- •Конспект лекцій з курсу
- •§2 Визначники матриць другого порядку
- •§3. Визначники матриць третього порядку
- •§ 4 Визначники матриць вищих порядків
- •Приклади розв’язання задач
- •§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
- •5.1. Правило Крамера
- •5.2. Розв'язок і дослідження систем рівнянь першого порядку методом повного виключення (Метод Гаусса).
- •1. Система однорідних рівнянь 1-ого порядку завжди сумісна.
- •2. Якщо визначник системи однорідних рівнянь 1-ого порядку дорівнює нулю, тоді система має нескінченну множину розв 'язків.
- •§ 6 Ранг матриці, теорема про сумісність систем рівнянь першого порядку
- •Іі. Приклади розв`язку задач
- •Обчислення рангу матриці методом облямування
- •§ 7 Основні операції з матрицями
- •Приклади розв`язку задач
- •§ 8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь
- •Іі. Приклади розв`язку задач
- •§9. Модель багатогалузевої економіки
- •Глава іі: Векторна алгебра
- •§1 Основні поняття
- •§2 Лінійні операції з векторами.
- •§ 3 Лінійна залежність та лінійна незалежність системи векторів
- •Приклади розв‘язку задач
- •§4 Проекція вектора на ось
- •§5 Прямокутна декартова система координат в просторі
- •§6 Скалярний добуток векторів
- •§7 Векторний добуток векторів
- •§8 Мішаний добуток векторів
- •Іі. Приклади розв’язку задач
- •Глава ііі: Аналітична геометрія
- •§1 Відповідність між геометричними образами та рівняннями
- •§ 2 Лінійні образи - площина і пряма
- •§ 3 Лінії другого порядку
- •Приклади розв`язку задач
- •§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку.
- •§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку
- •5.1. Дослідження форми еліпсоїда
- •5.2. Дослідження форми однопорожнинного гіперболоїда
- •5.3. Дослідження формули двопорожнинного гіперболоїда
- •5.4. Дослідження формули еліптичного параболоїда
- •5.5. Дослідження форми гіперболічного параболоїда
- •6. Дослідження форми конуса 2-го порядку
- •Приклади розв`язку задач
- •§6 Полярна система координат на площині. Циліндрична і сферична системи координат в просторі
- •6.1. Полярна система координат на площині
- •6.2. Циліндрична система координат
- •6.3. Сферична система координат
- •Приклади розв’язку задач
- •Розділ іі. Вступ до математичного аналізу
- •Глава IV: Функції
- •§1 Поняття множини
- •§2. Абсолютна величина дійсного числа
- •§3. Поняття функції
- •§4 Застосування функцій в економіці
- •Розв’язок задач
- •Глава V: Границя і неперервність
- •§1 Поняття границі послідовності
- •1.1 Збіжні послідовності
- •1.2 Нескінченно малі і нескінченно великі.
- •§2 Основні властивості збіжних послідовностей
- •§3 Поняття границі функції
- •3.1 Визначення границі функції
- •3.2 Односторонні границі
- •3.3 Границя функції на нескінченності і нескінченні границі
- •§4 Властивості границь
- •§5 Перша і друга важливі границі
- •5.1 Перша важлива границя
- •5.2 Друга важлива границя
- •Задача про неперервне нарахування процентів
- •§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції
- •§7 Неперервність функції
- •Розв’язки задач
- •Розділ ііі. Диференціальне числення
- •Главаvi: Похідні та диференціали
- •§ 1 Поняття похідної
- •§2 Зміст похідної
- •2.1. Задача про дотичну до кривої
- •2.2. Задача про миттєву швидкість
- •2.3. Задачі про витрати виробництва та виручку
- •§3. Правила диференціювання
- •3.1 Диференціювання суми, добутку й частки
- •3.2. Диференціювання складної функції
- •§4. Диференційованість елементарних функцій
- •§5. Похідні вищих порядків
- •§ 6. Диференціал функції
- •§ 7. Диференціали вищих порядків
- •§8 Розв'язки задач
- •§ 9 Економічний зміст похідної.
- •Глава 7: Застосування похідних до дослідження функцій
- •§ 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку
- •§ 2 Теореми про середнє значення
- •§ 3 Правила Лопіталя
- •§4 Дослідження функцій
- •4.1. Умови монотонності функцій
- •4.3. Знаходження найменшого й найбільшого значень
- •4.4 Опуклість, угнутість та точки перегину кривої
- •3.5. Асимптоти. Дослідження графіка функції в цілому
- •§ 5 Застосування похідної в економічній теорії.
- •§ 5. Розв’язки задач
§ 3 Правила Лопіталя
При дослідженні функцій часто виникає необхідність знаходити границі дробу , чисельник і знаменник якого при прямують до нуля або до нескінченності. Знаходження таких границь називають розкриттям невизначеностей. Найбільш простими і ефективними методами розкриття невизначеностей є правила Лопіталя.
Теорема 1. (перше правило Лопіталя). Нехай функції і диференційовані на інтервалі (a;b); і на (a;b). Тоді, якщо існує (скінчена або нескінченна) границя
,
то границя також існує і .
Доведення. Нехай і . Довизначимо функції і у точці а, припустивши . Тоді вони, очевидно, стануть неперервними на відрізку і задовольнятимуть на ньому всі вимоги теореми Коші попереднього параграфа. А тому знайдеться така точка , що
.
Якщо , то й . Переходячи до границі в останній рівності, маємо
,
що й потрібно довести.
Зауваження 1. Теорема 1 доведена для правих границь. Вона лишається вірною й для лівих, і до границі взагалі.
Зауваження 2. Твердження теореми 1 залишається в силі, якщо . Дійсно, візьмемо, наприклад, . Припустимо, і нехай , тоді
.
При розкритті невизначеностей іншого типу діє теорема, яка наводиться без доведення.
Теорема 2. (друге правило Лопіталя). Нехай функції і диференційовані на інтервалі (a;b); і на (a;b). Тоді, якщо існує (нескінченна або скінченна) границя , то границя також існує і .
Зауваження, подані до теореми 1, залишаються в силі і для теореми 2.
Трапляється, що для похідних і виконуються умови однієї з теорем, тоді правила Лопіталя можна застосовувати повторно:
.
Взагалі, при виконанні відповідних умов цю процедуру можна застосовувати кілька разів.
Теорема 1 і 2 застосовуються до випадків, коли обидві функції і при прямують одночасно до нуля або до нескінченності.
Відповідно, знаходження називають розкриттям невизначеностей типу або .
За допомогою тотожних перетворень до основних випадків або можна звести й невизначеності інших типів: .
Невизначеність , тобто добуток , де , зводиться до вигляду або за формулами
або .
Невизначеність зводиться до вигляду за допомогою перетворення
.
Невизначеності мають місце при розгляді функцій , якщо функція прямує відповідно до 0,1 і , а - відповідно до 0,1 і 0, коли . Як правило, використовується рівність
і справа зводиться до розкриття невизначеності вигляду у показнику
Приклад 1. Знайти наступні границі:
а) ;
б) ;
в) .
а) Чисельник і знаменник прямують до нуля, якщо , а тому маємо невизначеність типу . Використаємо правило Лопіталя, тобто розглянемо границю відношення похідних заданих функцій:
,
оскільки і , якщо .
б) Невизначеність типу . Застосовуючи двічі формулу Лопіталя, одержимо:
.
На кожному етапі застосування правила Лопіталя слід користуватися тотожними перетвореннями, які спрощують відношення, а також комбінують це правило з будь-якими іншими прийомами обчислення границь.
в) .
Звільнимо знаменник дробу від множника , оскільки він має границю 1 при . Розкладемо чисельник, як різницю кубів
і звільнимо чисельник від множника , який має границю 3 при . Після таких спрощень отримаємо
.
Використовуючи першу важливу границю, отримаємо кінцеву відповідь , вже без правила Лопіталя.
Приклад 2. Знайти границі
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
а) Тут ми маємо невизначеність типу . Представимо добуток у вигляді частки, а потім, отримавши невизначеність типу , застосуємо правило Лопіталя:
.
б) Це невизначеність типу . Для того, щоб знайти границю функції, приведемо дроби до загального знаменника, а потім, отримавши невизначеність типу , застосуємо правило Лопіталя:
.
в) Це невизначеність типу . Позначимо дану функцію через y , тобто , і прологарифмуємо її:
.
Обчислимо границю логарифма даної функції, застосовуючи правило Лопіталя (тут маємо невизначеність типу ):
.
Отже, .
г) Це невизначеність типу . Припустимо, , і прологарифмуємо:
;
Застосувавши правило Лопіталя, отримаємо:
.
Звільнимо знаменник від множника , оскільки він прямує до 1, якщо ;
.
Тобто .
д) Це невизначеність типу . Введемо позначення
.
Тоді є невизначеністю типу . Перетворимо вираз до вигляду
.
Згідно правила Лопіталя, отримаємо:
.
Отже, . ^