- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Азы теории чисел
- •§ 1. Деление целых чисел с остатком
- •5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- •Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- •Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- •Перевод числа из одной системы счисления в другую
- •Арифметические действия в позиционных системах счисления
- •§ 2. Деление целых чисел нацело
- •Свойства делимости нацело
- •§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- •Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- •§ 4. Алгоритм Евклида
- •Расширенный алгоритм Евклида
- •§ 5. Взаимно простые числа
- •Простейшие свойства взаимно простых чисел
- •§ 6. Простые числа
- •Простейшие свойства простых чисел
- •§ 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- •О распределении простых чисел
- •§ 8. Язык сравнений
- •Свойства сравнений
- •§ 9. Функция Эйлера
- •§ 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 11. Признаки делимости
- •§ 12. Принцип Дирихле
- •Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- •§ 1. Линейные диофантовы уравнения
- •§ 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- •§ 5. Пифагоровы тройки
- •§ 6. Уравнение Ферма-Пелля
- •Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- •§ 1. Великая теорема Ферма
- •§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- •§ 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- •§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- •§ 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- •§ 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- •Глава IV. Задача о счастливых билетах
- •§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
§ 9. Функция Эйлера
Для натурального n обозначим через (n) количество взаимно простых с n натуральных чисел на отрезке [0, n – 1]. Таким образом, получается функция : N N, называемая функцией Эйлера.
Примеры: 1. Найдём (1). Отрезок [0; 1–1] = [0; 0] содержит единственное целое число 0, которое взаимно просто с n = 1
Таким образом, (1) = 1.
2. Найдём (2). Для этого рассмотрим отрезок [0; 2–1] = [0; 1], содержащий два целых числа 0, 1, и посчитаем количество взаимно простых с n = 2 чисел в нём:
а |
0 |
1 |
НОД(a, 2) |
2 |
1 |
Таким образом, (2) = 1.
3. Найдём (3). Для этого рассмотрим отрезок [0; 3–1] = [0; 2], содержащий три целых числа 0, 1, 2, и вычислим количество взаимно простых с n = 3 чисел в нём:
а |
0 |
1 |
2 |
НОД(a, 3) |
3 |
1 |
1 |
Таким образом, (3) = 2.
4. Найдём (6). Для этого рассмотрим отрезок [0; 6–1] = [0; 5], содержащий шесть целых чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, и вычислим количество взаимно простых с n = 6 чисел в нём:
а |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
НОД(a, 6) |
6 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
Таким образом, (6) = 2.
Теорема (о функции Эйлера). Для любого натурального числа n справедливы следующие утверждения:
(1) (1) = 1,
(2) для простого числа p верно (p) = p – 1,
(3) для любого простого числа p и натурального показателя справедлива формула (р) = р – р–1 = p–1(p – 1) = p(1 – ),
(4) функция Эйлера мультипликативна, т.е. для любыхвзаимно простых чисел m и n верно (mn) = (m)(n),
(5) если , то
.
Доказательство. Докажем лишь некоторые утверждения.
(1) уже доказано.
(2) Пусть p – простое число. Тогда на отрезке [0; p–1] содержатся p целых чисел: 0, 1, 2, … , p – 2, p – 1, из которых ровно одно – 0 делится на p, т.е. НОД(0, p) = p. Остальные не делятся на p, а значит НОД(a, p) = 1 (1 a p–1). Таким образом, (p) = p – 1.
(3) Аналогично предыдущему: расположим p целых чисел из отрезка [0; p –1] в виде таблицы:
0 |
1 |
… |
p–2 |
p–1 |
p |
p+1 |
… |
2p–2 |
2p–1 |
2p |
2p+1 |
… |
3p–2 |
3p–1 |
… |
… |
… |
… |
… |
p–p |
p–p+1 |
… |
p–2 |
p–1 |
В каждом столбце все числа имеют одинаковые остатки при делении на p: числа 1-го столбца дают остаток 0, числа 2-го столбца – остаток 1, и.т.д., числа последнего столбца – остаток p – 1.
Среди этих чисел p чисел делятся на p только числа первого столбца, т.е. 0p, 1p, … , (p–1 – 1)p, НОД(sp, p) = p (0 s p–1 –1), таких чисел p–1 . Остальные p – p–1 чисел на p не делятся и взаимно просты с p. Таким образом, (p) = p – p–1.
(5) следует из (3) и (4):
(n) = () =()…() =
= .
Теорема доказана.
Примеры: 1. Вычислить (15).
Находим каноническое разложение числа: 15 = 35. Значит,
(15) = (3)(5) = (3 – 1)(5 – 1) = 8.
2. Вычислить (775).
Находим каноническое разложение числа:
ni |
775 |
155 |
31 |
1 |
pi |
5 |
5 |
31 |
|
28,… |
12,… |
5,… |
stop |
Таким образом, 775 = 5231. Значит,
(775) = (52)(31) = 5(5 – 1)(31 – 1) = 600.
3. Вычислить (2400).
Находим каноническое разложение числа:
ni |
2400 |
1200 |
600 |
300 |
150 |
75 |
25 |
5 |
1 |
pi |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
5 |
5 |
|
48,… |
|
|
|
|
8,… |
|
|
stop |
Таким образом, 2400 = 25352. Значит,
(155) = (25)(3)(52) = 24254 = 275 = 640.
4. Решить уравнение (x) = 12.
Пусть x = 2p…q , где p, … , q – нечётные простые числа. Тогда при , , … , > 0 получаем (x) = 2–1(p–1)…(q–1)p–1…q–1 = 12 = 223. Поскольку p – 1, q – 1 чётны и > 0, то x = 2p (иначе показатель двойки в левой части больше 2). Ясно, что p = 3, = 2 и = 2, т.е. x = 2232.
Если = 0, то (p–1)…(q–1)p–1…q–1 = 223. Если среди p, … , q нет тройки, то = … = = 1 и (p–1)…(q–1) = 223. В левой части не более двух сомножителей. Если сомножитель один, то x = p = 13. Если сомножителей два, то (p–1)(q–1) = 223, т.е. p – 1 = 2r, q – 1 = 2s и rs = 3. Ясно, что либо r = 1, s = 3, p = 3, q = 7, x = 21, либо r = 3, s = 1, p = 7, q = 3, x = 21.
Таким образом, x = 36, x = 21, x = 13 – все решения уравнения.