Глава V: Границя і неперервність

§1 Поняття границі послідовності

1.1 Збіжні послідовності

Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального аргументу – послідовності.

 

Визначення 1. Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність деяке дійсне число . Тоді кажуть, що задана послідовність чисел або, коротко, послідовність .

Отже; послідовністю називається функція , визначена на множині натуральних чисел. Числа є членами (елементами) послідовності, – загальним її членом (елементом), а – номером члена.

 

Визначення 2. Послідовність називається збіжною, якщо для будь-якого числа можна знайти такий номер, що при всіх виконується нерівність

 (1)

 

Число а при цьому називається границею послідовності. Для позначення збіжності послідовності до числа вживається запис:

 або 

Довільний інтервал виду , де , називається - околом точки . Якщо число – границя послідовності , то для будь-якого можна знайти такий номер , що при усі члени послідовності потрапляють в –окіл точки, адже при вказаних згідно з (1) виконуються нерівності

Якщо послідовність не збігається, то кажуть, що вона розбігається.

 

Теорема 1. Збіжна послідовність має тільки одну границю.

 

Доведення. Припустимо супротивне: нехай збіжна послідовність має принаймні дві різні границі і . Тоді для будь-якого можна знайти такі номери і , що, по-перше, при всіх і, по-друге, при всіх .

 

Припустимо, , тоді при всіх одночасно виконуються нерівності 

 

звідки випливає, що

 

тобто 

 

Одержана суперечність доводить теорему.

 

1.2 Нескінченно малі і нескінченно великі.

Серед збіжних послідовностей виділимо один важливий клас.

 

Визначення 3. Збіжна до нуля послідовність називається нескінченно малою.

Роль, яку відіграють нескінченно малі в теорії границь, з’ясовує наступна теорема.

 

Теорема 2. Для того щоб послідовність збігалася до числа , необхідно й достатньо, щоб послідовність була нескінченною малою.

 

Доведення. Необхідність. Нехай . Тоді згідно з означенням 2 для будь-якого знайдеться такий номер , що при всіх виконується нерівність

 

А це й доводить, що – нескінченно мала.

 

Достатність. Нехай – нескінченно мала. Згідно з означенням 3 для будь-якого знайдеться такий номер , що при всіх виконується нерівність , або .

 

Отже, за визначенням 2 маємо .

 

Докладно вивчимо властивості нескінченно малих.

 

Лема 1. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченною малою.

 

Доведення. Нехай і –нескінченно малі. Доведемо, що послідовність -нескінченно мала. Задамо будь-яке число. Оскільки і - нескінченно малі, то знайдуться такі номери і , що, по-перше, при всіх і, по-друге, при всіх .

 

Припустимо, . Тоді при всіх вказані вище нерівності виконуються одночасно, а тому 

 

Це й означає, що - нескінченно мала.

 

Наслідок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих є нескінченно малою.

 

Лема 2. Добуток двох (або будь-якого скінченого числа) нескінченно малих є нескінченно малою.

Міркуючи аналогічно до попереднього, пропонуємо читачеві довести цю лему самостійно.

 

Визначення 4. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що при всіх виконується нерівність

У противному разі послідовність називається необмеженою.

 

Лема 3. Добуток нескінченно малої на обмежену - нескінченно мала.

 

Доведення. Нехай - нескінченно мала, а – обмежена послідовність. Доведемо, що послідовність - нескінченно мала. Оскільки – обмежена, то існує таке число , що при всіх виконується нерівність . Оскільки - нескінченно мала, то для будь-якого знайдеться номер , що при всіх . Але тоді при таких 

Це й означає , що - нескінченно мала.

 

Наслідок. Добуток нескінченно малої не стале число - нескінченно мала.

Іноді зручно використовувати поняття нескінченно великої послідовності.

 

Визначення 5. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа можна знайти такий номер , що при всіх виконується нерівність

Позначення: або .

Якщо ж, починаючи з деякого номера, члени послідовності набувають тільки додатних (від’ємних) значень, то писатимемо

 або 

Встановимо зв’язок між нескінченно малими й нескінченно великими.

 

Теорема 3. Для того щоб була нескінченно малою, необхідно й достатньо, щоб була нескінченно великою.

 

Доведення. Необхідність. Нехай - нескінченно мала. Візьмемо будь-яке і знайдемо такий номер , щоб при всіх виконувалася нерівність.

 

Припустимо, , тоді при вказаних вище виконується нерівність

звідки й випливає, що - нескінченно велика.

 

Достатність. Нехай - нескінченно велика. Для будь-якого існує такий номер , що при всіх виконується нерівність .

 

Тоді для послідовності при вказаних вище маємо , тобто і - нескінченно мала.

 

Приклад 1. Використовуючи визначення границі, довести що

Виберемо будь-яке число . Оскільки , то для знаходження значень , які задовольняють нерівності , достатньо розв’язати нерівність , звідки отримаємо . Отже, за можливо взяти цілу частину числа , тобто . Тоді нерівність буде виконуватися для всіх . Оскільки - будь-яке , то доведено, що . Згідно визначення, “а” в даному прикладі дорівнює 1.

Якщо, наприклад, , тоді і при маємо . Зауважимо, що, наприклад, при нерівність не виконується. Дійсно, нехай 

 

Тоді 

 

А якщо взяти, наприклад, , тобто , то

 

Таким чином, нерівність виконується лише для номерів , більших ніж 99.

Якщо, наприклад, , тоді значення номера збільшиться. Дійсно і при одержимо 

 

Приклад 2. Використовуючи визначення, довести, що послідовність є нескінченно малою.

Візьмемо будь-яке число. Із нерівності одержимо . Якщо взяти , то для всіх буде виконуватися . (Якщо одержимо при маємо і т.д.). Таким чином, згідно ознаки послідовність нескінченно мала.