Розділ іі. Вступ до математичного аналізу

Глава IV: Функції

 

§1 Поняття множини

Основним первинним поняттям математики, її фундаментом є поняття множини. Слова сукупність, клас, система, набір та інші дуже часто є синонімами слова множина. Проте навіть у цій загальній ситуації ми б хотіли підкреслити, що множина – деякі об‘єкти (елементи множини), які виділені за певною ознакою або ознаками з інших об‘єктів і розглядаються як єдине ціле.

Прикладами множини є множина учнів в класі, сімейство зірок Великої Ведмедиці, множина сторінок даної книги, множина всіх раціональних чисел і т.д.

Належність елемента а множині А позначається (а належить до множини А). Якщо, а не є елементом множини А, це позначається (а не належить А).

 

Якщо вдається перерахувати всі елементи множини А, це позначається як , де у фігурних дужках вказують всі елементи А.

 

Навіть якщо множина має безліч елементів, інколи так можна зробити. Наприклад:

 - множина всіх натуральних чисел;

 - множина всіх цілих чисел.

Загальне правило полягає в тому, щоб, виписавши досить багато елементів множини, зробити очевидним правило їх подальшого виписування.

Найчастіше множина задається виразом . Такий запис означає, що А – множина всіх елементів певної множини, які задовольняють умову Р. Якщо умова Р не виконується для жодного елемента множини, тобто вказана множина А не має жодного елемента, вона називається порожньою і позначається O.

 

Приклад 1. Множина є сукупністю коренів рівняння х²-3х+2=0, тобто ця множина складається із двох елементів: 1 і 2.

Множина є сукупність всіх чисел, які задовольняють нерівності 3<x<7.

Множина O, тобто це порожня множина.

Якщо кожен елемент множини А є також елементом множини В, то А – підмножина множини В. Це будемо позначати або, що те саме, . Якщо і , тобто множини А і Вмають одні й ті ж елементи, тоді А=В. Вважають, що порожня множина є підмножиною будь-якої іншої.

Нехай А – множина, тоді через будемо позначати множину всіх елементів множини, які не належать А. Ця множина називається доповненням А.

 

Нехай А, В – множини. Перерізом (перетином) А і В називається множина всіх елементів, які належать як множині А, так і множині В:

 

Об’єднанням А і В називається множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин:

.

Різницею. А і В називається множина всіх елементів, які належать множині А і не належать множині В:

Легко зрозуміти, що останнє означення рівносильне тому, що

.

Приклад 2. Нехай . Знайти переріз, об‘єднання і різницю множин А і В.

 

Очевидно, що переріз двох даних множин - ; їх об‘єднання - , а різниця . ^

 

Множини, елементами яких є дійсні числа, називаються числовими. Із шкільного курсу алгебри відомі множини: R – дійсні числа, Q – раціональні, I – ірраціональні, Z – цілі, N – натуральні числа. Очевидно, що , і .

 

Геометрично множина дійсних чисел R зображується точками числової прямої (або числової осі), тобто пряма, на якій вибраний початок відліку, додатній напрямок і одиниця масштабу.

Між множиною дійсних чисел і точками числової прямої існує взаємно однозначна відповідність, тобто кожному дійсному числу відповідає певна точка числової прямої і навпаки. Тому часто замість “число х” говорять “точка х”.

 

Множину Х , елементи якої задовольняють нерівності , називають відрізком (або сегментом) ; нерівності - інтервалом (а b); нерівності або називаютьсянапівінтервалами відповідно . Поряд з цим розглядаються нескінченні інтервали і напівінтервали

.

Інтервал (а; b) відрізняється від відрізка лише тим, що йому не належать кінці a і b.

 

Така відмінність відіграє суттєву роль в багатьох питаннях математичного аналізу. Крім того, інтервал (a; b) не містить ні найбільшого, ні найменшого числа, в той же час як у відрізку такими числами є відповідно b і a. В подальшому всі вказані множини об’єднаємо терміном проміжок Х.