§2. Абсолютна величина дійсного числа

Поняття абсолютної величини числа і нерівності, пов’язані з абсолютними величинами, широко використовуються в математиці.

Визначення. Абсолютною величиною (або модулем) числа х називається саме число х, якщо , або число –х, якщо х<0.

Абсолютна величина х позначається символом . Таким чином

 

Очевидно, згідно визначення, що . Наприклад, |+5|=5; |-5|=-(-5)=5; |0|=0.

 

Приклад 3. Знайти .

Якщо , то і .

 

Якщо , то і .

 

Укажемо на важливі властивості абсолютних величин:

 

Абсолютна величина різниці двох чисел означає відстань між точками х і а числової прямої, як для випадку x<a, так і x>a (рис. ).

 

А тому, наприклад, розв’язком нерівності , (де ) будуть точки х інтервалу (рис. ), які задовольняють нерівності . Будь який інтервал, який містить точку а, називається околом точки а.

 

Інтервал , тобто множина точок х таких, що (де ), називається - околом точки а.

§3. Поняття функції

Поняття функції є основним не тільки в математичному аналізі, де вона вивчається спеціально, але і у всій математиці в цілому.

 

Визначення. Якщо кожному елементу х множини Х () по деякому закону ставиться у відповідність певний елемент у множини Y () тоді говорять, що на множині Х задана функція .

Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом, у – залежною змінною, а буква позначає закон відповідності.

Множина Х називається областю визначення функції, а множина Y – областю значень функції.

 

Якщо множина Х спеціально не вказана, то під областю визначення функції будемо вважати множину таких значень х, при яких функція взагалі має зміст.

Наприклад, областю визначення функції є напівінтервал , оскільки .

 

Існує декілька способів задання функції. Найбільш поширені серед них:

1. Аналітичний спосіб, якщо функція задана формулою виду . Так функція задана аналітично.

Не слід змішувати функцію з її аналітичним виразом. Так, наприклад, одна функція:

має два аналітичних вирази: х³ (при ) і х+5 (при ).

2. Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції , наприклад, таблиця синусів або косинусів.

3. Графічний спосіб полягає в зображенні графіка функції – множини точок (х, у) площини, абсциси яких є значення аргументу х, а ординати – відповідні їм значення функції 

 

. При цьому способі функціональна залежність зображується лінією, яку називають графіком функції.

Якщо рівняння, що зв’язує аргумент х з функцією у не розв’язане відносно у, а задане у виді , тоді змінну у називають неявною функцією х. (наприклад: 3х-7у=6)

 

Розглянемо основні властивості функцій.

1. Парність і непарність. Функція  називається парною, якщо для будь-яких значень х із області визначення , і непарною, якщо . В іншому випадку функція називається функцією загального виду.

Наприклад, функція є парною, оскільки і , а функція - непарною, оскільки і .

Крім того, наприклад, функція є функцією загального виду, оскільки і , і .

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

2. Монотонність. Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку х, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

Нехай і . Тоді функція зростає на проміжку х, якщо , і спадає, якщо .

Зростаючі і спадні функції називають монотонними. Так, наприклад, функція при спадає і при зростає.

3. Обмеженість. Функція називається обмеженою на проміжку Х, якщо існує таке додатне число М>0, що для будь якого . Наприклад, функція обмежена на всій числовій осі, оскільки для будь-якого .

4. Періодичність. Функція називається періодичною з періодом , якщо для будь-яких х із області визначення функції 

.

Наприклад, функція має період , оскільки для будь-яких х . Найменше додатне число Т, що задовольняє цю рівність, називається періодом функції.

 

Класифікація функцій. Елементарні функції.

Функція у аргументу х називається неявною, якщо вона задана рівнянням , не вираженим відносно залежної змінної. Наприклад, функція , задана рівнянням . (Зауважимо, що таке рівняння задає дві функції , якщо , і , якщо ).

 

Нехай є функція від незалежної змінної х, визначеної на проміжку Х з областю значень Y. Поставимо у відповідність кожному єдине значення , при якому . Тоді функція , визначена на проміжку з областю значень Х, називається оберненою.

Оскільки традиційно незалежну змінну позначають через х, а функцію через у, то функція, обернена до функції , приймає вигляд . Наприклад, для функції оберненою буде функція , або (в звичайних позначеннях залежної і незалежної змінної) .

 

Можна довести, що для будь-якої суворо монотонної функції існує обернена. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.

 

Основні елементарні функції.

1. Ступенева функція виду де n – дійсне число;

2. Показникова функція виду , де , ;

3. Логарифмічна функція , де , ;

4. Тригонометричні функції: 

5. Обернені тригонометричні функції: 

 

Зауваження: Автор навмисне випускає із розгляду ці функції, оскільки основні елементарні функції та їх графіки детально вивчають у середній школі. Вони відіграють важливу роль в математичному аналізі, тому ці функції, їх області визначення та графіки треба добре знати.

Якщо змінна у залежить від другої змінної величини U, яка в свою чергу є функцією х, то у називають функцією від функції або складною функцією. Математично це можна записати так:

якщо , то .

 

Кажуть: у – складна функція x, U – проміжний аргумент; х – аргумент (незалежна змінна).

Наприклад , або , де .

 

Функції, побудовані із основних елементарних функцій з допомогою скінченного числа алгебраїчних дій і скінченного числа операцій утворення складної функції, називаються елементарними.

Наприклад, функція

є елементарною, оскільки тут число операцій додавання, віднімання, множення, ділення і утворення складної функції () скінченне.

Елементарні функції поділяються на алгебраїчні і неалгебраїчні (трансцендентні).

Алгебраїчною називається функція, в якій над аргументом проводиться скінченне число алгебраїчних дій. До яких належать:

ціла раціональна функція (многочлен або поліном)

дробово-раціональна функція - відношення двох многочленів;

ірраціональна функція – (якщо в складі операцій над аргументом є здобуття кореня).

Будь-яка неалгебраїчна функція називається трансцендентною. До них належать: показникова, логарифмічна, тригонометрична, обернені тригонометричні.