5.5. Дослідження форми гіперболічного параболоїда

Для більшої ясності рисунка змінимо розташування осей. Виберемо за площину рисунка площину у=0 (рис.33).

В перерізі гіперболічного параболоїда

площиною рисунка маємо параболу

у=0, х²=2а²z

В перерізі площинами x=d одержуємо параболи

x=d, 

В перерізі площинами z=-|h| маємо гіперболи

z=-h, 

Вся поверхня має “сідловидну” форму.

 

6. Дослідження форми конуса 2-го порядку

В перерізі конуса 2-го порядку

 

площиною х=0 одержуємо дві прямі, що перетинаються на початку координат (рис.34).

 

х=0, 

 

Перетинаючи поверхню площинами z=h, одержуємо еліпси

z=h, 

 

Перетинаючи поверхню площинами, які проходять через вісь z, тобто площинами y=kx, одержуємо дві прямі, що перетинаються.

y=kx, 

 

або

y=kx, 

 

Використовуючи вже вказаний при вивчені кривих 2-го порядку метод перетворення координат, можна довести, що будь-яка поверхня 2-го порядку представляє собою або один із 9-ти розглянутих типів поверхонь, або випадок їх виродження (дві площини, що перетинаються або паралельні, одна площина, одна пряма, одна точка, пуста множина точок).

Приклади розв`язку задач

1.202 Яку поверхню визначає в просторі рівняння:

1) х²=4у; 2) z²=xz?

1) Рівняння х²=4у визначає параболічний циліндр з твірними паралельними осі Oz.

Направляючою циліндричної поверхні є парабола x²=4y, z=0.

2) Рівняння z²=xz може бути представлено у вигляді z(z-x)=0 і розпадеться на два рівняння: z=0 і z=х, тобто воно визначає дві площини - площину хоу і бісектральну площину z=x, яка проходить через вісь оу. ^

 

1.203 Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка М(0;0;1), а направляючою - еліпс , z=3.

Запишемо рівняння твірної АМ, де A(x₀;y₀;z₀) - точка, яка лежить на еліпсі:

.

Оскільки точка А лежить на еліпсі, тоді її координати задовольняють рівнянню еліпса, тобто , z₀=3. Виключивши тепер x₀, y₀ і z₀ із системи

; ; ; z₀=3,

 

одержимо рівняння конуса: 

 

1.204 Привести до канонічного вигляду рівняння 4x²+9y²+36z²-8x-18y-72z+13=0.

Згрупуємо члени з однаковими координатами

4(x²-2х)+9(y²-2у)+36(z²-2z)=-13.

Доповнимо до повних квадратів вирази в дужках, одержимо

4(x²-2х+1)+9(y²-2у+1)+36(z²-2z+1)=-13+4+9+36

або

4(x-1)²+9(y-1)²+36(z-1)²=36

Зробимо паралельний переніс осей координат, де за новий початок координат виберемо точку О ' (1;1;1), формули перетворення координат мають вигляд х=х'+1; у=у'+1; z=z'+1. Тоді рівняння поверхні запишеться так:

Це рівняння визначає еліпсоїд; його центр знаходиться в новому початку координат, а напівосі відповідно дорівнюють 3; 2 і 1.

 

§6 Полярна система координат на площині. Циліндрична і сферична системи координат в просторі

 

Ми розглядали дотепер тільки прямокутні декартові системи координат. Поряд з ними використовуються іноді і інші координатні системи. В задачах на площині це найчастіше полярна система координат. В просторових задачах - циліндрична і сферична координатні системи.

 

6.1. Полярна система координат на площині

Виберемо на площині деяку фіксовану точку О - початок координатної системи або полюс. Фіксований промінь (напівпряма) з вибраним на ньому одиничним вектором із початком в полюсі назвемо полярною віссю.

 

Положення будь-якої точки М на площині будемо визначати впорядкованою парою чисел: довжиною  радіуса - вектора (рис. 35)

 

та вираженим в радіанах кутом  між полярною віссю і вектором . Оскільки така система координат розглядається тільки на площині, тоді можна враховувати і напрямок відліку кута; кут вважається додатнім, якщо напрям обертанням від полярної осі до радіус - вектора береться проти часової стрілки.

Запис М₀( ₀; ₀) показує, що в деякій фіксованій полярній системі координат довжина радіус - вектора ₀ дорівнює  ₀, а кут між полярною віссю і ₀ (полярний кут) дорівнює  ₀. Число  ₀ і ₀ називаються полярними координатами точки М₀. Координати  ₀ і  ₀ повністю визначають положення точки М₀. Завдання точки М₀ однозначно визначає лише число  ₀ - довжину радіуса-вектора. Полярний кут визначається тільки з точністю до доданка, кратного 2 . Для полюса полярний кут взагалі не визначений. Довжина радіус-вектора  для різних точок площини може змінюватися від 0 до +, полярний кут  від - до + .

 

Неважко встановити правила переходу від полярної системи координат до декартової і навпаки.

Помістимо початок декартової системи координат в полюсі полярної системи і направимо ось абсцис вздовж полярної вісі. Тоді

Із формул (1) знаходимо:

 (2)

Полярний кут визначається двома формулами. Виберемо одну з них, одержимо два значення  , які лежать між 0 і 2 . Щоб вибрати єдине (з точністю до доданку кратного 2 ) необхідне значення, враховують знак 2-ої тригонометричної функції кута  .

Як і в декартовій системі координат, кожній лінії на площині відповідає рівняння, яке зв`язує  і  , і, навпаки, кожному рівнянню, яке зв`язує  і , відповідає, як правило, деяка лінія на площині із заданою полярною системою координат.

Для побудови лінії, заданої рівнянням в полярній системі координат, частіше використовують метод побудови “по точках” - обчислюють координати ряду точок лінії і сполучають ці точки плавною кривою.

 

Приклад 1.211. Побудувати лінію  =2(1+cos ).

Розв`язок. Складаємо таблицю

 

Оскільки сos  =cos(2 - ), тоді обчислення значення  при       не потрібно. Крива повинна бути симетричною відносно полярної осі. Наносячи відповідні точки на рисунок і сполучаючи їх плавною лінією, одержимо вигляд лінії, що розглядається (рис.36).

Ця лінія називається кардіоїдою.

Приклад 2. Побудувати лінію 

Розв`язок. Складаємо таблицю, починаючи з  =0 (при   0 одержимо   0, що неможливо).

 

Одержана лінія називається спіраллю Архімеда (рис.37).