Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность различных элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

()

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями изэлементов по() называют их соединения, каждое из которых содержит ровноразличных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из элементовпо .

Будем строить произвольное соединение последовательно. Сначала определим его первый элемент. Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента, для второго элементаостается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид:

Соединения из элементов, каждое из которых содержит всеэлементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называютсяперестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями изэлементов по() называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровноданных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из элементов по :

.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Свойства сочетаний:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения , свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 чтои, а для свойства 4 чтои. Свойство 5 можно проверить следующим образом:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемоготреугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Комплексные числа

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: арифметические (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень, извлечение корня и т.д. Только два действия – сложение и умножение – безусловно, выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел - также натуральные числа. Однако в области арифметики натуральных чисел уже вычитание не всегда выполнимо – для возможности образования разности двух натуральных чисел множество нужно дополнить до множества целых чисел, введя в него ноль и целые отрицательные числа. Такие операции как деление и извлечение корня становятся выполнимыми только после расширения рассматриваемой числовой области: множество целых чисел должно быть, соответственно, дополнено вначале до множества за счет введения рациональных чисел, а потом и до множества действительных чиселза счет введения иррациональных чисел.

Этот процесс можно схематически изобразить цепочкой , где,, ,обозначают соответственно множестванатуральных, целых, рациональных и действительных чисел.Причем каждая последующая числовая система сохраняет все основные свойства предыдущей и обладает рядом новых полезных свойств. Так, вможно только складывать и умножать, вможно уже вычитать, в ‑ делить. Во множестведействительных чисел можно извлекать корни любой степени из положительных чисел, хотя в даже числоне имеет смысла. Но и в множестве действительных чиселтакое простое уравнениене имеет решений. Так как многие задачи практики приводят к алгебраическим уравнениям, требуется построить новое множество, содержащее множество действительных чисел и решение любого алгебраического уравнения. Символом, который называется мнимой единицей, обозначим корень уравнения, или . Множество, которое представляет собой множество всех двучленов вида, называетсямножеством комплексных чисел. Действительное числоназываетсядействительной частьюкомплексного числа,‑ мнимой частьюили коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числаибудут равны тогда и только тогда, когда. При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю (). Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием: