Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицыи вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме. Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу -го порядка

(9.2)

Для записи определителя -го порядка матрицыбудем применять обозначения. Приматрицасостоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. Приполучаем определитель.

Минором элементаматрицыназывают определитель матрицы-го порядка, получаемого из матрицывычеркиванием-той строки и-го столбца.

Пример 7. Найти минорматрицы:

.

По определению, минор элементаесть определитель матрицы, получаемой из матрицывычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно,.

Алгебраическим дополнением элемента матрицыназывается минор, взятый со знаком. Алгебраическое дополнение элементаобозначается, следовательно,.

Пример 8.Найти алгебраическое дополнение элементаматрицыиз примера 7.

.

Определителем квадратной матрицы -го порядканазывается число:

,

(9.3)

где ‑ элементы первой строки матрицы (9.2), аих алгебраические дополнения.

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя по первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1.При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы -го порядканазывается число:

,

(9.4)

где ‑ элементы первого столбца матрицы (9.2), аих алгебраические дополнения.

Свойство 2.Если поменять местами две строки или два столбца матрицы , то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы -го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель-го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

, или.

Свойство 3.Определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель, но с другой стороны, определитель не изменится, т.е.. Отсюда.

Свойство 4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число, то определитель умножится на.

.

Умножим элементы -той строки на. Тогда получим определитель:

.

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5.Определитель, у которого две строки (два столбца) пропорциональны, равен нулю.

Пусть -я строка пропорциональна-ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определительравен сумме двух определителей: у одного из них-той строкой (столбцом)служат первые слагаемые, а у другого – вторые.

Разложив определитель по-той строке получим:

.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам -той строки определителясоответствующие элементы-ой строки, умноженные на число, получим определитель. Определительравен сумме двух определителей: первый есть, а второй равен нулю, так как у него-тая и-тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.:

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителязаменой-той строки-той строкой. Определительравен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по-той строке получим:

.

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т.е. .