Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Th_Numb+Combi (2).doc
Скачиваний:
171
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
2.43 Mб
Скачать

Глава IV. Задача о счастливых билетах

Речь идёт, конечно, о счастливых автобусных билетах. Как известно, каждый такой билет однозначно определяется своим шестизначным номером a b c d e f , причём a + b + c = d + e + f. Цель этой главы – вычислить количество счастливых билетов.

§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент

Ясно, что задача допускает естественное обобщение: вместо шестизначных номеров можно рассматривать произвольные 2n-значные наборы вида (a1 ; … ; an ; b1 ; … ; bn), где a1 + … + an = b1 + … + bn .

Лемма. Существует взаимно однозначное соответствие между всеми счастливыми 2n-наборами и всеми 2n-наборами с суммой цифр 9n .

Доказательство. Пусть D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество всех десятичных цифр,

Hn = {(a1 ; … ; an ; b1 ; … ; bn) D2n | a1 + … + an = b1 + … + bn }

– множество всех счастливых 2n-наборов, и

9n = {(a1 ; … ; an ; b1 ; … ; bn) D2n | a1 + … + an + b1 + … + bn = 9n }

множество всех 2n-наборов с суммой цифр 9n.

Рассмотрим отображение 2n-наборов, заданное следующим правилом:

f(a1 ; … ; an ; b1 ; … ; bn) = (a1 ; … ; an ; 9 – b1 ; … ; 9 – bn).

Таким образом, каждому 2n-набору отображение f ставит в соответствие однозначно определённый 2n-набор.

При этом отображение f инъективно, т.е. переводит разные наборы в разные: если

f(a1 ; … ; an ; b1 ; … ; bn) = f(с1 ; … ; сn ; d1 ; … ; dn),

то (a1 ; … ; an ; 9 – b1 ; … ; 9 – bn) = (c1 ; … ; cn ; 9 – d1 ; … ; 9 – dn), а значит, (a1 ; … ; an ; b1 ; … ; bn) = (с1 ; … ; сn ; d1 ; … ; dn).

Отображение f сюръективно: если 1 ; … ; сn ; d1 ; … ; dn) – любой 2n-набор, то f1 ; … ; сn ; 9 – d1 ; … ; 9 – dn) = (с1 ; … ; сn ; d1 ; … ; dn).

Таким образом, fбиективное отображение.

Кроме того, если применить f к счастливому набору, для которого выполняется a1 + … + an = b1 + … + bn , то получается набор с суммой цифр a1 + … + an + (9 – b1) + … + (9 – bn) = 9n. Значит, f биективно отображает множество Hn в 9n : f : Hn 9n .

Лемма доказана.

Эта лемма показывает, что количество счастливых 2n-наборов равно количеству 2n-наборов с суммой цифр 9n. Можно теперь поставить более общую задачу: сколько m-наборов имеют сумму цифр s ?

§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент

Если искомое количество обозначить через ms , то

ms = 0 при s > 9m и при s < 0,

m0 = 1, m1 = m, m2 = ,

1i = 1 (0 i 9), 1i = 0 (i 10),

m+1s = ms + ms–1 + ms–2 + ms–3 + ms–4 + ms–5 + ms–6 + ms–7 + ms–8 + ms–9.

Последняя формула, справедливая при любом m N, следует из того, что в любом наборе (a1 ; a2 ;… ; am+1) с суммой компонент s на первом месте стоит одна из цифр 0 a1 9, а сумма компонент хвоста (a2 ;… ; am+1) равна sa1 . Таким образом, .

Пусть (m-набор не может иметь сумму компонент, большую 9m). Ясно, что

g1(x) = 1x0 + 1x1 + … + 1x9 = 1 + x1 + … + x9,

g2(x) = 1x0 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x7 + 9x8 + 10x9 +

+ 9x10 + 8x11 + 7x12 + 6x13 + 5x14 + 4x15 + 3x16 + 2x17 + 1x18.

При вычислении g2(x) учитывалось, что пары (a; b) с суммой s при 0 s 9 исчерпываются следующими: (0; s), (1; s–1), … , (s–1; 1), (s; 0) и их количество s + 1, а при 10 s 18 таковыми будут пары (s–9; 9), (s–10; 8), … , (8; s–10), (9; s–9) и их число |(s–9)–9| + 1 = |s–18| + 1 = 19–s.

Лемма (о связи gm(x) и g1(x)). gm(x) = g1(x)m .

Доказательство. Индукция по m. База для m = 1 верна.

Пусть доказано, что gm(x) = g1(x)m для m = 1, … , k N. Докажем, что gk+1(x) = g1(x)k+1 . По предположению индукции

gk(x) = g1(x)k = g0 + g1x + … + g9kx9k .

Тогда g1(x)k+1 = (1 + x + x2 + … + x9)(g0 + g1x + … + g9kx9k) =

= 1g0 + (1g1+1g0)x + … + (1g9k–1+1g9k)x9k+8 + 1g9kx9(k+1).

Здесь при xi стоит сумма 1gi + 1gi–1 + … + 1gi–9 в соответствии с формулой умножения многочленов, которая удобнее записывается для рядов в следующем виде: .

По смыслу giэто по предположению индукции количество k-наборов с суммой компонент i : gi = ki. Как вычислить число k+1j всех (k+1)-на­боров с суммой компонент j ? Ответ даёт рекуррентная формула из начала параграфа:

k+1j = kj + kj–1 + kj–2 + kj–3 + kj–4 + kj–5 + kj–6 + kj–7 + kj–8 + kj–9,

совпадающая с приведённым выше правилом вычисления коэффициентов многочлена g1k+1. Значит, k+1j равно j-му коэффициенту многочлена g1k+1.

Лемма доказана.

Итак, нужно вычислить (1 + x + x2 + … + x9)m = =

= (1 – x10)m(1 – x)–m = =

Здесь использована формула (1 – y)k = , а также соглашение = 0 при p < 0, при q < 0, при q > p.

Итак, , т.е. miкоэффициент при xi в полученном разложении. Итак,

ms = .

В частности, 627 = =

= =

= 7293132 – 18192122 + 9101112 = 201376 – 158004 + 11880 = 55252.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]