Гипербола

Гиперболойназывается линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точекиесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние междуи).

Точки иназываютсяфокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусовиобозначим через. По условию,.

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:

(7.6)

где ‑ координаты произвольной точки гиперболы,.

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямымии.

Так как в уравнение входят только четные степени и, то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем:.

График этой функции от точки уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

(7.7)

x

y

O

A(a,0)

Рис. 7.7

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты.

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны ипараллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являютсяасимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Рис 7.8.

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точкиипересечения гиперболы с осьюназываются вершинами гиперболы. Величиныиназываются полуосями гиперболы. Если, то гипербола называетсяравносторонней.

Эксцентриситетом гиперболыназывается число. Для любой гиперболы. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси. На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями.

Рис. 7.9

Фокальными радиусами точки гиперболыназываются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусамии. Их длиныизадаются формулами:

Для правой - ветви ,

Для левой - ветви .

Прямые называютсядиректрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением.

Парабола

Параболойназывается линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки(фокуса) и данной прямой(директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокусперпендикулярно директрисев направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусоми точкойпересечения осис директрисой. Если обозначить черезрасстояние фокуса от директрисы, тои уравнение директрисы будет иметь вид.

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, чтоможет принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси. Так как уравнение (7.8) содержиттолько в четной степени, то парабола симметрична относительно оси_,и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти.

При неограниченном возрастании неограниченно растет и. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.

С

y



делаемрисунок параболы (Рис. 7.10).

x

O

Рис.

7.10

Рис.7.10

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.