- •Конспект лекцій з курсу
- •§2 Визначники матриць другого порядку
- •§3. Визначники матриць третього порядку
- •§ 4 Визначники матриць вищих порядків
- •Приклади розв’язання задач
- •§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
- •5.1. Правило Крамера
- •5.2. Розв'язок і дослідження систем рівнянь першого порядку методом повного виключення (Метод Гаусса).
- •1. Система однорідних рівнянь 1-ого порядку завжди сумісна.
- •2. Якщо визначник системи однорідних рівнянь 1-ого порядку дорівнює нулю, тоді система має нескінченну множину розв 'язків.
- •§ 6 Ранг матриці, теорема про сумісність систем рівнянь першого порядку
- •Іі. Приклади розв`язку задач
- •Обчислення рангу матриці методом облямування
- •§ 7 Основні операції з матрицями
- •Приклади розв`язку задач
- •§ 8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь
- •Іі. Приклади розв`язку задач
- •§9. Модель багатогалузевої економіки
- •Глава іі: Векторна алгебра
- •§1 Основні поняття
- •§2 Лінійні операції з векторами.
- •§ 3 Лінійна залежність та лінійна незалежність системи векторів
- •Приклади розв‘язку задач
- •§4 Проекція вектора на ось
- •§5 Прямокутна декартова система координат в просторі
- •§6 Скалярний добуток векторів
- •§7 Векторний добуток векторів
- •§8 Мішаний добуток векторів
- •Іі. Приклади розв’язку задач
- •Глава ііі: Аналітична геометрія
- •§1 Відповідність між геометричними образами та рівняннями
- •§ 2 Лінійні образи - площина і пряма
- •§ 3 Лінії другого порядку
- •Приклади розв`язку задач
- •§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку.
- •§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку
- •5.1. Дослідження форми еліпсоїда
- •5.2. Дослідження форми однопорожнинного гіперболоїда
- •5.3. Дослідження формули двопорожнинного гіперболоїда
- •5.4. Дослідження формули еліптичного параболоїда
- •5.5. Дослідження форми гіперболічного параболоїда
- •6. Дослідження форми конуса 2-го порядку
- •Приклади розв`язку задач
- •§6 Полярна система координат на площині. Циліндрична і сферична системи координат в просторі
- •6.1. Полярна система координат на площині
- •6.2. Циліндрична система координат
- •6.3. Сферична система координат
- •Приклади розв’язку задач
- •Розділ іі. Вступ до математичного аналізу
- •Глава IV: Функції
- •§1 Поняття множини
- •§2. Абсолютна величина дійсного числа
- •§3. Поняття функції
- •§4 Застосування функцій в економіці
- •Розв’язок задач
- •Глава V: Границя і неперервність
- •§1 Поняття границі послідовності
- •1.1 Збіжні послідовності
- •1.2 Нескінченно малі і нескінченно великі.
- •§2 Основні властивості збіжних послідовностей
- •§3 Поняття границі функції
- •3.1 Визначення границі функції
- •3.2 Односторонні границі
- •3.3 Границя функції на нескінченності і нескінченні границі
- •§4 Властивості границь
- •§5 Перша і друга важливі границі
- •5.1 Перша важлива границя
- •5.2 Друга важлива границя
- •Задача про неперервне нарахування процентів
- •§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції
- •§7 Неперервність функції
- •Розв’язки задач
- •Розділ ііі. Диференціальне числення
- •Главаvi: Похідні та диференціали
- •§ 1 Поняття похідної
- •§2 Зміст похідної
- •2.1. Задача про дотичну до кривої
- •2.2. Задача про миттєву швидкість
- •2.3. Задачі про витрати виробництва та виручку
- •§3. Правила диференціювання
- •3.1 Диференціювання суми, добутку й частки
- •3.2. Диференціювання складної функції
- •§4. Диференційованість елементарних функцій
- •§5. Похідні вищих порядків
- •§ 6. Диференціал функції
- •§ 7. Диференціали вищих порядків
- •§8 Розв'язки задач
- •§ 9 Економічний зміст похідної.
- •Глава 7: Застосування похідних до дослідження функцій
- •§ 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку
- •§ 2 Теореми про середнє значення
- •§ 3 Правила Лопіталя
- •§4 Дослідження функцій
- •4.1. Умови монотонності функцій
- •4.3. Знаходження найменшого й найбільшого значень
- •4.4 Опуклість, угнутість та точки перегину кривої
- •3.5. Асимптоти. Дослідження графіка функції в цілому
- •§ 5 Застосування похідної в економічній теорії.
- •§ 5. Розв’язки задач
§ 2 Теореми про середнє значення
Дослідження функцій за допомогою похідних грунтуються на деяких основних теоремах диференціального числення.
Теорема Ролля. Нехай функція неперервна на відрізку , диференційована на інтервалі і . Тоді існує принаймні одна точка така, що .
Доведення. За теоремою Вейєрштрасса неперервна на функція набуває на ньому найбільшого значення М і найменшого значення m.
Якщо , то - стала для всіх і за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу .
Якщо , то принаймні одне із значень m або М досягається у внутрішній точці с відрізку , тобто в точці, яка належить інтервалу . Нехай, наприклад, в точці с функція набуває найменшого значення. Доведемо, що . Дійсно, для досить малих точка , причому
Тому при
і ,
а при
і .
Оскільки функція диференційована в точці с, то . Теорему доведено.
Геометрично теорема Ролля означає, що серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться принаймні одна, паралельна осі Оx.
У точці с функція набуває найменшого значення (рис.52).
Теорема Лагранжа. Нехай функція неперервна на відрізку і диференційована на інтервалі (a; b). Тоді існує принаймні одна точка така, що
.
Доведення. Розглянемо на допоміжну функцію
.
Очевидно, задовольняє всі вимоги теореми Ролля. Вона неперервна на як різниця двох неперервних на функцій і ; диференційована на , причому і .
Отже, за теоремою Ролля існує принаймні одна точка така, що , тобто
.
Звідки , що й потрібно було довести.
Геометрично теорема Лагранжа означає, що серед усіх дотичних до графіка функцій знайдеться принаймні одна, паралельна січній АВ, яка сполучає точки і . Справді (рис.53), відношення є кутовим коефіцієнтом січної АВ, а - кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка, проведеної в точці . Ці коефіцієнти рівні, отже, дотична і січна АВ дійсно паралельні.
Зауваження 1. Теорема Ролля є окремим випадком теореми Лагранжа, якщо .
Зауваження 2. Рівність називається формулою Лагранжа. Її можна записати й трохи інакше. Очевидно, що де . Отож, , де .
Припускаючи , матимемо також
,
де .
Наслідок. Нехай функція диференційована на проміжку Х і при будь-якому , тоді на Х - стала. Дійсно, нехай - фіксована точка Х, а x - його довільна точка. За теоремою Лагранжа , де с - деяка точка, яка знаходиться між і х. Оскільки при будь-якому , то , а тому при всіх .
Теорема Коші. Нехай функції і неперервні на відрізку [a;b] і диференційовані на інтервалі (a;b), причому в усіх точках . Тоді існує принаймні одна точка така, що
.
Доведення. Спочатку зауважимо, що , оскільки у протилежному випадку , згідно з теоремою Ролля для функції знайдеться принаймні одна точка така, що . А це суперечить тому, що в усіх точках (a;b). Далі розглянемо на [a;b] допоміжну функцію
.
Очевидно, задовольняє всі вимоги теореми Ролля. Вона неперервна на [a;b] як різниця двох неперервних на [a;b] функцій і ; диференційована на (a;b), причому
і .
Отже, за теоремою Ролля існує принаймні одна точка така, що , тобто
.
Звідки, оскільки , отримаємо формулу Коші
, ,
що й потрібно довести.
Зауваження. Теорема Лагранжа є окремим випадком теореми Коші, якщо .