§2 Основні властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Збіжна послідовність обмежена.

 

Доведення. Нехай . Припускаючи в означенні 2 (§1) , знайдемо такий номер , що при всіх виконується нерівність . Звідки при вказаних .

 

Припустимо . Тоді, очевидно, що при всіх , тобто збіжна послідовність дійсно обмежена.

На практиці при знаходженні границь числових послідовностей часто використовується наступна теорема про арифметичні дії над границями.

 

Теорема 2. Нехай послідовності і – збіжні, при цьому . Тоді збіжні й послідовні 

( - стала), (остання при ), причому:

1) 

2) 

3) 

4) 

 

Доведення. 1) Оскільки і – границі послідовностейі, то за теоремою 2 (§1) маємо

 

де і - нескінченно малі.

Додаючи ці рівності, отримаємо.

 

За лемою 1(§1) –нескінченно мала, а тому за теоремою 2(§1) послідовність збігається до , так що існує 

 

2) Як і в попередньому пункті, . Далі маємо

 

За лемами 1-3 (§1) і наслідками до них - нескінченно мала, а тому за теоремою 2 (§1) послідовність збігається до , так що існує

3) Наслідок. Якщо послідовність – збіжна, причому і – стала, то збіжна й послідовність, причому тобто сталий множник можна виносити за знак границі.

Властивість (4) рекомендуємо довести самостійно.

 

Теорема 3. (про три послідовності). Нехай задані послідовності , при цьому для всіх виконуються нерівності 

 

Тоді, якщо послідовності і збіжні до однієї і тієї ж границі, то і послідовність також збіжна, причому

 

Доведення. Нехай . Тоді для довільного можна знайти такі номери і , що при всіх при всіх..

 

Нехай . Тоді при виконані одночасно обидві нерівності і, зокрема, при вказаних .

 

Але тоді з умов теореми виконуються нерівності

при всіх , тобто

при всіх , а, отже,

,

що й потрібно довести.

 

Теорема 4. (про перехід до границі у нерівностях).

Нехай задані збіжні послідовності , при цьому для всіх виконуються нерівності . Тоді і

 

Доведення. Нехай . Припустимо супротивне: . Припустимо, , тоді можна знайти такі номери і , що при всіх при всіх .

 

Нехай . Тоді при виконані обидві нерівності і, зокрема, при вказаних 

,

 

отже, при маємо , тобто . Одержана суперечність доводить теорему.

Зауважимо, що у випадку виконання для членів збіжних послідовностей при всіх суворої нерівності , після переходу до границі строга нерівність, взагалі кажучи, не зберігається.

Так само, як вище, лише

 

Наприклад, . При всіх , очевидно, , але

Змінна , чи послідовність називається зростаючою, якщо

Якщо ж

називається неспадною. Змінна , чи послідовність називається спадною, якщо

коли ж

,

то змінна називається незростаючою.

Всі ці чотири типи змінних, для яких характерним є змінювання в одному напрямку при зростанні , називають монотонними.

Теорема 5. Будь-яка монотонна обмежена змінна має границю.

Дамо геометричне пояснення цієї теореми, строге доведення виходить за межі цієї книги.

Нехай маємо, наприклад, неспадну обмежену послідовність

,

причому для всіх . Візьмемо числову ось і нанесемо на неї члени даної послідовності та число М. Зі збільшенням номера n точка, що зображує відповідний член послідовності x_n, буде пересуватися тільки вправо, але вона не може опинитися правіше точки М, бо послідовність обмежена. Ознака й твердить, що послідовність має границю (яка не перевищує М). Подібним чином можна пояснити й інші випадки монотонних змінних (спадної, незростаючої).

 

Приклад 3. Послідовність x₁ =0,7, x₂ =0,77, x₃ =0,777, . . . , x_n =0,77… (n раз) …7 є монотонно зростаючою, бо . Крім того, очевидно, що вона обмежена, тому що кожний її член більший за нуль, але менший за 7/9.

,

яке б не було. Отже, послідовність має границю: її легко знайти

 

Приклад4. Послідовність x₁ =2, x₂ =3/2, x₃ =4/3, . . . , x_n =, … монотонно спадна, бо , і обмежена ( для будь-якого n). Отже вона має границю. Просте обчислення дає