- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Азы теории чисел
- •§ 1. Деление целых чисел с остатком
- •5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- •Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- •Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- •Перевод числа из одной системы счисления в другую
- •Арифметические действия в позиционных системах счисления
- •§ 2. Деление целых чисел нацело
- •Свойства делимости нацело
- •§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- •Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- •§ 4. Алгоритм Евклида
- •Расширенный алгоритм Евклида
- •§ 5. Взаимно простые числа
- •Простейшие свойства взаимно простых чисел
- •§ 6. Простые числа
- •Простейшие свойства простых чисел
- •§ 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- •О распределении простых чисел
- •§ 8. Язык сравнений
- •Свойства сравнений
- •§ 9. Функция Эйлера
- •§ 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- •§ 11. Признаки делимости
- •§ 12. Принцип Дирихле
- •Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- •§ 1. Линейные диофантовы уравнения
- •§ 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- •§ 5. Пифагоровы тройки
- •§ 6. Уравнение Ферма-Пелля
- •Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- •§ 1. Великая теорема Ферма
- •§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- •§ 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- •§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- •§ 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- •§ 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- •Глава IV. Задача о счастливых билетах
- •§ 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- •§ 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
О распределении простых чисел
Для каждого положительного действительного числа x обозначим через (x) количество простых чисел в интервале (–, x]. Таким образом, получаем отображение : R N (называемое функцией Чебышева), значение которого можно вычислить для любого конкретного x R. Например, (x) = 0 при x < 2, (2) = 1 = (2,99), (3) = 2, (10) = 4 = (7,001). Возникает вопрос о поведении функции (x), более точно – о её порядке роста. Ограничимся только формулировками самых ранних и простых (но далеко не очевидных) результатов на эту тему:
Теорема (неравенства Чебышева). (1) Существуют такие константы 0 < a < 1 < b (например, годятся a = 0,92129, b = 1,0555), что для всех достаточно больших значений x R верны неравенства
.
Эта теорема была доказана в 1850 г. Кроме того, П.Л.Чебышевым было доказано, что если существует , то он равен 1. Существование же этого предела удалось доказать только спустя полвека, используя теорию функций комплексного переменного.
Теорема (Адамар, Валле-Пуссен) Предел существует и равен 1 (асимптотический закон распределения простых чисел).
В той же основополагающей работе П.Л.Чебышева, было дано доказательство следующей известной гипотезы
Теорема (постулат Бертрана). Для любого натурального числа n на отрезке [n; 2n] содержится хотя бы одно простое число.
В то же время, как показывает следующая теорема, существуют сколь угодно длинные отрезки, не содержащие простых чисел.
Теорема (о сколь угодно длинных отрезках, не содержащих простых чисел). Для любого натурального п на отрезке [п! + 2, п! + п] нет ни одного простого числа.
Доказательство. Любое число из рассматриваемого отрезка имеет вид п! + k, где 2 k n , и делится на k.
Теорема доказана.
Хотя современная теория чисел продвинулась далеко вперёд, многие вопросы о простых числах остаются нерешёнными и по сей день. Например, до сих пор неизвестно – конечны ли множества простых чисел вида 1 + n2 и 1 + 2n (n Z).
§ 8. Язык сравнений
Пусть a, b, m Z и m 0. Говорят, что числа a и b сравнимы по модулю m, если разность a – b делится нацело на m: a b (mod m). Таким образом, a b (mod m) t Z a – b = mt.
Примеры: 1. 5 17 (mod 6), т.к. 5 – 17 = –12 = 6(–2),
3 –5 (mod 4), т.к. 3 – (–5) = 8 = 42,
2. –3 –2 (mod 5), т.к. –3 – (–2) = 1 и 5 1,
28 15 (mod 3), т.к. 28 – 15 = 13 и 3 13.
Свойства сравнений
10. Числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда они дают одинаковые остатки при делении на m.
Действительно, если a b (mod m), а r и s – остатки от деления a и b на m соответственно, то a = mq + r, b = mp + s, 0 r < |m|, 0 s < |m| , причём a – b = m(q – p) + (r – s) делится нацело на m. Это возможно лишь в том случае, когда m | (r – s), т.е. r = s (поскольку –m < r – s < m).
Обратно, если числа a и b дают одинаковые остатки при делении на m, то a = mq + r, b = mp + r, 0 r < m. Поэтому a – b = m(q – p) кратно m , что и требовалось доказать.
Следующие три свойства следуют из 10.
20. Условия a b и a 0 (mod b) эквивалентны.
В самом деле, a b a – 0 b a 0 (mod b).
30. Любое целое число a сравнимо само с собой по любому модулю m (рефлексивность отношения сравнимости).
40. Если a b (mod m), то b a (mod m) (симметричность отношения сравнимости).
50. Если a b (mod m) и b с (mod m), то a c (mod m) (транзитивность отношения сравнимости).
Вместе свойства 20-30 дают
60. Если a b (mod m), то для любого целого числа c справедливо
a ± c b ± c (mod m) , ac bc (mod m).
В самом деле, если a – b = mt, то (a ± c) – (b ± c) = a – b = mt и аналогично ac – bc = (a – b)c = mtc.
70. Если a b (mod m) и c d (mod m), то a ± c b ± d (mod m).
Действительно, если a – b = mt , c – d = ms , то
(a ± c) – (b ± d) = (a – b) ± (c – d) = mt – ms = m(t – s).
80. Если a b (mod m) и c d (mod m), то ac bd (mod m).
В самом деле, если a – b = mt , c – d = ms, то
(ac) – (bd) = aс – bс + bc – bd = (a – b)c + b(c – d) =
= mtc – bms = m (tc – bs).
90. Если a b (mod m), то для любого натурального k верно сравнение ak bk (mod m).
При k = 1 сравнение верно по условию. Отсюда последовательно получаем, умножая на то же сравнение a b (mod m):
a2 b2 (mod m), a3 b3 (mod m), … , ak bk (mod m).
100. Если целые числа a, b, m делятся нацело на число d Z \ {0}, то a b (mod m) тогда и только тогда, когда .
Действительно, если a = da1 , b = db1 , m = dm1 , то
a – b = mt a1 – b1 = m1t .
110. Если da db (mod m) и НОД(d , m) = 1, то a b (mod m).
В самом деле, если da – db = mt , то d | mt . Поскольку числа d и m взаимно простые, то по основному свойству взаимно простых чисел d | t , т.е. t = dt1 для некоторого целого t1 . Значит, a – b = mt1 .
Сравнения дают удобный язык для изучения делимости чисел. Связь сравнений с делимостью выявлена в свойстве 20.
Примеры: 1. Докажите, что если a при делении на 23 даёт остаток 5, то a4 – 8a3 + 19 даёт остаток .
Действительно, если a 5 (mod 23), то
a4 – 8a3 + 19 (a2)2 – 8aa2 + 19 22 – 852 + 19
– 402 + (22 + 19) –(–6)2 + 0 12 (mod 23),
т.е. остатком будет 12.
2. Вычислить 18100 + 20 (mod 25).
18100 + 20 (–7)25 – 5 –(72)127 – 5 –7(–1)12 – 5
–7 – 5 –12 13 (mod 25).