
- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 1. Элементарная математика 13
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 38
- •Тема 3. Линейная алгебра 81
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к лекции №1
- •Тема 1. Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств
- •Основные понятия
- •Основные операции над множествами
- •Отображения
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к лекции №2
- •Лекция 3. Числовые множества
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа
- •Контрольные вопросы к лекции №3
- •Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к лекции №4
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к лекции №5
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к лекции №6
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Уравнение фигуры
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к лекции №7
- •Тема 3. Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к лекции №8
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к лекции №9
- •Лекция 10. Понятие линейного оператора
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к лекции №10
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком
- •Теорема Безу
- •Контрольные вопросы к лекции №11
- •Лекция 12. Квадратичные формы
- •Понятие квадратичной формы
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка
- •Контрольные вопросы к лекции №12
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Контрольные вопросы к лекции №13
- •Лекция 14. Основы линейного программирования
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками
- •Симплекс-метод с естественным базисом
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод)
- •Теория двойственности
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к лекции 14
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
- •Высшая математика
- •Часть I
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Базис. Координаты вектора в базисе
Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.
Базисом
на прямойназывается любой ненулевой
векторна этой прямой. Любой другой вектор
,
коллинеарный данной прямой, может быть
выражен через вектор
в виде
.
Базисом
на плоскостиназываются любых два
линейно независимых вектораи
этой плоскости, взятые в определенном
порядке. Любой третий вектор
,
компланарный плоскости, на которой
выбран базис
,
может быть представлен в виде
.
Базисом
в трехмерном пространстве называются
любые три некомпланарных вектора
,
взятые в определенном порядке. Такой
базис обозначается
.
Пусть
‑ произвольный вектор трехмерного
пространства, в котором выбран базис
.
Тогда существуют числа
такие, что:
|
(4.5) |
Коэффициенты
называются координатами вектора
в базисе
,
а формула (4.5) есть разложение вектора
по данному базису.
Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
Декартова
прямоугольная система координат в
пространстве определяется заданием
единицы масштаба для измерения длин и
трех пересекающихся в точке взаимно
перпендикулярных осей, первая из которых
называется осью абсцисс
,
вторая – осью ординат
,
третья – осью аппликат
;
точка
‑ начало координат (Рис. 4.4).
Положение
координатных осей можно задать с помощью
единичных векторов
,
направленных соответственно по осям
.
Векторы
называются основными или базисными
ортами и определяют базис
в трехмерном пространстве.
Пусть
в пространстве дана точка
.
Проектируя ее на ось
,
получим точку
.
Первой координатой
илиабсциссой точки
называется длина вектора
,
взятая со знаком плюс, если
направлен
в ту же сторону, что и вектор
,
и со знаком минус ‑ если в противоположную.
Аналогично проектируя точку
на оси
и
,
определим ееординату
иаппликату
.Тройка чисел
взаимно однозначно соответствует точке
.
Система
координат называется правой, если
вращение от осик оси
в ближайшую сторону видно с положительного
направления оси
совершающимися против часовой стрелки,
илевой, если вращение от оси
к оси
в ближайшую сторону видно совершающимися
по часовой стрелке.
Вектор
,
направленный из начала координат в
точку
называетсярадиус-вектором точки
,
т.е.:
|
(4.6) |
Если
даны координаты точек
и
,
то координаты вектора
получаются вычитанием из координат его
конца
координат начала
:
или
.
Следовательно, по формуле (4.5):
|
(4.7) |
При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Длина
вектора
равна квадратному корню из суммы
квадратов его координат.
|
(4.8) |
Длина
вектора
,заданного координатами своих концов,
т.е. расстояние между точками
и
вычисляется по формуле:
|
(4.9) |
Если
и
коллинеарны, то они отличаются друг от
друга скалярным множителем. Следовательно,
у коллинеарных векторов координаты
пропорциональны:
|
(4.10) |
Пусть
точка
делит отрезок между точками
и
в отношении
,
тогда радиус-вектор точки
выражается через радиусы-векторы
и
его концов по формуле:
.
Отсюда получаются координатные формулы:
.
В
частности, если точка
делит отрезок
пополам, то
и
,
т.е.
.