§8 Мішаний добуток векторів

Оскільки векторний добуток векторів і є вектор, то можливо розглядати і скалярний добуток вектора на і векторний добуток на . В нашому курсі ми розглянемо тільки перший із цих добутків.

 

Визначення. Скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і називається мішаним добутком векторів , , .

Отже, мішаним добутком векторів , і є вираз і представляє собою, очевидно, скаляр.

З‘ясуємо геометричний зміст введеного поняття. Нехай точка О є загальний початок трьох некомпланарних векторів , , .

 

Побудуємо на заданих векторах паралелепіпед (рис.13) і знайдемо вектор . Із визначення скалярного добутку векторів, отримаємо

Але оскільки вектор перпендикулярний площині векторів і , то проекція вектора на вісь, направлену по вектору , або дорівнює висоті паралелепіпеда, якщо ця проекція додатна (тобто, якщо вектори , , утворюють праву трійку), або дорівнює висоті, взятій зі знаком мінус, якщо ця проекція від‘ємна (тобто, якщо три заданих вектора утворюють ліву трійку).

Отже, мішаний добуток трьох векторів дорівнює об‘єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, якщо вони утворюють праву трійку, і дорівнює об‘єму паралелепіпеда, взятому зі знаком мінус, якщо вектори утворюють ліву трійку.

Якщо у вибраній трійці їх переставити, то паралелепіпед, побудований на цих векторах, очевидно, не зміниться. Зокрема, не зміниться і абсолютна величина мішаного добутку. Легко відмітити, що при круговій перестановці векторів права трійка векторів залишається правою, а ліва лівою. Тому при круговій перестановці векторів мішаний добуток векторів не змінюється.

Отже,

 (1)

 

Якщо вектори задані своїми координатами в ортонормованому базисі , , :

,

 

Якщо задані три вектора компланарні, то їх мішаний добуток, очевидно, дорівнює нулю. Навпаки, якщо мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, то ці вектори обов’язково компланарні. Дійсно, якщо скалярний добуток векторів і дорівнює нулю, то вектор перпендикулярний вектору ; але перпендикулярний також площині векторів і . Таким чином вектор лежить в площині векторів і . Звідси, вектори , , компланарні.

Отже, рівність нулю мішаного добутку трьох векторів є необхідна і достатня умова їх компланарності.

Формулу (2) можна записати, використовуючи визначник третього порядку

 (3),

 

розкладаючи який по елементах 1-го рядка, отримаємо формулу (2).

Іі. Приклади розв’язку задач

1.102. В трикутнику АВС сторона АВ точками М і N розділена на три рівні частини: . Знайти вектор , якщо .

 Маємо . Звідси, 

 

Отже , тоді .

1.103. В трикутнику АВС пряма АМ є бісектрисою кута ВАС, причому точка М лежить на стороні ВС. Знайти , якщо .

 Маємо . Із властивості бісектриси внутрішнього кута трикутника випливає, що , тобто .

 

Звідси одержуємо .

 

Оскільки , тоді .

1.104. Задані точки А(1, 2, 3) і В(3, -4, 6). Знайти довжину, напрямок і норму вектора .

 Проекціями вектора на осі координат є різниця відповідних координат точок В і А: а_х=3-1=2, а_у=-4-2=-6, a_z=6-3=3. Звідси . Знайдемо довжину вектора 

 

Шуканий одиничний вектор має вигляд .

1.105. Заданий трикутник: А(1, 1, 1), В(5, 1,-2), С(7, 9, 1). Знайти координати точки D перетину бісектриси кута А зі стороною СВ.

 Знайдемо довжини сторін трикутника, що утворюють кут А:

 

Звідси , оскільки бісектриса ділить сторону СВ на частини, пропорційні прилеглим сторонам. Таким чином,

шукана точка D(17/3, 11/3, -7).

1.106. На осі Ох знайти точку, рівновіддалену від точок А(2; -4; 5) і В(-3; 2; 7).

 Нехай М – шукана точка. Тоді . Оскільки точка М лежить на осі х, то її координати (х, 0, 0).

 

Отже (x-2)²+41=(x+3)²+53; або 10х=-17, тобто х=-1,7.

 

Звідси М(-1,7; 0; 0).

1.107. Задані вектори .

 

Обчислити скалярні добутки:

 Знаходимо:

 ^

1.108. Обчислити, при якому значенні вектори взаємно перпендикулярні.

 Знаходимо скалярний добуток цих векторів: ; Оскільки , тоді .

 

Звідси .

1.109. Обчислити кут між векторами .

 Оскільки , тоді 

 

Маємо 

 

. Отже , і . ^

1.110. Знайти вектор , який перпендикулярний до векторів та відповідає умові .

 Оскільки , тоді . Шуканий вектор має координати .

 

Отже

Розв’язуючи одержану систему, маємо

 тобто .

1.111. Задані вектори . Знайти координати векторних добутків:

 Знаходимо:

 ^

1.112. Задані вершини трикутника А(1; 2; 0), В(3; 0; -3) і С(5; 2; 6).

 

Обчислити його площу.

 Знаходимо вектори і .

 

Площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , а тому знаходимо векторний добуток цих векторів

 

Звідси

1.113. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо .

 Маємо

 

(оскільки )

 

Звідси ^

1.114. Знайти мішаний добуток векторів

.

 

1.115. Знайти об’єм трикутної піраміди з вершинами А(-1; 0; 2), В(2; 1; 1), С(3; 0; -1), D(3; 2; 2).

 Знайдемо вектори , які співпадають з ребрами піраміди і сходяться у вершині А: . Знаходимо мішаний добуток цих векторів:

Оскільки об’єм піраміди дорівнює паралелепіпеда (рис.14), побудованого на векторах , тоді

 

Рис.14

 1.116. Показати, що вектори компланарні.

 Знаходимо мішаний добуток векторів

 

Оскільки , тоді задані вектори компланарні.