- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Азы теории чисел
- •§ 1. Деление целых чисел с остатком
- •5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- •Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- •Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- •Перевод числа из одной системы счисления в другую
- •Арифметические действия в позиционных системах счисления
- •§ 2. Деление целых чисел нацело
- •Свойства делимости нацело
- •§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- •Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- •§ 4. Алгоритм Евклида
- •Расширенный алгоритм Евклида
- •§ 5. Взаимно простые числа
- •Простейшие свойства взаимно простых чисел
- •§ 6. Простые числа
- •Простейшие свойства простых чисел
- •§ 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- •О распределении простых чисел
- •§ 8. Язык сравнений
- •Свойства сравнений
- •§ 9. Функция Эйлера
- •§ 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 11. Признаки делимости
- •§ 12. Принцип Дирихле
- •Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- •§ 1. Линейные диофантовы уравнения
- •§ 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- •§ 5. Пифагоровы тройки
- •§ 6. Уравнение Ферма-Пелля
- •Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- •§ 1. Великая теорема Ферма
- •§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- •§ 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- •§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- •§ 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- •§ 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- •Глава IV. Задача о счастливых билетах
- •§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
Расширенный алгоритм Евклида
Полученные формулы для вычисления коэффициентов xi , yi Z можно представить в следующем более удобном виде:
.
Таким образом, вычисления НОД(a, b) и его линейного разложения можно провести одновременно за один цикл. Эта вычислительная процедура называется расширенным алгоритмом Евклида.
Замечание: Если на шаге 0 уже a = bq0 , то линейное разложение тривиально: НОД(a, b) = |b| = a0 + b(±1), где знак + берётся для b > 0, а знак – при b < 0.
Примеры: 1. Найти линейное разложение НОД(28, –34) и вычислить НОК(28, –34).
Вычисления оформим в виде следующей таблицы:
Шаг |
А |
B |
Q := A / B |
R := A mod B |
X |
Y |
Проверка |
–1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
– |
0 |
28 |
–34 |
0 |
28 |
1 |
0 |
28 = 281+(–34)0 |
1 |
–34 |
28 |
–2 |
22 |
2 |
1 |
22 = 282+(–34)1 |
2 |
28 |
22 |
1 |
6 |
–1 |
–1 |
6 = 28(–1)+(–34)(–1) |
3 |
22 |
6 |
3 |
4 |
5 |
4 |
4 = 285+(–34)4 |
4 |
6 |
4 |
1 |
2 |
–6 |
–5 |
2 = 28(–6)+(–34)(–5) |
5 |
4 |
2 |
2 |
0 – stop |
|
|
|
Ответ: 2 = 28(–6)+(–34)(–5), НОК(28, –34) = = 476.
2. Найти линейное разложение НОД(–339, –588) и НОК(–339, –588).
Шаг |
А |
B |
Q := A / B |
R := A mod B |
X |
Y |
Проверка |
–1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
– |
0 |
–339 |
–588 |
1 |
249 |
1 |
–1 |
249 = (–339)1+(–588)(–1) |
1 |
–588 |
249 |
–3 |
159 |
3 |
–2 |
159 = (–339)3+(–588)(–2) |
2 |
249 |
159 |
1 |
90 |
–2 |
1 |
90 = (–339)(–2)+(–588)1 |
3 |
159 |
90 |
1 |
69 |
5 |
–3 |
69 = (–339)5+(–588)(–3) |
4 |
90 |
69 |
1 |
21 |
–7 |
4 |
21 = (–339)(–7)+(–588)4 |
5 |
69 |
21 |
3 |
6 |
26 |
–15 |
6 = (–339)26+(–588)(–15) |
6 |
21 |
6 |
3 |
3 |
–85 |
49 |
3 = (–339)(–85)+(–588)49 |
7 |
6 |
3 |
2 |
0 – stop |
|
|
|
Ответ: 3 = (–339)(–85)+(–588)49, НОК(–339, –588) = = 66444.
3. Найти линейное разложение НОД(170, 588, 339).
Поскольку (170, 588, 339) = ((588, 339), 170) = (3, 170) = (170, 3), то вначале найдём линейное разложение (170, 3):
Шаг |
А |
B |
Q := A / B |
R := A mod B |
X |
Y |
Проверка |
–1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
– |
0 |
170 |
3 |
56 |
2 |
1 |
–56 |
2 = 1701+3(–56) |
1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
–1 |
57 |
1 = 170(–1)+357 |
2 |
2 |
1 |
2 |
0 – stop |
|
|
|
Таким образом, (170, 3) = 1 = 170(–1) + 357.
Окончательно (используя предыдущий пример) получаем линейное разложение:
1 = (170, 588, 339) = (170, (588, 339)) = 170(–1) + 357 =
= 170(–1)+(588(–49)+33985)57 = 170(–1) + 588(–2793) + 3394845.