- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Азы теории чисел
- •§ 1. Деление целых чисел с остатком
- •5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- •Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- •Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- •Перевод числа из одной системы счисления в другую
- •Арифметические действия в позиционных системах счисления
- •§ 2. Деление целых чисел нацело
- •Свойства делимости нацело
- •§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- •Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- •§ 4. Алгоритм Евклида
- •Расширенный алгоритм Евклида
- •§ 5. Взаимно простые числа
- •Простейшие свойства взаимно простых чисел
- •§ 6. Простые числа
- •Простейшие свойства простых чисел
- •§ 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- •О распределении простых чисел
- •§ 8. Язык сравнений
- •Свойства сравнений
- •§ 9. Функция Эйлера
- •§ 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 11. Признаки делимости
- •§ 12. Принцип Дирихле
- •Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- •§ 1. Линейные диофантовы уравнения
- •§ 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- •§ 5. Пифагоровы тройки
- •§ 6. Уравнение Ферма-Пелля
- •Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- •§ 1. Великая теорема Ферма
- •§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- •§ 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- •§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- •§ 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- •§ 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- •Глава IV. Задача о счастливых билетах
- •§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
Свойства делимости нацело
10. Любое ненулевое целое число делится на единицу и на само себя (т.е. a Z \ {0} 1 | a a | а).
Действительно, a Z a = 1a, a = a1.
20. Отношение делимости нацело рефлексивно и транзитивно на множестве ненулевых целых чисел (т.е. a Z \ {0} а | a и а, b, c Z a | b b | c a | c).
В самом деле, рефлексивность доказана в 10, а транзитивность выводится просто: если b = an, c = bm для некоторых целых m, n, то c = a(nm), где nm – целое число, что и требовалось.
30. Отношение делимости нацело антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. a, b N a | b b | a a = b).
Действительно, если b = an, a = bm для некоторых целых m, n, то, во-первых, m, n N, а во-вторых, b = (bm)n = b(mn), т.е. mn = 1, и значит, m = n = 1, что и требовалось.
50. Отношение делимости нацело не антисимметрично на множестве целых чисел, но a, b Z a | b b | a (a = b) (a = –b).
Действительно, свойство антисимметричности нарушается, т.к. 1 | (–1) и (–1) | 1, но 1 –1. Тем не менее, аналогично предыдущему, если b = an, a = bm для некоторых целых m, n, то b = b(mn), т.е. mn = 1, и либо m = n = 1, либо m = n = –1, что и требовалось доказать.
60. Если a | b , то для любого ненулевого целого c верно a | bc, ac | bc, ac | |bc|, |ac| | bc.
Действительно, если b = an для некоторого целого n, то bc = a(nc), bc = (ac)n, |bc| = ±(ac)n (в зависимости от знака bc), и bc = ±(ac)n (в зависимости от знака ac), что и требовалось.
В частности, получаем
70. Если a | b, то (±a) | (±b) при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.
80. Если a | b1 , … , a | bk , то a | (b1 + … + bk).
В самом деле, если bi = aci для некоторых целых чисел ci (1 ik), то b1+ … +bk = a(c1 + … + ck) и c1 + … + ck – целое, что и требовалось.
90. Если a | b1 , … , a | bk , то для любых целых c1 , … , ck верно a | (b1c1+ …+bkck ) .
Это следствие 60 и 80.
100. Если a 0, b | a, то |b| |a|. В частности у каждого ненулевого целого числа лишь конечное число делителей.
В самом деле, если a = bq (q Z), то |a| = |b||q|, и все числа в этом равенстве натуральные, так что |b| |a|. Таким образом,
b {–|a|, –|a| + 1, … , –1, 1, … , |a| – 1, |a|}
и поэтому у b может быть лишь конечное число значений.
§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Пусть a1 , … , an – целые числа, одновременно не равные нулю. Их общим делителем называется любое целое число d, делящее все указанные числа. Ясно, что модуль |d| любого общего делителя d сам является общим делителем тех же чисел и 1 |d| min{ |ai| Z | ai 0} (ввиду |ai| = |d|qi). Поэтому среди всех положительных общих делителей заданных целых чисел a1 , … , an , существует однозначно определённый наибольший, который называется наибольшим общим делителем этих чисел и обозначается символом НОД(a1 , … , an) или кратко – через (a1 , … , an). Таким образом, число D = НОД(a1 , … , an) полностью характеризуется следующими двумя условиями:
(D1): D | a1 … D | an (D – общий делитель чисел a1 , … , an),
(D2): d Z d | a1 … d | an |d| D (D – наибольший среди положительных общих делителей чисел a1 , … , an).
Примеры: (0, 2) = 2, (4, 6) = 2, (3, 5) = 1, (9, 6, 15) = 3, (0, 0) не определён.
Общим кратным ненулевых целых чисел a1 , … , an называется любое целое число, делящееся одновременно на каждое из указанных чисел. Примерами общих кратных могут служить произведение a1… an и его модуль |a1…an|. Поэтому в конечном множестве {x Z | |x| |a1…an| }, а значит, среди всех общих кратных заданных целых чисел a1 , … , an существует однозначно определённое наименьшее положительное кратное, называемое их наименьшим общим кратным и обозначаемое символом НОК[a1 , … , an] или просто через [a1 ,… , an]. При этом очевидно, что
max{|ai| | 1 i n} [a1 ,… , an] |a1…an| .
Таким образом, натуральное число k = НОК[a1 , … , an] полностью определяется следующими двумя условиями:
(К1): k a1 … k an (k – общее кратное чисел a1 , … , an),
(К2): K N K a1 … K an K k (k – наименьшее среди всех положительных кратных).
Примеры: [0, 2] не определено, [4, 6] = 12, [3, 5] = 15, [9, 6, 15] = 90.