Конспект лекцій з курсу

ВИЩА МАТЕМАТИКА т.1.

ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

 

автор: Васильченко І.П.

 

Зміст

Передмова

Глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого ступеня.

 

§1 Основні поняття

§2 Визначники матриць другого порядку

§3 Визначники матриць третього порядку

§4 Визначники матриць вищих порядків

§5 Розв`язки систем n рівнянь із n невідомими

§6 Ранг матриці, теорема про сумісність систем рівнянь першого ступеню

§7 Основні операції з матрицями

§8 Обернена матриця, розв`язок матричних рівнянь

 

 

Глава ІІ. Векторна алгебра

§1 Основні поняття

§2 Лінійні операції з векторами

§3 Лінійна залежність та лінійна незалежність систем векторів

§4 Проекція вектора на вісь. Прямокутна декартова система координат в просторі

§5 Скалярний добуток векторів

§6 Векторний добуток векторів

§7 Мішаний добуток векторів

§8 Лінійний простір

 

 

Глава ІІІ. Аналітична геометрія

§1 Відповідність між геометричними образама та рівняннями

§2 Лінійні образи - площина і пряма

§3 Лінії другого порядку

§4 Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку

§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними, координатним осям; поверхні другого порядку

§6 Полярна система координат на площині: Циліндрична і сферична система координат в просторі

 

РОЗДІЛ І. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

ГЛАВА 1: Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеню

 

§1 Основні поняття

Однією із найважливіших задач математики є дослідження та розв`язок систем рівнянь 1-го степеню. Нехай така система містить m невідомих Х<sub>1</sub>, Х<sub>2</sub>, ..., Х<sub>m</sub>, зв`язаних n рівняннями 1-го степеню (число рівнянь може і не співпадати з числом невідомих). В загальному вигляді цю систему можна записати так:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1mx_m=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2mx_m=b₂…………………………. (1)

a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nmx_m=b_n

В системі (1) b₁, b₂, ..., b_n - задані вільні члени, a_ik (i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ..., m) - задані коефіцієнти при невідомих. При цьому перший індекс у a_ik означає номер рівняння в системі, а другий - номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Тобто, a_ik - коефіцієнт, який стоїть в і-му рівнянні системи при невідомому Х_к. Аналогічно b_i означає вільний член в і-му рівнянні системи.

Розв`язком системи (1) називається така сукупність чисел Х₁, Х₂, ..., Х_m, яка будучи підставлена у всі рівняння системи (1), обертає ці рівняння в числові рівності.

Запишемо таблицю, складену із коефіцієнтів при невідомих в системі (1):

 (2)

 

Таку таблицю розглядатимемо як єдине ціле і будемо називати основною матрицею системи.

Таблиця,

 (3)

 

яка містить і стовпець , складений із вільних членів системи (1), називається розширеною матрицею системи.

Очевидно, що саме існування розв`язку системи (1), так і можливі числові значення елементів розв`язку повністю визначаються матрицями (2) і (3). А тому природньо, розглянемо деякі загальні властивості матриць.

 

Числовою матрицею (або просто матрицею) називається прямокутна таблиця чисел. Окремі числа цієї таблиці називаються елементом матриці. Елементи матриці А позначають символом a_ik, де і- номер рядка, а k - номер стовпця, в якому стоїть вибраний елемент.

Якщо матриця містить n рядків і m стовпців, тоді говорять, що матриця має розмірність nxm.

Особливо часто доводиться мати справу з матрицями, у яких число рядків дорівнює числу стовпців. Такі матриці називаються квадратними.

Число рядків (а, звідси, і число стовпців) квадратної матриці називається порядком матриці.