§ 2 Теореми про середнє значення

Дослідження функцій за допомогою похідних грунтуються на деяких основних теоремах диференціального числення.

 

Теорема Ролля. Нехай функція неперервна на відрізку , диференційована на інтервалі і . Тоді існує принаймні одна точка така, що .

 

Доведення. За теоремою Вейєрштрасса неперервна на функція набуває на ньому найбільшого значення М і найменшого значення m.

Якщо , то - стала для всіх і за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу .

 

Якщо , то принаймні одне із значень m або М досягається у внутрішній точці с відрізку , тобто в точці, яка належить інтервалу . Нехай, наприклад, в точці с функція набуває найменшого значення. Доведемо, що . Дійсно, для досить малих точка , причому

 

Тому при 

 і ,

 

а при 

 і .

 

Оскільки функція диференційована в точці с, то . Теорему доведено.

Геометрично теорема Ролля означає, що серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться принаймні одна, паралельна осі Оx.

 

У точці с функція набуває найменшого значення (рис.52).

Теорема Лагранжа. Нехай функція неперервна на відрізку і диференційована на інтервалі (a; b). Тоді існує принаймні одна точка така, що

.

 

Доведення. Розглянемо на допоміжну функцію

.

 

Очевидно, задовольняє всі вимоги теореми Ролля. Вона неперервна на як різниця двох неперервних на функцій і ; диференційована на , причому і .

 

Отже, за теоремою Ролля існує принаймні одна точка така, що , тобто

.

 

Звідки , що й потрібно було довести.

Геометрично теорема Лагранжа означає, що серед усіх дотичних до графіка функцій знайдеться принаймні одна, паралельна січній АВ, яка сполучає точки і . Справді (рис.53), відношення є кутовим коефіцієнтом січної АВ, а - кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка, проведеної в точці . Ці коефіцієнти рівні, отже, дотична і січна АВ дійсно паралельні.

 

Зауваження 1. Теорема Ролля є окремим випадком теореми Лагранжа, якщо .

 

Зауваження 2. Рівність називається формулою Лагранжа. Її можна записати й трохи інакше. Очевидно, що де . Отож, , де .

 

Припускаючи , матимемо також

,

 

де .

 

Наслідок. Нехай функція диференційована на проміжку Х і при будь-якому , тоді на Х - стала. Дійсно, нехай - фіксована точка Х, а x - його довільна точка. За теоремою Лагранжа , де с - деяка точка, яка знаходиться між і х. Оскільки при будь-якому , то , а тому при всіх .

 

Теорема Коші. Нехай функції і неперервні на відрізку [a;b] і диференційовані на інтервалі (a;b), причому в усіх точках . Тоді існує принаймні одна точка така, що

.

 

Доведення. Спочатку зауважимо, що , оскільки у протилежному випадку , згідно з теоремою Ролля для функції знайдеться принаймні одна точка така, що . А це суперечить тому, що в усіх точках (a;b). Далі розглянемо на [a;b] допоміжну функцію

.

 

Очевидно, задовольняє всі вимоги теореми Ролля. Вона неперервна на [a;b] як різниця двох неперервних на [a;b] функцій і ; диференційована на (a;b), причому

 

і .

 

Отже, за теоремою Ролля існує принаймні одна точка така, що , тобто

.

 

Звідки, оскільки , отримаємо формулу Коші

, ,

що й потрібно довести.

 

Зауваження. Теорема Лагранжа є окремим випадком теореми Коші, якщо .