Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Th_Numb+Combi (2).doc
Скачиваний:
100
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
2.43 Mб
Скачать

§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент

Рассмотрим функцию , где для удобства считаем 0s = 0. Умножая приведённое выше рекуррентное соотношение на xm+1 , получим

.

Отсюда, суммируя по всем m 1, находим

,

т.е. , или.

Очевидно, что fs-d(x) 0 при s < d, f0(x) = x + x2 + … = , , f1(x) = (f0(x) + 1) = . Поэтому при 1 k 8 имеем два равенства:

Вычитая из второго первое, получим fk+1(x) – fk(x) = fk(x), т.е.

fk+1(x) = fk(x),

откуда fk(x) = при 0 k 9.

Далее,

При k > 9 имеем

fk(x) = (fk–1(x) + fk–2(x) + … + fk–8(x) + fk–9(x)),

fk+1(x) = (fk(x) + fk–1(x) + … + fk–7(x) + fk–8(x)),

откуда после вычитания получаем fk+1(x) – fk(x) = (fk(x) – fk–9(x)), т.е.

fk+10(x) = (fk+9(x) – xfk(x)) (k = 0, 1, 2, …).

В частности, при k = 1 получим

f11(x) = (f10(x) – xf1(x)) =

При k = 2:

f12(x) = (f11(x) – xf2(x)) =

При k = 3:

f13(x) = (f12(x) – xf3(x)) =

Ясно, что при 1 k 9 верны те же вычисления:

Далее, f20(x) = (f19(x) – xf10(x)) =

= ,

f21(x) = (f20(x) – xf11(x)) =

= ,

f22(x) = (f21(x) – xf12(x)) =

f23(x) = (f22(x) – xf13(x)) =

f24(x) = (f23(x) – xf14(x)) =

Если k = 102 + r (0 r 9), то

.

В частности, .

Далее, f30(x) = (f29(x) – xf20(x)) =

f31(x) = (f30(x) – xf21(x)) =

f32(x) = (f31(x) – xf22(x)) =

При этом

Таким образом,

Итак,

= 3231297 – 61171918 + 24495 = 201376 – 158004 + 11880 = 55252.

Л И Т Е Р А Т У Р А

  1. Арнольд В.И. Цепные дроби. – М.: МЦНМО, 2001.

  2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1985.

  3. Бугаенко В.О. Уравнения Пелля. – М.: МЦНМО, 2001.

  4. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.

  5. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2009.

  6. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983.

  7. Дынкин Е.Б., Успенский В.А. Математические беседы. – М.: “Физматгиз”, 1952.

  8. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: Наука, 1965.

  9. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика ? – М. Просвещение, 1967.

  10. Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1967.

  11. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: “Физматгиз”, 1962.

  12. Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – М.: “Физмат­гиз”, 1961.

  13. Савин А.П., Финк Л.М. Разговор в трамвае. // Квант. 1975. № 7, С. 67-70.

  14. Серпинский В. Сто простых и одновременно трудных вопросов арифметики. – М.: “Физматгиз”, 1961.

  15. Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.

  16. Финк Л.М. Ещё раз о счастливых билетах // Квант. 1976. № 12, С. 68-70.

  17. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

  18. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. – М.: Наука, 1976.

  19. Эдвардс Э. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М. Мир, 1980.

  20. Mason R.C. Diophantine Equations over Function Fields // London Math. Soc. Lecture Note Series, Vol. 96, Cambridge University Press, 1984.

  21. Stothers W. Polynomial identities and hauptmoduln. Quart. Math. Oxford (2) 32 (1981), pp. 349–370.

141

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]