§4 Властивості границь

Теорема. Нехай функції f(x) і g(x) мають границі в точці х₀:

 f(x)=А g(x)=B

Тоді функції f(x)g(x), f(x)·g(x), (при В0) також мають границі в точці x₀, причому:

1. [f(x)±g(x)]=А±B;

2. [f(x)·g(x)]=А·B;

3. 

.

Доведення. Нехай {x_n} X, x_n= x₀ (x N) – довільна послідовність, збіжна до x₀. За визначенням 1, збіжними є послідовності {f(x_n)}, {g(x_n)}, причому їхні границі – відповідно А і В. Але тоді за теоремою 2 (глава 5, §2) послідовності { f(x)±g(x)}, { f(x)·g(x)}, (при В0) мають границі, що дорівнюють відповідно А±B, А·B, . Згідно з визначенням 1

[f(x)±g(x)]=А±B; [f(x)·g(x)]=А·B; .

 

Наслідок 1. Для довільного числа С

[С f(x)]=Cf(x).

 

Наслідок 1. Для довільного m N

[f(x)]^m=[f(x)]^m

Отже, якщо говорити про границю функції від довільної змінної, то, оскільки, для змінних залежних від номера (показника) п теореми доведені, вони вірні і для функції в загальному випадку. Зауважимо, що приведені властивості повністю зберігаються у випадку односторонніх границь і границь функції на нескінченності.

§5 Перша і друга важливі границі

5.1 Перша важлива границя

Доведемо, що .

 

Зазначимо спочатку, що функція визначена при всіх х0.

 

Припустимо, що х . Доведемо, що при таких х виконані нерівності sin x<x<tg x.

 

Розглянемо коло одиничного радіуса з центром в точці 0 (рис.41) і побудуємо рівні кути АОВ і ВОС з радіанною мірою х. Нехай ЕА і ЕС – дотичні до цього кола. Очевидно, що хорда АС, яка стягує дугу кола АС, менша цієї дуги, котра в свою чергу менша довжини ламаної ЕА+ЕС. Але ж АС=2 sin x, ЕА+ЕС=2tg x, а довжина дуги AC=2x, тобто sin x<x<tg x.

Беручи до уваги, що при х  sin x>0 і tg x>0, маємо

1<<

 

або

cos x<

 

звідки

0<1--cos x

 

Оскільки 1-cos x=2sin² (тут використано, що sin), то при х 

0<1-<.

Зазначимо, що обидві частини цієї нерівності не змінюються, якщо замінити х на –х. Тому вона виконується не тільки при х , а і при х , тобто при всіх х , x 0.

За наслідком 2 до теореми 1 і 2 (§2) можна зробити висновок, що =0, тобто .

 

5.2 Друга важлива границя

У вищій математиці зустрічається введене ще в XVIIст. число, яке позначається буквою “е”. Число це можна визначити як границю функції f(x)= при прямуванні х до нуля:

е= (1)

Вважається, що , оскільки функція не визначена при цих аргументах, факт існування цієї границі приймемо без доведення.

Якщо в рівності припустити , а потім повернутися до попереднього позначення незалежної змінної, то одержимо

 

е= (2)

Якщо функція розглядається тільки на множині натуральних чисел, то із (2) випливає, що

 

е= (3)

 

Стале число “е” ірраціональне і приблизно дорівнює 2,71828…

Число “е”, прийняте за основу системи логарифмів, прийнято називати натуральними. Натуральний логарифм х позначається символом ln x. Встановимо зв’язок між натуральними і десятковими логарифмами. Для цього, логарифмуючи по основі “е” тотожність x=a, одержимо рівність ln x= ln а·log_a x. При х=е, ця рівність дає

log_a е=. (4)

При а=10 та ж рівність дає ln x= ln10·lg x і lg x=М ln x, де

М= (5)

 

Формула (5) зв’язує натуральні і десяткові логарифми і показує, що ці логарифми прямо пропорційні один одному. Число М називається модулем переходу від натуральних логарифмів до десяткових.

М= lg е0,43429, .

Наприклад: ln2=lg2=2,30258·0,301030,69315.

До числа е приводять розв’язки багатьох прикладних задач. Приведемо одну із них, яка зустрічається в економіці.