§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент

Рассмотрим функцию , где для удобства считаем ₀^s = 0. Умножая приведённое выше рекуррентное соотношение на x^m+1 , получим

.

Отсюда, суммируя по всем m  1, находим

,

т.е. , или.

Очевидно, что f_s-d(x)  0 при s < d, f₀(x) = x + x² + … = , , f₁(x) = (f₀(x) + 1) = . Поэтому при 1  k  8 имеем два равенства:

Вычитая из второго первое, получим f_k+1(x) – f_k(x) = f_k(x), т.е.

f_k+1(x) = f_k(x),

откуда f_k(x) = при 0  k  9.

Далее,

При k > 9 имеем

f_k(x) = (f_k–1(x) + f_k–2(x) + … + f_k–8(x) + f_k–9(x)),

f_k+1(x) = (f_k(x) + f_k–1(x) + … + f_k–7(x) + f_k–8(x)),

откуда после вычитания получаем f_k+1(x) – f_k(x) = (f_k(x) – f_k–9(x)), т.е.

f_k+10(x) = (f_k+9(x) – xf_k(x)) (k = 0, 1, 2, …).

В частности, при k = 1 получим

f₁₁(x) = (f₁₀(x) – xf₁(x)) =

При k = 2:

f₁₂(x) = (f₁₁(x) – xf₂(x)) =

При k = 3:

f₁₃(x) = (f₁₂(x) – xf₃(x)) =

Ясно, что при 1  k  9 верны те же вычисления:

Далее, f₂₀(x) = (f₁₉(x) – xf₁₀(x)) =

= ,

f₂₁(x) = (f₂₀(x) – xf₁₁(x)) =

= ,

f₂₂(x) = (f₂₁(x) – xf₁₂(x)) =

f₂₃(x) = (f₂₂(x) – xf₁₃(x)) =

f₂₄(x) = (f₂₃(x) – xf₁₄(x)) =

Если k = 102 + r (0  r  9), то

.

В частности, .

Далее, f₃₀(x) = (f₂₉(x) – xf₂₀(x)) =

f₃₁(x) = (f₃₀(x) – xf₂₁(x)) =

f₃₂(x) = (f₃₁(x) – xf₂₂(x)) =

При этом

Таким образом,

Итак,

= 3231297 – 61171918 + 24495 = 201376 – 158004 + 11880 = 55252.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Арнольд В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2001.

2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1985.

3. Бугаенко В.О. Уравнения Пелля. – М.: МЦНМО, 2001.

4. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.

5. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.

6. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983.

7. Дынкин Е.Б., Успенский В.А. Математические беседы. – М.: “Физматгиз”, 1952.

8. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: Наука, 1965.

9. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика ? – М. Просвещение, 1967.

10. Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1967.

11. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: “Физматгиз”, 1962.

12. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – М.: “Физмат­гиз”, 1961.

13. Савин А.П., Финк Л.М. Разговор в трамвае. // Квант. 1975. № 7, С. 67-70.

14. Серпинский В. Сто простых и одновременно трудных вопросов арифметики. – М.: “Физматгиз”, 1961.

15. Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.

16. Финк Л.М. Ещё раз о счастливых билетах // Квант. 1976. № 12, С. 68-70.

17. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

18. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. – М.: Наука, 1976.

19. Эдвардс Э. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М. Мир, 1980.

20. Mason R.C. Diophantine Equations over Function Fields // London Math. Soc. Lecture Note Series, Vol. 96, Cambridge University Press, 1984.

21. Stothers W. Polynomial identities and hauptmoduln. Quart. Math. Oxford (2) 32 (1981), pp. 349–370.

141