > 1 является простым тогда и только тогда, когда оно не делится ни на одно простое число 2 р .

Очевидно, что если n простое, то оно не делится ни на одно простое число 2 р . Докажем обратное: если n не делится ни на одно простое число 2 р , то оно простое.

Это очевидно для n = 2. Рассуждая от противного, предположим, что доказываемое утверждение не верно для некоторого n > 2 и выберем наименьшее n с этим свойством. Тогда число n не простое, хотя и не делится ни на одно простое 2 р . Таким образом, n = n1n2 для некоторых натуральных чисел п1 , n2 (1 < n1 n2 < n). При этом число п1 не делится ни на одно простое число р , а тем более, ни на одно простое 2 р . Для n1 доказываемое утверждение верно (т.к. n1 < n), и значит, п1 – простое число, на которое делится п . Поэтому п1 > , однако это приводит к противоречию: п = n1n2 n12 > ()2 = п .

Таким образом, предположение о том, что число п составное было неверным, и свойство 60 доказано.

Теорема (основная теорема арифметики). (1) Любое натуральное число n > 1 однозначно записывается в виде произведения: n = , где k N, i N, p1 < … < pk – простые числа.

(2) Любое целое число n, большее 1 по модулю, однозначно записывается в виде n = , где {–1, +1}, k N, i N, p1 < … < pk – простые числа.

Указанные произведения (со знаком или без него) степеней простых чисел называются каноническими разложениями натурального или целого числа n соответственно.

Доказательство. Прежде всего, (2) следует из (1): любое целое число n однозначно записавается в виде n = |n|, где знак {–1, +1} совпадает со знаком числа n, причём в силу (1), |n| = .

(1) Докажем вначале существование канонического разложения. Если n – простое число, то n = n1 – каноническое разложение числа n. Рассуждая от противного, предположим, что для некоторого n N , n > 1 не существует канонического разложения, и выберем наименьшее такое число n .

Ввиду предыдущих рассмотрений n > 1 не простое, значит, n – составное и n = n1n2 для некоторых натуральных чисел n1 , n2 , больших 1, но меньших n. Поэтому у множителей n1 и n2 существуют канонические разложения: n1 = , n2 = , гдеi , j N0 и различным индексам соответствуют различные простые числа (при этом с нулевыми показателями степеней могут участвовать лишь общие для п1 и п2 простые числа р1 , … , рs). Тогда

n = ,

а каноническое разложение числа n получится, если в этом произведении переставить некоторые сомножители, упорядочив простые числа по возрастанию, и отбросить множители с нулевыми показателями степеней. Итак, существование канонического разложения доказано.

Примеры: 1. Найти каноническое разложение числа 11655.

Последовательно проверяем, делится ли данное число на простые числа pi (2 pi = 107,…), получая в случае деления частное ni и сокращая верхнюю границу простых чисел до . Результат оформляем в виде таблички:

ni

11655

3885

1295

259

37

1

pi

3

3

5

7

37

107,…

62,…

35,…

16,…

6,…

stop

Итак, 11655 = 325171371.

  1. Найти каноническое разложение числа 399.

ni

399

133

19

1

pi

3

7

19

19,…

11,…

4,…

stop

Таким образом, 399 = 3719.

3. Простое ли число 101 ?

Проверяем его делимость на простые из интервала 2 p 10, … , т.е. на простые p = 2, 3, 5, 7. Ясно, 101 не делится на эти простые, а значит, само является простым числом.

С вычислительной точки зрения рассмотренный процесс разложения числа n в произведение простых очень трудоёмок: он сводится к перебору простых чисел, не превосходящих . Хотя есть более быстрые алгоритмы решения этой задачи, но принципиально эта трудность непреодолима – задача разложения числа на множители относится к классу так называемых NP-полных задач, для которых не найдено хороших алгоритмов решения. Например, существует 155-значное число, которое было разложено на множители только после семи месяцев интенсивных вычислений на самых современных компьютерах. Поэтому раскладывать в произведение, например, 1000-значные числа – почти всегда дело безнадёжное (разложите, тем не менее, число 101000000).

Следствие 1 (о делителях числа). Если a = ±– каноническое разложение целого числаa, то любой делитель d | a имеет вид d = ±, где 0 si i (1 i k).

Доказательство. Ясно, что любое число d = ± является делителем числа a = ±.

С другой стороны, если d | a и d = ±каноническое разложение, то простые числа pk+1 , … , pm в этом разложении на самом деле отсутствуют, т.к. в противном случае должны были бы присутствовать и в каноническом разложении числа a. Значит, d = ±. При этом | a, а значит, 0 si i (1 i k).

Следствие 1 доказано.

Следствие 2 (о количестве натуральных делителей). Количество натуральных делителей целого числа a = ±равно

(a) = (1 + 1)(k + 1).

Доказательство. Каждый натуральный делитель равен d = , где 0 si i (1 i k), и полностью определяется набором (s1 ; … ; sk). Таким образом, соответствие d = (s1 ; … ; sk) является взаимно однозначным, и остаётся только подсчитать количество всех таких наборов. Каждая i-я позиция такого набора может быть заполнена i + 1 способом, т.к. 0 si i . По принципу умножения получаем, что всего возможностей образования наборов равно (1 + 1)(k + 1).

Следствие 2 доказано.

Следствие 3 (о наибольшем общем делителе и наименьшем общем кратном). Для любых целых чисел a = ±, b =±, гдеi , i N {0}, p1 < … < pk – простые, имеют место равенства

НОД(a, b) = , где i = min{i , i},

НОК[a, b] = , где i = max{i , i}.

Доказательство. Ясно, что число D = , где i = min{i , i}, является общим делителем чисел a, b. С другой стороны, если число d – произвольный положительный общий делитель a и b , то по следствию 1 имеем d = , где 0 si i и 0 si i , т.е. 0 si i (1 i k). Следовательно, d D, и Dнаибольший общий делитель чисел a, b.

Для наименьшего общего кратного имеем НОК[a, b] = = =, причём i + ii = i для всех 1 i k. Последнее равенство очевидно: min{, } + max{, } – min{, } = = max{, }.

Следствие 2 доказано.

Упражнения: 1. Проанализируйте детально доказательства следствий и восполните все пробелы.

2. Выведите аналогичные формулы для НОД и НОК произвольного количества ненулевых целых чисел.

3. Чему равно количество общих натуральных делителей n чисел ? А целых ?

4. Чему равна сумма всех общих натуральных делителей n чисел ? А целых ?

Следствие 4 (о разложении степени на взаимно простые множители). Если произведение a1a2ak попарно взаимно простых натуральных чисел a1 , … … , ak является n-й степенью некоторого целого числа, то каждый сомножитель ai является n-й степенью подходящего натурального числа.

Доказательство. Если sn = a1a2ak , то раскладывая в произведение простых множителей числа s, a1 , … , an и замечая, что ввиду взаимной простоты, в разложениях ai и aj нет одинаковых простых (1 i < jk), получим, что любое простое число, входящее в разложение произвольного множителя ai , имеет тот же показатель степени, что и в разложении для sn. Таким образом, любое простое число в разложении каждого множителя участвует с показателем степени, делящимся на n, – т.е. каждый множитель является n-й степенью натурального числа.

Следствие 4 доказано.

Упражнения: 1. Справедливо ли следствие 4, если множители ai (1 ik), предполагаются целыми, а не натуральными ?

2. Как нужно изменить формулировку, чтобы следствие 2 оставалось верным и для целых множителей ?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]